1、2017年安徽省蚌埠市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的 A， B， C， D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置 . 1.已知 A=x|2x 1， B=x| 2yx，则 A B=( ) A.-2， 0) B.-2， 0 C.(0， + ) D.-2， + ) 解析： A=x|2x 1=x|x 0=(-， 0)， B=x| 2yx=-2， + ) A B=-2， 0). 答案： A. 2.复数 Z在映射 f下的象为 (1+i)Z，则 -1+2i的原象为 ( ) A. 132 iB.132iC.
2、 132 iD.132i解析： 根据题意，若设 -1+2i的原象为复数 z，则得出 (1+i)z=-1+2i， 所以 1 2 11 2 1 31 1 1 2iiiiz i i i 答案： B 3.若 3c o s25（ ） ，则 cos2 =( ) A. 725B.725C. 1625D.1625解析： 3c o s25（ ） ，可得： 3sin5， 3sin5 ， 22 37c o s 2 1 2 s i n 1 2 5 2 5（ ） . 答案 ： B. 4.已知非零向量 m ， n 满足 3|m |=2|n |， m ， n =60，若 （ ）n tm n则实数 t的值为 ( ) A.3
3、B.-3 C.2 D.-2 解析： 非零向量 m ， n 满足 32mn ， m ， n =60， 1c o s2 ， mn ， 又 （ ）n tm n， 2（ ）n t m n t m n n = 212t m n n = 221 03t n n ， 解得 t=-3. 答案： B. 5. M是抛物线 C： y2=2px(p 0)上一点， F是抛物线 C的焦点， O为坐标原点，若 |MF|=p， K是抛物线 C准线与 x轴的交点，则 MKO=( ) A.15 B.30 C.45 D.60 解析： 由题意，取点 M(2p， p)， K(-2p， 0)， kKM=1， MKO=45 . 答案： C
4、. 6.若实数 x， y满足1002xyxy ，则 221yx的取值范围是 ( ) A.43， 4 B.43， 4) C.2， 4 D.(2， 4 解析： 作出不等式组对应的平面区域如图，则设 21212yyzx x ， 则 z的几何意义是区域内的 P点与点 M(-12， 0)的斜率 k； 如图所示 (k)min=kPA=43， (k)max=kPB=4， 则 221yx的取值范围是 43， 4) 答案： B. 7.已知函数 f(x)定义域为 R，命题： p： f(x)为奇函数， q： 11 0（ ）f x d x，则 p是 q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
5、 D.既不充分也不必要条件 解析： 由 f(x)为奇函数，得 11 0（ ）f x d x，是充分条件， 反之不成立，不是必要条件 . 答案： A. 8.已知函数 f(x)=2sin( x+ )( 0， 0 )的图象上相邻两个最高点的距离为 .若将函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称 .则函数 f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=2sin(x+6) B.f(x)=2sin(x+3) C.f(x)=2sin(2x+6) D.f(x)=2sin(2x+3) 解析： 函数的图象上相邻两个最高点的距离为， 函数周期 T=，即 2T ，即 =2， 即 f(x)=2s
6、in(2x+ )， 若将函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度后，得 f(x)=2sin2(x+6)+ )=2sin(2x+3+ )， 若图象关于 y轴对称 . 则32k ， 即 =6+k， k Z， 0， 当 k=0时， =6， 即 f(x)=2sin(2x+6). 答案 ： C. 9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.7 解析： 模拟程序的运行，可得 S=3， n=0 不满足条件 S 5， S=6， n=1， 不满足条件 n 4，执行循环体，满足条件 S 5， S=3， n=2， 不满足条件 n 4，执行循环体，不满足条件 S 5， S
7、=6， n=3， 不满足条件 n 4，执行循环体，满足条件 S 5， S=3， n=4， 不满足条件 n 4，执行循环体，不满足条件 S 5， S=6， n=5， 满足条件 n 4，退出循环，输出 S的值为 6. 答案 ： C. 10.我们把各位数字之和等于 6 的三位数称为“吉祥数”，例如 123 就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有 ( ) A.28个 B.21个 C.35个 D.56个 解析： 因为 1+1+4=6， 1+2+3=6， 2+2+2=6， 0+1+5=6， 0+2+4=6， 0+3+3=6， 0+0+6=6， 所以可以分为 7类， 当三个位数字为 1， 1， 4时，
8、三位数有 3个， 当三个位数字为 1， 2， 3时，三位数有 33 6A 个， 当三个位数字为 2， 2， 2时，三位数有 1个， 当三个位数字为 0， 1， 5时，三位数有 12224AA个， 当三个位数字为 0， 2， 4时，三位数有 12224AA个， 当三个位数字为 0， 3， 3时，三位数有 2个， 当三个位数字为 0， 0， 6时，三位数有 1个， 根据分类计数原理得三位数共有 3+6+1+4+4+2+1=21. 答案： B. 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为 ( ) A.23 B. 3 C.32 D. 2 解析： 由已知中的三视图可得： 该几何体是一个棱
