1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 （ 北京卷 ） 数学文 一、选择题 1.已知全集 U=R，集合 A=x|x -2或 x 2，则 UA=( ) A.(-2， 2) B.(-， -2) (2， + ) C.-2， 2 D.(-， -2 2， + ) 解析：集合 A=x|x -2或 x 2=(-， -2) (2， + )，全集 U=R， UA=-2， 2. 答案： C. 2.若复数 (1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a的取值范围是 ( ) A.(-， 1) B.(-， -1) C.(1， + ) D.(-1， + ) 解析：复数 (1-i)(a+i)=a+1+(1-a
2、)i 在复平面内对应的点在第二象限，可得 1010aa，解得 a范围 . 答案： B. 3.执行如图所示的程序框图，输出的 S值为 ( ) A.2 B.32C.53D.85解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 . 答案： C. 4.若 x， y满足 3 2xxyyx ，则 x+2y的最大值为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.9 解析：画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可 . 答案： D. 5.已知函数 f(x)=3x-(13)x，则 f(x)( ) A.是偶函数
3、，且在 R上是增函数 B.是奇函数，且在 R上是增函数 C.是偶函数，且在 R上是减函数 D.是奇函数，且在 R上是减函数 解析：由已知得 f(-x)=-f(x)，即函数 f(x)为奇函数，由函数 y=3x为增函数， y=(13)x为减函数，结合“增” -“减” =“增”可得答案 . 答案： B. 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( ) A.60 B.30 C.20 D.10 解析：由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示 . 答案： D. 7.设 m ， n 为非零向量，则“存在负数，使得 m = n ”是 “ m n 0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分
4、条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： m ， n 为非零向量，存在负数，使得 m = n ，则向量 m ， n 共线且方向相反，可得 m n 0.反之不成立，非零向量 m ， n 的夹角为钝角，满足 m n 0，而 m = n 不成立 .即可判断出结论 . 答案： A. 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N约为 1080，则下列各数中与 MN最接近的是 ( ) (参考数据： lg3 0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析：根据对数的性质： alog TTa ，可得： 3=10lg
5、3 100.48，代入 M将 M也化为 10 为底的指数形式，进而可得结果 . 答案： D. 二、填空题 9.在平面直角坐标系 xOy中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称，若 sin =13，则 sin =_. 解析：推导出 + = +2k， k Z，从而 sin =sin( +2k - )=sin，由此能求出结果 . 答案： 13. 10.若双曲线 22 yxm=1 的离心率为 3 ，则实数 m=_. 解析：利用双曲线的离心率，列出方程求和求解 m 即可 . 答案： 2. 11.已知 x 0， y 0，且 x+y=1，则 x2+y2的取值范围是 _. 解析：利用已知条件转化
6、所求表达式，通过二次函数的性质求解即可 . 答案： 12， 1. 12.已知点 P 在圆 x2+y2=1 上，点 A 的坐标为 (-2， 0)， O 为原点，则 AO AP 的最大值为_. 解析：设 P(cos， sin ).可得 AO =(2， 0)， AP =(cos +2， sin ).利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出 . 答案： 6. 13.能够说明“设 a， b， c是任意实数 .若 a b c，则 a+b c”是假命题的一组整数 a， b，c的值依次为 _. 解析 ： 设 a， b， c 是任意实数 .若 a b c，则 a+b c”是假命题，则若 a b c，则
7、 a+b c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 . 答案： -1， -2， -3. 14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (i)男学生人数多于女学生人数； (ii)女学生人数多于教师人数； (iii)教师人数的两倍多于男学生人数 . 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 _. 该小组人数的最小值为 _. 解析：设男学生女学生分别为 x， y 人，若教师人数为 4，则 424xyyx ，进 而可得答案； 设男学生女学生分别为 x， y人，教师人数为 z，则2xyyzzx，进而可得答案 . 答案： 6， 12. 三、解答题 15.已知等差数列 an和等比数列 bn
8、满足 a1=b1=1， a2+a4=10， b2b4=a5. ( )求 an的通项公式； ( )求和： b1+b3+b5+ +b2n-1. 解析： ( )利用已知条件求出等差数列的公差，然后求 an的通项公式； ( )利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可 . 答案： ( )等差数列 an， a1=1， a2+a4=10，可得： 1+d+1+3d=10，解得 d=2， 所以 an的通项公式： an=1+(n-1) 2=2n-1. ( )由 ( )可得 a5=a1+4d=9， 等比数列 bn满足 b1=1， b2b4=9.可得 b3=3，或 -3(舍去 )(等比数列奇数项符号相同 ). q2
9、=3， b2n-1是等比数列，公比为 3，首项为 1. b1+b3+b5+ +b2n-1= 2211 3112n nqq . 16.已知函数 f(x)= 3 cos(2x-3)-2sinxcosx. ( )求 f(x)的最小正周期； ( )求证：当 x -4，4时， f(x) -12. 解析： ( )根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出 f(x)sin(2x+3)，根据周期的定义即可求出， ( )根据正弦函数的图象和性质即可证明 . 答案： ( )f(x)= 3 cos(2x-3)-2sinxcosx= 3 (12cos2x+ 32sin2x)-sin2x= 32cos2x+12 si
10、n2x=sin(2x+3 )， T=22=， f(x)的最小正周期为， ( ) x -4，4， 2x+3 -6， 56， -12 sin(2x+3) 1， f(x) -12. 17.某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7组： 20， 30)， 30， 40)，80， 90，并整理得到如下频率分布直方图： ( )从总体的 400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； ( )已知样本中分数小于 40的学生有 5人，试估计总体中分数在区间 40， 50)内的人数； ( )已知样本
