1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 11 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)为连续函数，则 0 1 dx f(x，y)dy 等于： （分数：2.00）A.B.C.D.3.设二重积分 f(x，y)dy 交换积分次序后，则 I 等于下列哪一式？ （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 D 为圆域 x 2 +y 2 4，则下列式子中哪一式是正确的？ （分数：2.00）A.B.C.D.5.化二重积分为极坐标系下的
2、二次积分，则 0 1 dx f(x，y)dy 等于下列哪一式？ （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 D 为 2x 2 +y 2 2x 所确定的区域，则二重积分 化为极坐标系下的二次积分时等于： （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 n 由 3x 2 +y 2 z，z1x 2 所围成，则 f(x，y，z)dV 等于： （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 I= （分数：2.00）A.dVQ 的体积B. 0 2 d 0 2 d 0 1 r 4 sindrC. 0 2 d 0 d 0 r 4 sindrD. 0 2 d 0 d 0 1 r 4 sindr9.设 是由 x 2 +y 2
3、 +z 2 2z 及 zr 2 +y 2 所确定的立体区域，则 的体积等于： （分数：2.00）A.B.C.D.10. 是由曲面 zx 2 +y 2 ，yx，y0，z1 在第一卦限所围成的闭区域，f(x，y，z)在 上连续，则 f(x，y，z)dV 等于： （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 L 是从 A(1，0)到 B（1，2）的线段，则曲线积分 （分数：2.00）A.B.C.2D.012.下列各级数中发散的是： （分数：2.00）A.B.C.D.13.幂级数 （分数：2.00）A.一 2，4）B.（一 2，4）C.（一 1，1）D.14.已知级数 （u 2n u 2n+1 ）是收敛
4、的，则下列结论成立的是： （分数：2.00）A.B.C.D.15.函数 展开成(x1)的幂级数是： （分数：2.00）A.B.C.D.16.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.等比级数收敛D.发散17.函数 e x 展开成为 x1 的幂函数是： （分数：2.00）A.B.C.D.18.下列各级数发散的是： （分数：2.00）A.B.C.D.19.函数 展开成(x2)的幂级数是： （分数：2.00）A.B.C.D.20.已知函数 （u 2n1 u 2n ）是收敛的，则下列结果成立的是： （分数：2.00）A.B.C.D.21.级数 （1） n x n 在|x|1 内收敛于函数：
5、分数：2.00）A.B.C.D.22.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.发散C.条件收敛D.无法判定23.级数 （1） n1 x n 的和函数是： （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 b n sinnx，其中 b n 0 f(x) sinnxdx，则 S 的值是： （分数：2.00）A.B.C.D.25.级数 u n 收敛的充要条件是： （分数：2.00）A.B.C.D.26.正项级数 （分数：2.00）A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件27.级数前 n 项和 S n a 1 +a n +a n ，若 a n 0，
6、判断数列S n 有界是级数 （分数：2.00）A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件28.设任意项级数 a n ，若|a n |a n+1 |，且 （分数：2.00）A.必条件收敛B.必绝对收敛C.必发散D.可能收敛，也可能发散29.若级数 a n 2 收敛，则对级数 （分数：2.00）A.必绝对收敛B.必条件收敛C.必发散D.可能收敛，也可能发散30.下列命题中，哪个是正确的？（分数：2.00）A.周期函数 f(x)的傅立叶级数收敛于 f(x)B.若 f(x)有任意阶导数，则 f(x)的泰勒级数收敛于 f(x)C.若正项级数D.正项
7、级数收敛的充分且必要条件是级数的部分和数列有界注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 11 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)为连续函数，则 0 1 dx f(x，y)dy 等于： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：画出积分区域 D 的图形（见解图），再按先 x 后 y 顺序写成二次积分。3.设二重积分 f(x，y)dy 交换积分次序后，则 I 等于下列哪一式？ （分数：2.00）A. B.C
