1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 （ 新课标 卷 ） 数学 文 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=2， 4， 6， 8，则 A B中元素的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：集合 A=1， 2， 3， 4， B=2， 4， 6， 8， A B=2， 4， A B中元素的个数为 2. 答案： B. 2.复平面内表示复数 z=i(-2+i)的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： z=i(-2+i)=-2
2、i-1对应的点 (-1， -2)位于第三象限 . 答案： C. 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年 1月至 2016年 12月期间月接待游客量 (单位：万人 )的数据，绘制了下面的折线图 . 根据该折线图，下列结论错误的是 ( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7， 8月 D.各年 1月至 6月的月接待游客量相对于 7月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由已有中 2014 年 1月至 2016年 12月期间月接待游客量 (单位：万人 )的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故 A
3、错误； 年接待游客量逐年增加，故 B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7， 8月，故 C正确； 各年 1月至 6月的月接待游客量相对于 7月至 12月，波动性更小，变化比较平稳，故 D正确 . 答案： A. 4.已知 sin -cos =43，则 sin2 =( ) A.-79B.-29C.29D.79解析：由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出 . 答案： A. 5.设 x， y满足约束条件 3 2 6 000xyxy 则 z=x-y 的取值范围是 ( ) A.-3， 0 B.-3， 2 C.0， 2 D.0， 3 解析：画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函
4、数的范围即可 . 答案： B. 6.函数 f(x)=15sin(x+3)+cos(x-6)的最大值为 ( ) A.65B.1 C.35D.15解析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可 . 答案： A. 7.函数 y=1+x+2sinxx 的部分图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析：通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可 . 答案： D. 8.执行如图的程序框图，为使输出 S的值小于 91，则输入的正整数 N的最小值为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：通过模拟程序，可得到 S的取值情况，进而可得结论 .
5、答案： D. 9.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( ) A. B.34C.2D.4解析：推导出该圆柱底面圆周半径 r= 22 13122 ，由此能求出该圆柱的体积 . 答案： B. 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E为棱 CD的中点，则 ( ) A.A1E DC1 B.A1E BD C.A1E BC1 D.A1E AC 解析：法一：连 B1C，推导出 BC1 B1C， A1B1 BC1，从而 BC1平面 A1ECB1，由此得到 A1E BC1. 法二：以 D为原点， DA为 x轴， DC为 y轴， DD1为 z轴，建立空
6、间直角坐标系，利用向量法能求出结果 . 答案： C. 11.已知椭圆 C： 22xyab=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切，则 C的离心率为 ( ) A. 63B. 33C. 23D.13解析：以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离222abab=a，化简即可得出 . 答案： A. 12.已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点，则 a=( ) A.-12B.13C.12D.1 解析：通过转化可知问题等价于函数 y=1-(x-1)2的图象与
7、y=a(ex-1+11xe)的图象只有一个交点求 a的值 .分 a=0、 a 0、 a 0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论 . 答案： C. 二、填空题 . 13.已知向量 a =(-2， 3)， b =(3， m)，且 a b ，则 m=_. 解析：利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解 . 答案： 2. 14.双曲线 222 9xya =1(a 0)的一条渐近线方程为 y=35 x，则 a=_. 解析：利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解 a即可 . 答案： 5. 15. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 C=60， b= 6 ， c=3，则
8、 A=_. 解析：根据正弦定理和三角形的内角和计算即可 答案： 75 . 16.设函数 f(x)= 1020xxxx， ，则满足 f(x)+f(x-12) 1的 x的取值范围是 _. 解析：根据分段函数的表达式，分别讨论 x的取值范围，进行求解即可 . 答案： (-14， + ). 三、解答题 . 17.设数列 an满足 a1+3a2+ +(2n-1)an=2n. (1)求 an的通项公式； (2)求数列 21nan的前 n项和 . 解析： (1)利用数列递推关系即可得出 . (2) 2 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1nan n n n n .利用裂项求和方法即可得出 . 答案：
9、 (1)数列 an满足 a1+3a2+ +(2n-1)an=2n. n 2时， a1+3a2+ +(2n-3)an-1=2(n-1). (2n-1)an=2. an= 221n. 当 n=1时， a1=2，上式也成立 . an= 221n. (2) 2 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1nan n n n n . 数列 21nan的前 n项和 =(1-13)+(13-15)+ +( 112 1 2 1nn)=1- 121n= 221nn. 18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完
