1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 M=x|x-1| 1， N=x|x 2，则 M N=( ) A.(-1， 1) B.(-1， 2) C.(0， 2) D.(1， 2) 解析： 集合 M=x|x-1| 1=(0， 2)， N=x|x 2=(-， 2)， M N=(0， 2). 答案： C. 2.已知 i是虚数单位，若复数 z满足 zi=1+i，则 z2=( ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 解析： 复数 z满足 zi=1+i， 1 1
2、izii ， z2=-2i. 答案： A. 3.已知 x， y满足约束条件2 5 0302xyxy 则 z=x+2y的最大值是 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析： x， y 满足约束条件2 5 0302xyxy 的可行域如图：目标函数 z=x+2y 经过可行域的 A时，目标函数取得最大值， 由： 22 5 0yxy解得 A(-1， 2)， 目标函数的最大值为： -1+2 2=3. 答案 ： D. 4.已知 3cos4x ，则 cos2x=( ) A. 14B.14C. 18D.18解析： 3cos4x ，则 231c o s 2 2 148x . 答案： D. 5.已知命题 p
3、： x R， x2-x+1 0.命题 q：若 a2 b2，则 a b，下列命题为真命题的是 ( ) A.p q B.p q C. p q D. p q 解析： 命题 p： x=0 R，使 x2-x+1 0成立 . 故命题 p为真命题； 当 a=1， b=-2时， a2 b2成立，但 a b不成立， 故命题 q为假命题， 故命题 p q， p q， p q均为假命题； 命题 p q为真命题 . 答案 ： B. 6.若执行右侧的程序框图，当输入的 x的值为 4时，输出的 y的值为 2，则空白判断框中的条件可能为 ( ) A.x 3 B.x 4 C.x 4 D.x 5 解析： 方法一：当 x=4，输
4、出 y=2，则由 y=log2x输出，需要 x 4， 故选 B. 方法二：若空白判断框中的条件 x 3，输入 x=4，满足 4 3，输出 y=4+2=6，不满足，故 A错误， 若空白判断框中的条件 x 4，输入 x=4，满足 4=4，不满足 x 3，输出 y=y=log24=2，故 B正确； 若空白判断框中的条件 x 4，输入 x=4，满足 4=4，满足 x 4，输出 y=4+2=6，不满足，故C错误， 若空白判断框中的条件 x 5，输入 x=4，满足 4 5，满足 x 5，输出 y=4+2=6，不满足，故 D错误 . 答案： B. 7.函数 3 s i n 2 c o s 2y x x的最小
5、正周期为 ( ) A.2B.23C. D.2 解析： 函数 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n 26y x x x ， =2， T= . 答案 ： C 8.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据 (单位：件 ).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x和 y的值分别为 ( ) A.3， 5 B.5， 5 C.3， 7 D.5， 7 解析： 由已知中甲组数据的中位数为 65， 故乙组数据的中位数也为 65， 即 y=5， 则乙组数据的平均数为： 66， 故 x=3. 答案： A. 9.设 f(x)=x， 0 x 12(x-1)， x 1， 若 f(a
6、)=f(a+1)，则 f(1a)= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析： 当 a (0， 1)时， 012 1 1xxfx ， ，若 f(a)=f(a+1)，可得 2aa ， 解得 14a，则： 1 4 2 4 1 6ffa . 当 a 1， + )时 . 012 1 1xxfx ， ，若 f(a)=f(a+1)， 可得 2(a-1)=2a，显然无解 . 答案： C. 10.若函数 exf(x)(e=2.71828是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有 M性质，下列函数中具有 M性质的是 ( ) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)
7、=3-x D.f(x)=cosx 解析： 当 f(x)=2-x时，函数 2xx ee f x 在 R上单调递增，函数 f(x)具有 M性质 . 答案： A 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分 11.已知向量 a =(2， 6)， b =(-1， )，若 /ab，则 =_. 解析： /ab， -6-2 =0，解得 =-3. 答案： -3. 12.若直线 1xyab(a 0， b 0)过点 (1， 2)，则 2a+b的最小值为 _. 解析： 直线 1xyab(a 0， b 0)过点 (1， 2)，则 121ab， 由 1 2 4 4 42 2 2 2 4 4 2 4 4 8a
8、 b a b a ba b a ba b b a b a b a ， 当且仅当 4 =abba，即 12a， b=1时，取等号， 2a+b的最小值为 8. 答案： 8. 13.由一个长方体和两个 14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 _. 解析： 由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V1=2 1 1=2， 圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积22 1 1144V ， 则该几何体的体积1122 2V V V . 答案： 22. 14.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，且 f(x+4)=f(x-2).若当 x -3， 0时， f(x)=6-x，则f(