8、D.解析：解析：画出积分区域 D 的图形，再写出先 x 后 y 的积分表达式。如下： 由 经配方得（x1） 2 +y 2 1，解出 x 写出先 x 后 y 积分的不等式组 4.设 D 为圆域 x 2 +y 2 4，则下列式子中哪一式是正确的？ （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：化为极坐标系下的二次积分，面积元素为 rdrd，把 xrcos，yrsin 代入计算。 5.化二重积分为极坐标系下的二次积分，则 0 1 dx f(x，y)dy 等于下列哪一式？ （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：画出积分区域 D 的图形（见解图），确定 r 和 的取值。 值：由 0 变化到
9、 r的确定：在 0 间任意做一条射线，得到穿入点的 r 值 rtansec，穿出点的 r 值为rsec。tansecrsec，最后得 0 ，tansecrsec。6.设 D 为 2x 2 +y 2 2x 所确定的区域，则二重积分 化为极坐标系下的二次积分时等于： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：画出积分区域 D 的图形（见解图），由 x 2 +y 2 2 得知在圆 x 2 +y 2 2 的外部，由 x 2 +y 2 2x 得知在圆（x1） 2 +y 2 1 的内部，D 为它们的公共部分，如图画斜线部分。 求交点，解方程组 得交点坐标(1，1)、（1，1）。化为极坐标系下的二次积
10、分： 被积函数用xrcos，yrsin 代入，面积元素 dxdyrdrd，故 7.已知 n 由 3x 2 +y 2 z，z1x 2 所围成，则 f(x，y，z)dV 等于： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：画出 的立体图的草图，注意分清曲面 3x 2 +y 2 z，z1 一 x 2 的上下位置关系，图形 z1x 2 在上，3x 2 + y 2 z 在下；或画出 在 xOy 平面上的投影图，消 z 得 D xy ：4x 2 +y 2 1，按先 z 后 y 然后 z 的积分顺序，列出积分区域 的不等式组： 8.设 I= （分数：2.00）A.dVQ 的体积B. 0 2 d 0 2
11、d 0 1 r 4 sindrC. 0 2 d 0 d 0 r 4 sindr D. 0 2 d 0 d 0 1 r 4 sindr解析：解析：把 化为球坐标系下的三次积分。被积函数代入直角坐标与球面坐标的关系式 x 2 +y 2 +z 2 r 2 ，体积元素 dVr 2 sindrdd。 9.设 是由 x 2 +y 2 +z 2 2z 及 zr 2 +y 2 所确定的立体区域，则 的体积等于： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题 是由球面里面部分和旋转抛物面外部围成的（见解图），立体在 xOy 平面上投影区域：x 2 +y 2 1，drdrddz， 利用柱面坐标写出三重积分
12、 10. 是由曲面 zx 2 +y 2 ，yx，y0，z1 在第一卦限所围成的闭区域，f(x，y，z)在 上连续，则 f(x，y，z)dV 等于： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：作出 的立体图形（见解图），并确定 在 xOy 平面上投影区域 D xy ：x 2 +y 2 1，写出在直角坐标系下先 z 后 x 最后 y 的三次积分， 11.设 L 是从 A(1，0)到 B（1，2）的线段，则曲线积分 （分数：2.00）A.B. C.2D.0解析：解析：L 的方程：yx+1，xx，ds 1x1，化成一元定积分： L (x+y)ds 1 1 x+（一 x+1） 12.下列各级数中
13、发散的是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用交错级数收敛法可判定选项 B 的级数收敛；利用正项级数比值法可判定选项 C 的级数收敛；利用等比级数收敛性的结论知选项 D 的级数收敛，故发散的是选项 A 的级数。或直接通过正项级数比较法的极限形式判定， 因级数13.幂级数 （分数：2.00）A.一 2，4） B.（一 2，4）C.（一 1，1）D.解析：解析：设 x1t，级数化为 求级数的收敛半径。 则 R 3，即|t|3 收敛。 再判定 t3，t3 时的敛散性，当 t3 时发散，t3 时收敛。 计算如下：t3 代入级数，为调和级数发散； t3 代入级数，14.已知级数 （u
