1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 （ 北京卷 ） 数学理 一、选择题 .(每小题 5 分 ) 1.若集合 A=x|-2 x 1， B=x|x -1或 x 3，则 A B=( ) A.x|-2 x -1 B.x|-2 x 3 C.x|-1 x 1 D.x|1 x 3 解析：集合 A=x|-2 x 1， B=x|x -1或 x 3， A B=x|-2 x -1. 答案： A. 2.若复数 (1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a的取值范围是 ( ) A.(-， 1) B.(-， -1) C.(1， + ) D.(-1， + ) 解析：复数 (1-i)(a+i)=a+1+(
2、1-a)i 在复平面内对应的点在第二象限，可得 1010aa，解得 a范围 . 答案： B. 3.执行如图所示的程序框图，输出的 S值为 ( ) A.2 B.32C.53D.85解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 . 答案： C. 4.若 x， y满足 3 2xxyyx ，则 x+2y的最大值为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.9 解析：画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可 . 答案： D. 5.已知函数 f(x)=3x-(13)x，则 f(x)( ) A.是
3、奇函数，且在 R上是增函数 B.是偶函数，且在 R上是增函数 C.是奇函数，且在 R上是减函数 D.是偶函数，且在 R上是减函数 解析：由已知得 f(-x)=-f(x)，即函数 f(x)为奇函数，由函数 y=3x为增函数， y=(13)x为减函数，结合“增” -“减” =“增”可得答案 . 答案： A. 6.设 m ， n 为非零向量，则“存在负数，使得 m = n ”是 “ m n 0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： m ， n 为非零向量，存在负数，使得 m = n ，则向量 m ， n 共线且方向相反，可得 m
4、n 0.反之不成立，非零向量 m ， n 的夹角为钝角，满足 m n 0，而 m = n 不成立 .即可判断出结论 . 答案： A. 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ( ) A.3 2 B.2 3 C.2 2 D.2 解析：根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为 PA，根据勾股定理求出即可 . 答案： B. 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N约为 1080，则下列各数中与 MN最接近的是 ( ) (参考数据： lg3 0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析：根
5、据对数的性质： alog TTa ，可得： 3=10lg3 100.48，代入 M将 M也化为 10 为底的指数形式，进而可得结果 . 答案： D. 二、填空题 (每小题 5 分 ) 9.若双曲线 22 yxm=1的离心率为 3 ，则实数 m=_. 解析：利用双曲线的离心率，列出方程求和求解 m 即可 . 答案： 2. 10.若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1=b1=-1， a4=b4=8，则22ab =_. 解析：利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果 . 答案： 1. 11.在极坐标系中，点 A在圆 2-2 cos -4 sin +4=0上，点 P的坐
6、标为 (1， 0)，则 |AP|的最小值为 _. 解析：先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点 P的距离的最小值 . 答案： 1. 12.在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若sin =13，则 cos( - )=_. 解析：方法一：根据教的对称得到 sin =sin =13， cos =-cos，以及两角差的余弦公式即可求出 ； 方法二：分在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出 . 答案： -79. 13.能够说明“设 a， b， c是任意实数 .若 a b c，则 a+b c
7、”是假命题的一组整数 a， b，c的值依次为 _. 解析 ： 设 a， b， c 是任意实数 .若 a b c，则 a+b c”是假命题，则若 a b c，则 a+b c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 . 答案： -1， -2， -3. 14.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， i=1， 2， 3. (1)记 Qi为第 i名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1， Q2， Q3中最大的是 _. (2)记 pi为第 i名工人在这