9、长为 2的正方体，切去四个角所得的正四面体， 其外接球等同于棱长为 2的正方体的外接球， 故 2222 2 2 2 2 3R ， 故 R= 3 . 答案： B 12.已知函数 （ ）xaf x ex (a R且 x 0).若存在实数 p， q(p q)，使得 f(x) 0的解集恰好为 p， q，则 a的取值范围是 ( ) A.(0， 1e B.(-， 1e C.(0， 1e) D.(-， 1e) 解析： 当 a=0时， f(x)=-e-x 0，则不存在 f(x) 0的解集恰为 p， q， 当 a 0时， f(x) 0，此时函数 f(x)单调递增，则不存在 f(x) 0的解集恰为 p， q， 当
10、 a 0时，由 f(x) 0得xa ex ， 当 x 0时，不等式等价为xxa e， 设 （ ）xxgxe， 则 1（ ）xxgx e， 当 x 1时， g (x) 0， 当 0 x 1时， g (x) 0， 即当 x=1时， g(x)取得极大值，同时也是最大值 11（ ）ge， 若存在实数 p， q，使得 f(x) 0的解集恰为 p， q， 则必有 a 1e， 即 0 a 1e. 答案： C. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，请将答案填在答题卷相应横线上 . 13.双曲线 22221xyab(a 0， b 0)的渐近线与圆 22( 2 ) 1xy 相切，则此双曲线的
11、离心率为 _. 解析： 由题意可知双曲线的渐近线方程之一为： bx+ay=0， 圆 22( 2 ) 1xy 的圆心 ( 2 ， 0)，半径为 1， 双曲线 22221xyab(a 0， b 0)的渐近线与圆 22( 2 ) 1xy 相切， 可得：222 1bba， 可得 a2=b2， c= 2 a， e= 2 . 答案： 2 . 14.若312（ ） axx的展开式中只有第 5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 _. 解析： 根据题意，312（ ） axx的展开式中只有第 5项的二项式系数最大， 则 a=8， 则3812（ ）x x 的 二 项 展 开 式 为2 4 48 8 8 831
12、8 83 11 122（ ） （ ） （ ） （ ）rr r r r r rrxT C C xx ， 令 24 43 r=0，解可得， r=6； 则其常数项为 7. 答案： 7 15.孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此 容器能放多少斛米” (古制 1 丈 =10 尺， 1 斛 =1.62 立方尺，圆周率 =3)，则该圆柱形容器能放米 _斛 . 解析： 设圆柱的底面半径为 r，则 2 r=54， r=9， 故米堆的体积为 92 18=4374立方尺， 1斛米的体积
13、约为 1.62立方尺， 4374 1.62 2700斛 . 答案： 2700. 16.在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，外接圆半径为 1，且 tan 2tan A c bBb ，则 ABC面积的最大值为 _. 解析： 外接圆半径为 1， 2s i n s i n s i n a b cA B C； 又 tan 2tan A c bBb， s i n c o s 2 s i n s i nc o s s i n s i nA B C BA B B sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA sinC=2sinCcosA 1cos 2A， 3A ， 3si
14、n2A ， 那么： 11s i n 2 s i n 2 s i n s i n 3 s i n s i n22ABCS b c A B C A B C . 令 y=sinB sinC. 23BC， 22 3 1 3 1 1 1 1s i n s i n s i n c o s s i n s i n 2 c o s 2 s i n 23 2 2 4 4 4 2 6 4（ ） （ ）y B B B B B B B B 0 B 23， 726 6 6（ ， ）B ， 当 262B 时， y取最大值为 12. ABC面积的最大值为 334. 答案 ： 334三、解答题：本大题共 5小题，共 70 分
15、 .解答须写出说明、证明过程和演算步骤 . 17.等差数列 an前 n项和为 Sn，且 S5=45， S6=60. (1)求 an的通项公式 an； (2)若数列 an满足 bn+1-bn=an(n N*)且 b1=3，求 1nb的前 n项和 Tn. 解析： (1)利用等差数列的前 n项和公式即可得出； (2)利用“累加求和”、裂项求和、等差数列的前 n项和公式即可得出 . 答案： (1)设等差数列 an的公差为 d， S5=45， S6=60， 11545 4 52656 6 02adad，解得 1 52ad. an=5+(n-1) 2=2n+3. (2) bn+1-bn=an=2n+3，