14、2n u 2n+1 ）是收敛的，则下列结论成立的是： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：通过举例说明。 取 u n 1，级数 级数收敛。 取 u n 0， 15.函数 展开成(x1)的幂级数是： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：将函数 变形，利用公式 1+x+x 2 +x n +（1，1），将函数展开成x1 幂级数，即变形 利用公式写出最后结果。所以 16.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛 C.等比级数收敛D.发散解析：解析：把级数各项取绝对值 发散，即取绝对值后级数发散。 原级数为交错级数，满足 u n u n+1 ，且 17.函数 e x 展开
15、成为 x1 的幂函数是： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：已知 e x e x1+1 ee x1 。 利用已知函数的展开式 函数 e x1 展开式为： 所以 e x ee x1 18.下列各级数发散的是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：选项 B 为交错级数，由莱布尼兹判别法判定其收敛；选项 C，由正项级数比值收敛法判定其收敛。 选项 D 为等比级数，公比|q| 1，收敛。选项 A 发散，用正项级数比较法判定。因为调和级数19.函数 展开成(x2)的幂级数是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将函数 变形后，再利用已知函数 的展开式写出结果。20
16、已知函数 （u 2n1 u 2n ）是收敛的，则下列结果成立的是： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：举反例说明，符合题目条件的级数有两种不同的结果，一种可能收敛，另一种可能发散。 例：令 u n 0，级数 而 u n 收敛，说明选项 D 错误。 例：令 u n 1，级数 而 21.级数 （1） n x n 在|x|1 内收敛于函数： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：级数 （1） n x n 1 一 x+x 2 一 x 3 +，公比 qx，当|q|1 时收敛，即|一 x|1，|x|1，1x1。 故级数收敛，和函数 22.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.
17、发散C.条件收敛D.无法判定解析：解析：将级数各项取绝对值得 级数 故收敛。 由正项级数比较法，级数 收敛。 所以原级数23.级数 （1） n1 x n 的和函数是： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：级数 （1） n1 x n 一 x 2 x 2 +x 3 一+（1） n1 x n ，公比 qx，当1x1 时，|q|1。 级数的和函数 24.设 b n sinnx，其中 b n 0 f(x) sinnxdx，则 S 的值是： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：将函数奇延拓，并作周期延拓。 画出在（一 ，函数的图形（见解图）， 为函数的间断点，由狄利克雷收敛定理：2
18、5.级数 u n 收敛的充要条件是： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：题中未说明级数是何种级数。选项 B、C 仅适用于正项级数，故 B、C 不一定适用。选项 A 为级数收敛的必要条件，不是充分条件。选项 D 对任何级数都适用，是级数收敛的充要条件。26.正项级数 （分数：2.00）A.充分条件，但非必要条件 B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件解析：解析：利用正项级数比值法确定级数收敛，而判定正项级数收敛还有其他的方法，因而选 A。27.级数前 n 项和 S n a 1 +a n +a n ，若 a n 0，判断数列S n 有界是级数 （分数
19、2.00）A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分条件，又非必要条件解析：解析：利用正项级数基本定理判定。正项级数收敛的充分必要条件是数列S n 有界。28.设任意项级数 a n ，若|a n |a n+1 |，且 （分数：2.00）A.必条件收敛B.必绝对收敛C.必发散D.可能收敛，也可能发散 解析：解析：举例说明，级数29.若级数 a n 2 收敛，则对级数 （分数：2.00）A.必绝对收敛B.必条件收敛C.必发散D.可能收敛，也可能发散 解析：解析：举例说明，级数 均收敛，但级数（1） n 30.下列命题中，哪个是正确的？（分数：2.00）A.周期函数 f(x)的傅立叶级数收敛于 f(x)B.若 f(x)有任意阶导数，则 f(x)的泰勒级数收敛于 f(x)C.若正项级数D.正项级数收敛的充分且必要条件是级数的部分和数列有界 解析：解析：本题先从熟悉的结论着手考虑，逐一分析每一个结论。选项 D 是正项级数的基本定理，因而正确，其余选项均错误。选项 A，只在函数的连续点处级数收敛于 f(x)；选项 B，级数收敛，还需判定 R n (x)0；选项 C，可通过举反例说明，级数