9、919)=_. 解析：由 f(x+4)=f(x-2).则 f(x+6)=f(x)， f(x)为周期为 6的周期函数， f(919)=f(153 6+1)=f(1)， 由 f(x)是定义在 R上的偶函数，则 f(1)=f(-1)， 当 x -3， 0时， f(x)=6-x， f(-1)=6-(-1)=6， f(919)=6. 答案： 6. 15.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 22221xyab(a 0， b 0)的右支与焦点为 F的抛物线x2=2py(p 0)交于 A， B两点，若 |AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _. 解析： 把 x2=2py(p 0)代入双曲线
10、 22221xyab(a 0， b 0)， 可得： a2y2-2pb2y+a2b2=0， 222ABpbyya， |AF|+|BF|=4|OF|， 2422AB ppyy ， 222pb pa ， 22ba . 该双曲线的渐近线方程为： 22yx. 答案： 22yx. 三、解答题 16.某旅游爱好者计划从 3个亚洲国家 A1， A2， A3和 3个欧洲国家 B1， B2， B3中选择 2个国家去旅游 . ( )若从这 6个国家中任选 2个，求这 2个国家都是亚洲国家的概率； ( )若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1个，求这 2个国家包括 A1但不包括 B1的概率 . 解析： ( )从这 6个国
11、家中任选 2个，基本事件总数 26 15nC，这 2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数 23 3mC ，由此能求出这 2个国家都是亚洲国家的概率 . ( )从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，利用列举法能求出这 2 个国家包括 A1但不包括B1的概率 . 答案： ( )某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1， A2， A3和 3 个欧洲国家 B1， B2， B3中选择2个国家去旅游 . 从这 6个国家中任选 2 个，基本事件总数 26 15nC， 这 2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数 23 3mC ， 这 2个国家都是亚洲国家的概率 311 5 5mP n . ( )从亚洲国家和欧
12、洲国家中各任选 1个，包含的基本事件个数为 9个，分别为： (A1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A2， B1)， (A2， B2)， (A2， B3)， (A3， B1)， (A3， B2)， (A3， B3)， 这 2个国家包括 A1但不包括 B1包含的基本事件有： (A1， B2)， (A1， B3)，共 2个， 这 2个国家包括 A1但不包括 B1的概率 P=29. 17.在 ABC中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b=3， 6AB AC ， S ABC=3，求A和 a. 解析： 根据向量的数量积和三角形的面积公式可得 tanA=-1，
13、求出 A和 c的值，再根据余弦定理即可求出 a. 答案：由 6AB AC 可得 bccosA=-6， 由三角形的面积公式可得 1 s i n 32ABCS b c A， tanA=-1， 0 A 180， A=135， 62223 2c ， 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=9+8+12=29 29a 18.由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD为正方形， O为 AC与 BD的交点， E为 AD 的中点， A1E平面 ABCD， ( )证明： A1O平面 B1CD1； ( )设 M是 OD的中点，证明：平面 A1
14、EM平面 B1CD1. 解析： ( )取 B1D1中点 G，连结 A1G、 CG，推导出 A1G OC，从而四边形 OCGA1是平行四边形，进而 A1O CG，由此能证明 A1O平面 B1CD1. ( )推导出 BD A1E， AO BD， EM BD，从而 BD平面 A1EM，再由 BD B1D1，得 B1D1平面A1EM，由此能证明平面 A1EM平面 B1CD1. 答案： ( )取 B1D1中点 G，连结 A1G、 CG， 四边形 ABCD为正方形， O为 AC 与 BD 的交点， 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后，1 /AG OC， 四边形 OCGA1是平
15、行四边形， A1O CG， A1O 平面 B1CD1， CG 平面 B1CD1， A1O平面 B1CD1. ( )四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后， BD/B1D1， M是 OD的中点， O为 AC与 BD的交点， E为 AD 的中点， A1E平面 ABCD， 又 BD 平面 ABCD， BD A1E， 四边形 ABCD为正方形， O为 AC 与 BD 的交点， AO BD， M是 OD的中点， E为 AD的中点， EM BD， A1E EM=E， BD平面 A1EM， BD B1D1， B1D1平面 A1EM， B1D1 平面 B1CD1， 平面 A1EM平面
16、 B1CD1. 19.已知 an是各项均为正数的等比数列，且 a1+a2=6， a1a2=a3. (1)求数列 an通项公式； (2)bn为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 S2n+1=bnbn+1，求数列nnba的前 n 项和 Tn. 解析： (1)通过首项和公比，联立 a1+a2=6、 a1a2=a3，可求出 a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论； (2)利用等差数列的性质可知 S2n+1=(2n+1)bn+1，结合 S2n+1=bnbn+1 可知 bn=2n+1，进而可知212n nnb na ，利用错位相减法计算即得结论 . 答案： (1)记正项等比数列 a