16、b1=3， bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ +(b2-b1)+b1 =2(n-1)+3+2(n-2)+3+ +(2 1+3)+3 = 1232nn n =n2+2n. 1 1 1 1 12 2 2nb n n n n. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n = 1 1 1 112 2 1 2nn = 3 1 14 2 1 2 2nn. 18.某校开展“读好书，好读书”活动，要求本学期每人至少读一本课外书，该校高一共有100名学生，他们本学期读课外书的本数统计如图所示 . (I)求高一学生读课外书的人均本数； ( )从
17、高一学生中任意选两名学生，求他们读课外书的本数恰好相等的概率； ( )从高一学生中任选两名学生，用表示这两人读课外书的本数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望 E . 解析： ( )由图知读课外书 1 本、 2 本、 3 本的学生人数分别为 10， 50 和 40，由此能求出高一学生读课外书的人均本数 . ( )从高一学生中任选两名学生，利用互斥事件概率加法公式能求出他们读课外书的本数恰好相等的概率 . ( )从高一学生中任选两名学生，用表示这两人读课外书的本数之差的绝对值，则的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率 ，由此能求出随机变量的分布列及数学期望 E . 答案： ( )
18、由图知读课外书 1本、 2本、 3本的学生人数分别为 10， 50和 40， 高一学生读课外书的人均本数为： 1 1 0 2 5 0 3 4 0 2 . 3100 . ( )从高一学生中任选两名学生，他们读课外书的本数恰好相等的概率为： 2 2 21 0 3 0 4 021004199C C CpC. ( )从高一学生中任选两名学生， 记“这两人中一人读 1 本书，另一人读 2本书”为事件 A， “这两人中一人读 2本书，另一人读 3本书”为事件 B， “这两人中一人读 1本书，另一人读 3本书”为事件 C， 从高一学生中任选两名学生，用表示这两人读课外书的本数之差的绝对值， 则的可能取值为
19、0， 1， 2， 2 2 21 0 3 0 4 0210041099（ ）C C CPC ， 1 1 1 11 0 5 0 5 0 4 0221 0 0 1 0 050199（ ） （ ） （ ）C C C CP P A P BCC ， 111 0 4 021008299（ ） （ ）CCP P CC ， 的分布列为： 0 1 2 P 4199 5099 899 4 1 5 0 8 20 1 29 9 9 9 9 9 3（ ）E . 19.在三棱柱 ABC-A1B1C1中， CA=CB，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E， F 分别在线段AA1， A1B1上，且 AE=12， A
20、1F=34， CE EF， M为 AB中点 (I)证明： EF平面 CME； ( )若 CA CB，求直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值 . 解析： ( )推导出 Rt EAM Rt FA1E，从而 EF ME，又 EF CE，由此能证明 EF平面 CEM. ( )设线段 A1B1中点为 N，连结 MN，推导出 MC， MA， MN 两两垂直，建空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值 . 答案： ( )在正方形 ABB1A1中， A1E=32， AM=1， 在 Rt EAM和 Rt FA1E中，1132 A E A MA F A E， 又 EAM= FA
21、1E=2， Rt EAM Rt FA1E， AEM= A1FE， EF EM， 又 EF CE， ME CE=E， EF平面 CEM. ( )在等腰三角形 CAB中， CA CB， AB=2， CA=CB= 2 ，且 CM=1， 设线段 A1B1中点为 N，连结 MN，由 ( )可证 CM平面 ABB1A1， MC， MA， MN两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C(1， 0， 0)， E(0， 1， 12)， F(0， 14， 2)， A(0， 1， 0)， C1(1， 0， 2)， 111 2（ ， ， ）CE ， 30 4 32（ ， ， ）EF ， 1AC =(1， -1
22、， 2)， 设平面 CEF的法向量为 n =(x， y， z)， 则1 0233 042 n C E x y zn E F y z ，取 z=2，得 n =(5， 4， 2)， 设直线 AC1与平面 CEF所成角为， 则 1130s i n18A C nA C n， 直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值为 3018. 20.已知椭圆 C： 22221xyab(a b 0)的长轴长为 4，离心率为 32，右焦点为 F. (1)求椭圆 C的方程； (2)直线 l与椭圆 C相切于点 P(不为椭圆 C的左、右顶点 )，直线 l与直线 x=2交于点 A，直线 l与直线 x=-2交于点 B，请问 AF