10、 .根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 (单位： )有关 .如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20， 25)，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶 .为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 . (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元 )，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率 . 解析： (1)由前三年六
11、月份各天 的最高气温数据，求出最高气温位于区间 20， 25)和最高气温低于 20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率 . (2)当温度大于等于 25 C时，需求量为 500，求出 Y=900元；当温度在 20， 25) C时，需求量为 300，求出 Y=300元；当温度低于 20 C时，需求量为 200，求出 Y=-100 元，从而当温度大于等于 20 时， Y 0，由此能估计估计 Y大于零的概率 . 答案： (1)由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间 20， 25)和最高气温低于 20的天数为 2+16+36=54， 根据往年销售经验，每天
12、需求量与当天最高气温 (单位： )有关 . 如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶， 如果最高气温位于区间 20， 25)，需求量为 300瓶， 如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶， 六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率 p=54 390 5. (2)当温度大于等于 25 C时，需求量为 500， Y=450 2=900元， 当温度在 20， 25) C 时，需求量为 300， Y=300 2-(450-300) 2=300元， 当温度低于 20 C时，需求量为 200， Y=400-(450-200) 2=-100元， 当温度大于等于 20时， Y 0， 由前三年六
13、月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20 C的天数有： 90-(2+16)=72， 估计 Y大于零的概率 P=72 490 5. 19.如图四面体 ABCD中， ABC是正三角形， AD=CD. (1)证明： AC BD； (2)已知 ACD是直角三角形， AB=BD，若 E为棱 BD上与 D不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE与四面体 ACDE 的体积比 . 解析： (1)取 AC 中点 O，连结 DO、 BO，推导出 DO AC， BO AC，从而 AC平面 BDO，由此能证明 AC BD. (2)法一：连结 OE，设 AD=CD= 2 ，则 OC=OA=1，由余弦定理求出
14、 BE=1，由 BE=ED，四面体ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h， S DCE=S BCE，由此能求出四面体 ABCE与四面体 ACDE 的体积比 .法二：设 AD=CD= 2 ，则 AC=AB=BC=BD=2， AO=CO=DO=1， BO= 3 ，推导出 BO DO，以 O为原点， OA为 x轴， OB为 y轴， OD为 z轴，建立空间直角坐标系，由AE EC，求出 DE=BE，由此能求出四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比 . 答案： (1)取 AC中点 O，连结 DO、 BO， ABC是正三角形， AD=CD， DO AC， BO AC，
15、DO BO=O， AC平面 BDO， BD 平面 BDO， AC BD. (2)法一：连结 OE，由 (1)知 AC平面 OBD， OE 平面 OBD， OE AC， 设 AD=CD= 2 ，则 OC=OA=1， E是线段 AC垂直平分线上的点， EC=EA=CD= 2 ， 由余弦定理得： cos CBD= 2 2 2 2 2 222B C B D C D B C B E C EB C B D B C B E ， 即 24 4 2 4 22 2 2 2 2BE BE ，解得 BE=1或 BE=2， BE BD=2， BE=1， BE=ED， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的高都是点 A到平
16、面 BCD的高 h， BE=ED， S DCE=S BCE， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比为 1. 法二：设 AD=CD= 2 ，则 AC=AB=BC=BD=2， AO=CO=DO=1， BO= 4 1 3 ， BO2+DO2=BD2， BO DO， 以 O为原点， OA 为 x轴， OB为 y轴， OD为 z轴，建立空间直角坐标系， 则 C(-1， 0， 0)， D(0， 0， 1)， B(0， 3 ， 0)， A(1， 0， 0)， 设 E(a， b， c)， DE = DB ， (0 1)，则 (a， b， c-1)= (0， 3 ， -1)，解得 E(0，3 ， 1- )
17、， CE =(1， 3 ， 1- )， AE =(-1， 3 ， 1- )， AE EC， AE CE =-1+3 2+(1- )2=0， 由 0， 1，解得 =12， DE=BE， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的高都是点 A到平面 BCD的高 h， DE=BE， S DCE=S BCE， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比为 1. 20.在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx-2与 x轴交于 A、 B两点，点 C的坐标为 (0， 1)，当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现 AC BC的情况？说明理由； (2)证明过 A、 B、 C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值