17、n的公比为 q， 因为 a1+a2=6， a1a2=a3， 所以 (1+q)a1=6， qa12=q2a1， 解得： a1=q=2， 所以 an=2n； (2)因为 bn为各项非零的等差数列， 所以 S2n+1=(2n+1)bn+1， 又因为 S2n+1=bnbn+1， 所以 bn=2n+1， 212n nnb na ， 所以 21 1 13 5 2 12 2 2n nTn ， 2 3 11 1 1 1 13 5 2 1 2 12 2 2 2 2n nnT n n ， 两式相减得： 2 3 11 1 1 1 1 13 2 2 12 2 2 2 2 2n nnTn ， 即 2 3 1 11 1
18、1 1 1 1 13 2 12 2 2 2 2 2 2n nn ， 即 12 3 2111 1 1 1 1 123 1 2 1 3 2 112 2 2 2 2 212nn n n nT n n = 2552nn. 20.已知函数 321132f x x a x， a R， (1)当 a=2时，求曲线 y=f(x)在点 (3， f(3)处的切线方程； (2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 . 解析： (1)根据导数的几何意义即可求出曲线 y=f(x)在点 (3， f(3)处的切线方程， (2)先求导，再分类讨论即可
19、求出函数的单调区间和极值 答案 ： (1)当 a=2时， 3213f x x x， f (x)=x2-2x， k=f (3)=9-6=3， f(3)=13 27-9=0， 曲线 y=f(x)在点 (3， f(3)处的切线方程 y=3(x-3)，即 3x-y-9=0 (2)函数 3211c o s s i n c o s s i n32g x f x x a x x x a x x a x x ， g (x)=(x-a)(x-sinx)， 令 g (x)=0，解得 x=a，或 x=0， 若 a 0时，当 x 0 时， g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (-， 0)上单调递增， 当 x a时，
20、 g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (a， + )上单调递增， 当 0 x a时， g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (0， a)上单调递减， 当 x=a时，函数有极小值，极小值为 31 s i n6g a a a 当 x=0时，有极大值，极大值为 g(0)=-a， 若 a 0时，当 x 0 时， g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (-， 0)上单调递增， 当 x a时， g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (-， a)上单调递增， 当 a x 0时， g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (a， 0)上单调递减， 当 x=a时，函数有极大值，极大值为 31 s i n6g a
21、a a 当 x=0时，有极小值，极小值为 g(0)=-a 当 a=0时， g (x)=x(x+sinx)， 当 x 0时， g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (0， + )上单调递增， 当 x 0时， g (x) 0恒成立，故 g(x)在 (-， 0)上单调递增， g(x)在 R上单调递增，无极值 . 21.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22221xyab(a b 0)的离心率为 22，椭圆C截直线 y=1所得线段的长度为 22. ( )求椭圆 C的方程； ( )动直线 l： y=kx+m(m 0)交椭圆 C于 A， B两点，交 y轴于点 M.点 N是 M关于 O的对称点，
22、 N的半径为 |NO|.设 D为 AB 的中点， DE， DF与 N分别相切于点 E， F，求 EDF的最小值 . 解析： ( )首先根据题中信息可得椭圆 C过点 ( 2 ， 1)，然后结合离心率可得椭圆方程； ( )可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得 D、 N 坐标及 N半径，进而将 DN长度表示出来，可求 EDF 最小值 . 答案 ： ( )椭圆 C的离心率为 22， 22212aba ， a2=2b2， 椭圆 C截直线 y=1所得线段的长度为 22， 椭圆 C过点 ( 2 ， 1)， 22211ab， b2=2， a2=4， 椭圆 C的方程为 22142
23、xy. ( )设 A， B的横坐标为 x1， x2， 则 A(x1， kx1+m)， B(x2， kx2+m)， D( 12 1222xx k x x m ，)， 联立 22142xyy kx m可得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0， 12 2412kmxx k ， D(2221 2 1 2km mkk ，)， M(0， m)，则 N(0， -m)， N的半径为 |m|， 22422 2 222 311 2 1 2 1 2mm k mD N m k kk k k ， 设 EDF=， 24242212s i n22 2 3 13112E N O N m kmD N D N kkkkk ， 令 242122 3 1kykk，则 24 2 4 24112 3 1 3 1kkyk k k k ， 当 k=0时， sin2取得最小值，最小值为 12. EDF的最小值是 60 .