8、一天中平均每小时加工的零件数，则 p1， p2， p3中最大的是 _. 解析： (1)若 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Qi=Ai的综坐标 +Bi的纵坐标；进而得到答案 . (2)若 pi为第 i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 pi为 AiBi中点与原点连线的斜率；进而得到答案 . 答案： Q1， p2. 三、解答题 15.在 ABC中， A=60， c=37a. (1)求 sinC的值； (2)若 a=7，求 ABC的面积 . 解析： (1)根据正弦定理即可求出答案， (2)根据同角的三角函数的关系求出 cosC，再根据两角和正弦公式求出 sinB，根据面积公
9、式计算即可 . 答案： (1) A=60， c=37a， 由正弦定理可得 sinC=37sinA= 3 3 3 37 2 1 4， (2)a=7，则 c=3， C A， 由 (1)可得 cosC=1314， sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 3 1 3 1 3 3 4 32 1 4 2 1 4 7 ， S ABC=12acsinB=12 7 3 437=63. 16.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M在线段 PB上， PD平面 MAC， PA=PD= 6 ， AB=4. (1)求证： M为 PB 的中点；
10、(2)求二面角 B-PD-A的大小； (3)求直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值 . 解析： (1)设 AC BD=O，则 O为 BD的中点，连接 OM，利用线面平行的性质证明 OM PD，再由平行线截线段成比例可得 M为 PB的中点； (2)取 AD中点 G，可得 PG AD，再由面面垂直的性质可得 PG平面 ABCD，则 PG AD，连接OG，则 PG OG，再证明 OG AD.以 G 为坐标原点，分别以 GD、 GO、 GP 所在直线为 x、 y、 z轴距 离空间直角坐标系，求出平面 PBD与平面 PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B-PD-A的大小； (3)求出
11、 CM 的坐标，由 CM 与平面 PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值 . 答案： (1)证明：如图，设 AC BD=O， ABCD为正方形， O为 BD的中点，连接 OM， PD平面 MAC， PD 平面 PBD，平面 PBD平面 AMC=OM， PD OM，则 BO BMBD BP，即 M为 PB的中点； (2)解：取 AD中点 G， PA=PD， PG AD， 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， PG平面 ABCD，则 PG AD，连接 OG，则 PG OG， 由 G是 AD的中点， O是 AC 的中点，可得 O
12、G DC，则 OG AD. 以 G为坐标原点，分别以 GD、 GO、 GP 所在直线为 x、 y、 z轴距离空间直角坐标系， 由 PA=PD= 6 ， AB=4，得 D(2， 0， 0)， A(-2， 0， 0)， P(0， 0， 2 )， C(2， 4， 0)， B(-2，4， 0)， M(-1， 2， 22)， DP =(-2， 0， 2)， DB =(-4， 4， 0). 设平面 PBD的一个法向量为 m =(x， y， z)， 则由 00m DPm DB ，得 2 2 04 4 0xzxy ，取 z= 2 ，得 m =(1， 1， 2 ). 取平面 PAD的一个法向量为 n =(0，
13、1， 0). cos m ， n = 112 1 2mnmn . 二面角 B-PD-A的大小为 60； (3)解： CM =(-3， -2， 22)，平面 PAD的一个法向量为 n =(0， 1， 0). 直线 MC与平面 BDP 所成角的正弦值为 |cos CM ， n |= 2 2 6919 4 12C M nC M n . 17.为了研究一种新药的疗效，选 100名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药 .一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成如图，其中“ *”表示服药者，“ +”表示未服药者 . (1)从服药的 50名患者中随机选出一人，求此