23、B是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明 . 解析： (1)由 2a=4，离心率 32cea， 22b a c即可求得 a 和 b，即可求得椭圆 C的方程； (2)l 的斜率为 0 时， AFB 为直角，则 AFB 为定值2，当斜率不为 0 时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得 AF 和 BF 的斜率 kAF及 kBF，即可求得 kAF kBF=-1，即可求得AFB为定值2. 答案： (1)2a=4，即 a=2， 32cea， c= 3 ， 22b a c=1， 椭圆方程为： 2 2 14 x y ， (2)当 l的斜率为 0时， AFB为直角，则 AFB为定值，为2， 当斜率不为
24、 0时，设切点为 P(x0， y0)，则 l：0 0 14 xx yy， A(2， 001 2xy )， B(-2， 001 2xy )， 002002001 1 12212 3 2 34A F B Fx x xkk yyy ， AFB为定值2. 21.已知函数 2 ln（ ）xx a x xfxe (其中 e是自然对数的底数， a R). (I)若曲线 f(x)在 x=l 处的切线与 x轴不平行，求 a的值； ( )若函数 f(x)在区间 (0， 1上是单调函数，求 a的最大值 . 解析： ( )求出原函数的导函数，可得 f (1)=0，得到曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程为1 ay
25、e ，结合切线与 x轴不平行，可得 1 0ae ，从而求得 a值； ( )由 2 12 l n（ ）xx a x a xxfx e ，设 2 12 l n（ ）h x x a x a xx ，求出 h (x)，可知 h (x)在 (0， 1上是减函数，从而 h (x) h (1)=2-a. 然后分当 2-a 0，和 2-a 0分类研究函数的单调性得答案 . 答案： ( )依题意， 2 12 l n（ ）xx a x a xxfx e ， f (1)=0，且曲线 f(x)在 x=1处的切线方程为 1 aye， 切线与 x轴不平行，故切线与 x轴重合， 1 0ae ，即 a=-1； ( ) 2 1
26、2 l n（ ）xx a x a xxfx e ， 设 2 12 l n（ ）h x x a x a xx ，则21122（ ） （ ）h x x a xx . h (x)在 (0， 1上是减函数，从而 h (x) h (1)=2-a. 当 2-a 0，即 a 2 时， h (x) 0， h(x)在区间 (0， 1)上为增函数 . h(1)=0， h(x) 0 在 (0， 1上恒成立，即 f (x) 0在 (0， 1上恒成立 . f(x)在 (0， 1上是减函数 . a 2满足题意； 当 2-a 0，即 a 2 时，设函数 h (x)的唯一零点为 x1， 则 h(x)在 (0， x1)上递增，
27、在 (x1， 1)上递减 . 又 h(1)=0， h(x1) 0. 又 h(e-a)=-e-2a+(2-a)e-a+a-ea+lne-a=-e-2a+(2-a)e-a-ea 0， h(x)在 (0， 1)内由唯一一个零点 x， 当 x (0， x )时， h(x) 0，当 x (x， 1)时， h(x) 0. 从而 f(x)在 (0， x )上递减，在 (x， 1)上递增，与在区间 (0， 1上是单调函数矛盾 . a 2不合题意 . 综上， a的最大值为 2. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为212222xtyt(t为参数 )，在极坐标系 (
28、与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴非负半轴为极轴 )中，圆 C的方程为 =6sin . (I)求直角坐标下圆 C 的标准方程； ( )若点 P(l， 2)，设圆 C与直线 l交于点 A， B，求 |PA|+|PB|的值 . 解析： (I)圆 C 的方程为 =6sin，即 2=6 sin，利用互化公式可得直角坐标方程，配方可得标准方程 . (II)直线 l 的参数方程为212222xtyt(t 为参数 )，代入圆的方程可得： t2-7=0，解得 t1，t2.利用 |PA|+|PB|=|t1-t2|，即可得出 . 答案： (I)圆 C 的方程为 =6sin，即 2=
29、6 sin，利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2=6y，配方为 x2+(y-3)2=9. (II)直线 l的参数方程为212222xtyt(t为参数 )，代入圆的方程可得： t2-7=0，解得 t1=7，t2=-7. |PA|+|PB|=|t1-t2|=27. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|， g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式 |g(x)| 5； (2)若对任意 x1 R，都有 x2 R，使得 f(x1)=g(x2)成立，求实数 a的取值范围 . 解析： (1)利用 |x-1|+2| 5，转化为 -7 |x-1| 3，然后求解不等式即可 . (2)利用条件说明 y|y=f(x) y|y=g(x)，通过函数的最值，列出不等式求解即可 . 答案： (1)由 |x-1|+2| 5，得 -5 |x-1|+2 5 -7 |x-1| 3， 得不等式的解为 -2 x 4 (2)因为任意 x1 R，都有 x2 R，使得 f(x1)=g(x2)成立， 所以 y|y=f(x) y|y=g(x)， 又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|， g(x)=|x-1|+2 2，所以 |a+3| 2，解得 a -1或 a -5， 所以实数 a的取值范围为 a -1或 a -5.