11、中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等 .试估计总体中男生和女生人数的比例 . 解析： ( )根据频率 =组距高，可得分数小于 70的概率为： 1-(0.04+0.02) 10； ( )先计算样本中分数小于 40 的频率，进而计算分数在区间 40， 50)内的频率，可估计总体中分数在区间 40， 50)内的人数； ( )已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等 .进而得到答案 . 答案： ( )由频率分布直方图知：分数小于 70 的频率为： 1-(0.04+0.02) 10=0.4 故从总体的 400名学生中随机抽取
12、一人，估计其分数小于 70的概率为 0.4； ( )已知样本中分数小于 40的学生有 5人， 故样本中分数小于 40 的频率为： 0.05， 则分数在区间 40， 50)内的频率为： 1-(0.04+0.02+0.02+0.01) 10-0.05=0.05， 估计总体中分数在区间 40， 50)内的人数为 400 0.05=20人， ( )样本中分数不小于 70的频率为： 0.6， 由于样本 中分数不小于 70的男女生人数相等 . 故分数不小于 70 的男生的频率为： 0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于 70， 故男生的频率为： 0.6， 即女生的频率为： 0.4， 即总体中男生和女生人
13、数的比例约为： 3： 2. 18.如图，在三棱锥 P-ABC中， PA AB， PA BC， AB BC， PA=AB=BC=2， D为线段 AC的中点，E为线段 PC 上一点 . (1)求证： PA BD； (2)求证：平面 BDE平面 PAC； (3)当 PA平面 BDE时，求三棱锥 E-BCD的体积 . 解析： (1)运用线面垂直的判定定理可得 PA平面 ABC，再由性质定理即可得证； (2)要证平面 BDE平面 PAC，可证 BD平面 PAC，由 (1)运用面面垂直的判定定理可得平面PAC平面 ABC，再由等腰三角形的性质可得 BD AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证； (3)由线
14、面平行的性质定理可得 PA DE，运用中位线定理，可得 DE的长，以及 DE平面 ABC，求得三角形 BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值 . 答案： (1)证明：由 PA AB， PA BC， AB 平面 ABC， BC 平面 ABC，且 AB BC=B， 可得 PA平面 ABC， 由 BD 平面 ABC， 可得 PA BD； (2)证明：由 AB=BC， D 为线段 AC 的中点， 可得 BD AC， 由 PA平面 ABC， PA 平面 PAC， 可得平面 PAC平面 ABC， 又平面 ABC平面 ABC=AC， BD 平面 ABC，且 BD AC， 即有 BD平面 PAC
15、， BD 平面 BDE， 可得平面 BDE平面 PAC； (3)PA平面 BDE， PA 平面 PAC， 且平面 PAC平面 BDE=DE， 可得 PA DE， 又 D为 AC的中点， 可得 E为 PC 的中点，且 DE=12PA=1， 由 PA平面 ABC， 可得 DE平面 ABC， 可得 S BDC=12S ABC=12 12 2 2=1， 则三棱锥 E-BCD的体积为 13DE S BDC=13 1 1=13. 19.已知椭圆 C的两个顶点分别为 A(-2， 0)， B(2， 0)，焦点在 x轴上，离心率为 32. ( )求椭圆 C的方程； ( )点 D为 x轴上一点，过 D作 x轴的垂
16、线交椭圆 C于不同的两点 M， N，过 D 作 AM 的垂线交 BN于点 E.求证： BDE与 BDN的面积之比为 4： 5. 解析： ( )由题意设椭圆方程，由 a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得 c，则 b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程； ( )由题意分别求得 DE和 BN的斜率及方程，联立即可求得 E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得 45BEBN，因此可得 BDE与 BDN的面积之比为 4： 5. 答案： ( )由椭圆的焦点在 x轴上，设椭圆方程： 22xyab=1(a b 0)， 则 a=2， e= 32ca，则 c= 3 ， b2=a2-c2=1， 椭圆 C的方程
17、2 24x y=1； ( )证明：设 D(x0， 0)， (-2 x0 2)， M(x0， y0)， N(x0， -y0)， y0 0， 由 M， N在椭圆上，则 2 2004x y =1，则 220044xy ， 则直线 AM的斜率00022AM yyk xx，直线 DE 的斜率002DExk y ， 直线 DE 的方程： y=-002xy (x-x0)， 直线 BN 的斜率00 2BNyk x ，直线 BN的方程 y= 00 2yx (x-2)， 00000222xy x xyyyxx ，解得：0042545xxyy ， 过 E做 EH x轴， BHE BDN， 则 |EH|= 045y，
18、 则 45EHND， BDE与 BDN的面积之比为 4： 5. 20.已知函数 f(x)=excosx-x. (1)求曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间 0，2上的最大值和最小值 . 解析： (1)求出 f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程； (2)求出 f(x)的导数，再令 g(x)=f (x)，求出 g(x)的导数，可得 g(x)在区间 0，2的单调性，即可得到 f(x)的单调性，进而得到 f(x)的最值 . 答案： (1)函数 f(x)=excosx-x的导数为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1，
19、可得曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线斜率为 k=e0(cos0-sin0)-1=0， 切点为 (0， e0cos0-0)，即为 (0， 1)， 曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程为 y=1； (2)函数 f(x)=excosx-x的导数为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1， 令 g(x)=ex(cosx-sinx)-1， 则 g(x)的导数为 g (x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2ex sinx， 当 x 0，2，可得 g (x)=-2ex sinx 0， 即有 g(x)在 0，2递减，可得 g(x) g(0)=0， 则 f(x)在 0，2递减， 即有函数 f(x)在区间 0，2上的最大值为 f(0)=e0cos0-0=1； 最小值为 f(2)= 2e cos2-2=-2.