14、人指标 y的值小于 60 的概率； (2)从图中 A， B， C， D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标 x的值大于 1.7的人数，求的分布列和数学期望 E( )； (3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 .(只需写出结论 ) 解析： (1)由图求出在 50名服药患者中，有 15名患者指标 y的值小于 60，由此能求出从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标小于 60的概率 . (2)由图知： A、 C两人指标 x的值大于 1.7，而 B、 D两人则小于 1.7，可知在四人中随机选项出的 2 人中指标 x 的值大于 1.7 的
15、人数的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和 E( ). (3)由图知 100名患者中服药者指标 y数据的方差比未 服药者指标 y数据的方差大 . 答案： (1)由图知：在 50名服药患者中，有 15 名患者指标 y的值小于 60， 则从服药的 50名患者中随机选出一人，此人指标小于 60的概率为： p=15 350 10. (2)由图知： A、 C两人指标 x的值大于 1.7，而 B、 D两人则小于 1.7， 可知在四人中随机选项出的 2人中指标 x的值大于 1.7的人数的可能取值为 0， 1， 2， P( =0)=2411=6C ， P( =1)= 11222
16、423CCC ， P( =2)=2411=6C ， 的分布列如下： E( )=0 16+1 23+2 16=1. (3)由图知 100名患者中服药者指标 y数据的方差比未服药者指标 y数据的方差大 . 18.已知抛物线 C： y2=2px过点 P(1， 1).过点 (0， 12)作直线 l与抛物线 C交于不同的两点 M，N，过点 M作 x轴的垂线分别与直线 OP、 ON 交于点 A， B，其中 O为原点 . (1)求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证： A为线段 BM 的中点 . 解析： (1)根据抛物线过点 P(1， 1).代值求出 p，即可求出抛物线 C 的方程，焦点
17、坐标和准线方程； (2)设过点 (0， 12)的直线方程为 y=kx+12， M(x1， y1)， N(x2， y2)，根据韦达定理得到 x1+x2=21 kk ， x1x2=214k ，根据中点的定义即可证明 . 答案： (1) y2=2px过点 P(1， 1)， 1=2p， 解得 p=12， y2=x， 焦点坐标为 (14， 0)，准线为 x=-14， (2)证明：设过点 (0， 12)的直线方程为 y=kx+12， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 直线 OP为 y=x，直线 ON 为： y=22y xx ， 由题意知 A(x1， x1)， B(x1，122xyx )， 由21
18、2y kxyx，可得 k2x2+(k-1)x+14=0， x1+x2=21 kk ， x1x2=214k ， 12 21 2 1 21 1 1 1 1 1 12 2 2211 11 2 2 2 2 1 2 2122 24kx k xx y x x ky k x k x k x k x k x xxxk xx ， A为线段 BM的中点 . 19.已知函数 f(x)=excosx-x. (1)求曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间 0，2上的最大值和最小值 . 解析： (1)求出 f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
19、(2)求出 f(x)的导数，再令 g(x)=f (x)，求出 g(x)的导数，可得 g(x)在区间 0，2的单调性，即可得到 f(x)的单调性，进而得到 f(x)的最值 . 答案： (1)函数 f(x)=excosx-x的导数为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1， 可得曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线斜率为 k=e0(cos0-sin0)-1=0， 切点为 (0， e0cos0-0)，即为 (0， 1)， 曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程为 y=1； (2)函数 f(x)=excosx-x的导数为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1， 令
20、g(x)=ex(cosx-sinx)-1， 则 g(x)的导数为 g (x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2ex sinx， 当 x 0，2，可得 g (x)=-2ex sinx 0， 即有 g(x)在 0，2递减，可得 g(x) g(0)=0， 则 f(x)在 0，2递减， 即有函数 f(x)在区间 0，2上的最大值为 f(0)=e0cos0-0=1； 最小值为 f(2)= 2e cos2-2=-2. 20.设 an和 bn是两个等差数列，记 cn=maxb1-a1n， b2-a2n， bn-ann(n=1， 2， 3， )，其中 maxx1， x2， xs表示 x1，
21、 x2， xs这 s 个数中最大的数 . (1)若 an=n， bn=2n-1，求 c1， c2， c3的值，并证明 cn是等差数列； (2)证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 n m 时， ncn M；或者存在正整数 m，使得 cm， cm+1， cm+2，是等差数列 . 解析： (1)分别求得 a1=1， a2=2， a3=3， b1=1， b2=3， b3=5，代入即可求得 c1， c2， c3；由(bk-nak)-(b1-na1) 0，则 b1-na1 bk-nak，则 cn=b1-na1=1-n， cn+1-cn=-1对 n N*均成立； (2)由 bi-ain=b1+(i
22、-1)d1-a1+(i-1)d2 n=(b1-a1n)+(i-1)(d2-d1 n)，分类讨论 d1=0， d1 0， d1 0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得 cm， cm+1， cm+2，是等差数列；设 ncn=An+B+Cn对任意正整数 M，存在正整数 m，使得 n m， ncn M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数 M，存在正整数 m，使得当 n m时， ncn M. 答案： (1)a1=1， a2=2， a3=3， b1=1， b2=3， b3=5， 当 n=1时， c1=maxb1-a1=max0=0， 当 n=2时， c2=maxb1-2a1， b2-2
23、a2=max-1， -1=-1， 当 n=3时， c3=maxb1-3a1， b2-3a2， b3-3a3=max-2， -3， -4=-2， 下面证明：对 n N*，且 n 2，都有 cn=b1-na1， 当 n N*，且 2 k n 时， 则 (bk-nak)-(b1-na1)， =(2k-1)-nk-1+n， =(2k-2)-n(k-1)， =(k-1)(2-n)，由 k-1 0，且 2-n 0， 则 (bk-nak)-(b1-na1) 0，则 b1-na1 bk-nak， 因此，对 n N*，且 n 2， cn=b1-na1=1-n， cn+1-cn=-1， c2-c1=-1， cn+
24、1-cn=-1对 n N*均成立， 数列 cn是等差数列； (2)证明：设数列 an和 bn的公差分别为 d1， d2，下面考虑的 cn取值， 由 b1-a1n， b2-a2n， bn-ann， 考虑其中任意 bi-ain， (i N*，且 1 i n)， 则 bi-ain=b1+(i-1)d1-a1+(i-1)d2 n=(b1-a1n)+(i-1)(d2-d1 n)， 下面分 d1=0， d1 0， d1 0三种情况进行讨论， 若 d1=0，则 bi-ain=(b1-a1n)+(i-1)d2， 当若 d2 0，则 (bi-ain)-(b1-a1n)=(i-1)d2 0， 则对于给定的正整数
25、n 而言， cn=b1-a1n，此时 cn+1-cn=-a1， 数列 cn是等差数列； 当 d1 0， (bi-ain)-(bn-ann)=(i-n)d2 0， 则对于给定的正整数 n 而言， cn=bn-ann=bn-a1n， 此时 cn+1-cn=d2-a1， 数列 cn是等差数列； 此时取 m=1，则 c1， c2，是等差数列，命题成立； 若 d1 0，则此时 -d1n+d2为一个关于 n的一次项系数为负数的一次函数， 故必存在 m N*，使得 n m时， -d1n+d2 0， 则当 n m时， (bi-ain)-(b1-a1n)=(i-1)(-d1n+d2) 0， (i N*， 1 i
26、 n)， 因此当 n m时， cn=b1-a1n， 此时 cn+1-cn=-a1，故数列 cn从第 m项开始为等差数列，命题成立； 若 d1 0，此时 -d1n+d2为一个关于 n的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在 s N*，使得 n s时， -d1n+d2 0， 则当 n s时， (bi-ain)-(bn-ann)=(i-1)(-d1n+d2) 0， (i N*， 1 i n)， 因此，当 n s时， cn=bn-ann， 此时 = n n nnb a n bann =-d2n+(d1-a1+d2)+ 12bdn， 令 -d1=A 0， d1-a1+d2=B， b1-d2=C， 下面证明： ncn=An+B+Cn对任意正整数 M，存在正整数 m，使得 n m， ncn M， 若 C 0，取 m= MBA +1， x表示不大于 x的最大整数， 当 n m时， ncn An+B Am+B=A MBA +1+B A MBA+B=M， 此时命题成立； 若 C 0，取 m= M C BA +1， 当 n m时， ncn An+B+Cn Am+B+C A M C BA +B+C M-C-B+B+C=M， 此时命题成立， 因此对任意正数 M，存在正整数 m，使得当 n m时， ncn M； 综合以上三种情况，命题得证 .