18、 . 解析： (1)设曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A(x1， 0)， B(x2， 0)，运用韦达定理，再假设 ACBC，运用直线的斜率之积为 -1，即可判断是否存在这样的情况； (2)设过 A、 B、 C三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F 0)，由题意可得 D=m， F=-2，代入 (0， 1)，可得 E=1，再令 x=0，即可得到圆在 y轴的交点，进而得到弦长为定值 . 答案： (1)曲线 y=x2+mx-2与 x轴交于 A、 B两点， 可设 A(x1， 0)， B(x2， 0)， 由韦达定理可得 x1x2=-2， 若 AC BC，则 kAC k
19、BC=-1， 即有121 0 1 000xx =-1， 即为 x1x2=-1 这与 x1x2=-2矛盾， 故不出现 AC BC 的情况； (2)证明：设过 A、 B、 C三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F 0)， 由题意可得 y=0时， x2+Dx+F=0与 x2+mx-2=0等价， 可得 D=m， F=-2， 圆的方程即为 x2+y2+mx+Ey-2=0， 由圆过 C(0， 1)，可得 0+1+0+E-2=0，可得 E=1， 则圆的方程即为 x2+y2+mx+y-2=0， 再令 x=0，可得 y2+y-2=0， 解得 y=1或 -2. 即有圆与 y轴的交点为
20、(0， 1)， (0， -2)， 则过 A、 B、 C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值 3. 21.已知函数 f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a 0时，证明 f(x) -34a-2. 解析： (1)题干求导可知 f (x)= 2 1 1ax xx(x 0)，分 a=0、 a 0、 a 0三种情况讨论 f (x)与 0的大小关系可得结论； (2)通过 (1)可知 f(x)max=f(- 12a)=-1-ln2- 14a+ln(-1a)，进而转化可知问题转化为证明：当 t 0时 -12t+lnt -1+ln2.进而令 g(t)=-12t+ln
21、t，利用导数求出 y=g(t)的最大值即可 . 答案： (1)解：因为 f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x， 求导 f (x)=1x+2ax+(2a+1)= 22 2 1 1 2 1 1a x a x a x xxx ， (x 0)， 当 a=0时， f (x)=1x+1 0恒成立，此时 y=f(x)在 (0， + )上单调递增； 当 a 0，由于 x 0，所以 (2ax+1)(x+1) 0恒成立，此时 y=f(x)在 (0， + )上单调递增； 当 a 0时，令 f (x)=0，解得： x=-12a. 因为当 x (0， -12a)f (x) 0、当 x (-12a， + )f (x)
22、 0， 所以 y=f(x)在 (0， -12a)上单调递增、在 (-12a， + )上单调递减 . 综上可知：当 a 0时 f(x)在 (0， + )上单调递增， 当 a 0时， f(x)在 (0， -12a)上单调递增、在 (-12a， + )上单调递减； (2)证明：由 (1)可知：当 a 0 时 f(x)在 (0， -12a)上单调递增、在 (-12a， + )上单调递减， 所以当 x=-12a时函数 y=f(x)取最大值 f(x)max=f(-12a)=-1-ln2-14a+ln(-1a). 从而要证 f(x) - 34a-2，即证 f(-12a) -34a-2， 即证 -1-ln2-
23、14a+ln(-1a) -34a-2，即证 -12(-1a)+ln(-1a) -1+ln2. 令 t=-1a，则 t 0，问题转化为证明： -12t+lnt -1+ln2. (*) 令 g(t)=-12t+lnt，则 g (t)=-12+1t， 令 g (t)=0 可知 t=2，则当 0 t 2时 g (t) 0，当 t 2时 g (t) 0， 所以 y=g(t)在 (0， 2)上单调递增、在 (2， + )上单调递减， 即 g(t) g(2)=-12 2+ln2=-1+ln2，即 (*)式成立， 所以当 a 0时， f(x) -34a-2成立 . 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角
24、坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 2xty kt， (t 为参数 )，直线 l2的参数方程为 2xmmy k ， (m为参数 ).设 l1与 l2的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C. (1)写出 C的普通方程； (2)以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos +sin )- 2 =0，M为 l3与 C的交点，求 M的极径 . 解析： (1)分别消掉参数 t与 m可得直线 l1与直线 l2的普通方程为 y=k(x-2)与 x=-2+ky；联立，消去 k可得 C的普通方程为 x2-y2=4； (2)将 l3的极坐标方程为 (cos +sin )
25、- 2 =0 化为普通方程： x+y- 2 =0，再与曲线 C的方程联立，可得32222xy ，即可求得 l3与 C的交点 M的极径为 = 5 . 答案： (1)直线 l1的参数方程为 2xty kt， (t 为参数 )， 消掉参数 t得：直线 l1的普通方程为： y=k(x-2)； 又直线 l2的参数方程为 2xmmy k ， (m为参数 )， 同理可得，直线 l2的普通方程为： x=-2+ky； 联立，消去 k得： x2-y2=4，即 C的普通方程为 x2-y2=4； (2) l3的极坐标方程为 (cos +sin )- 2 =0， 其普通方程为： x+y- 2 =0， 联立2224xyx
26、y 得：32222xy ， 2=x2+y2=18 244=5. l3与 C的交点 M的极径为 = 5 . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x) 1 的解集； (2)若不等式 f(x) x2-x+m的解集非空，求 m的取值范围 . 解析： (1)由于 f(x)=|x+1|-|x-2|= 312 1 1 232xxxx ， ， ，解不等式 f(x) 1 可分 -1 x 2与 x 2两类讨论即可解得不等式 f(x) 1的解集； (2)依题意可得 m f(x)-x2+xmax，设 g(x)=f(x)-x2+x，分 x 1、 -1 x 2
27、、 x 2三类讨论，可求得 g(x)max=54，从而可得 m的取值范围 . 答案： (1) f(x)=|x+1|-|x-2|= 312 1 1 232xxxx ， ， ， f(x) 1， 当 -1 x 2时， 2x-1 1，解得 1 x 2； 当 x 2时， 3 1恒成立，故 x 2； 综上，不等式 f(x) 1 的解集为 x|x 1. (2)原式等价于存在 x R使得 f(x)-x2+x m成立， 即 m f(x)-x2+xmax，设 g(x)=f(x)-x2+x. 由 (1)知， g(x)=222313 1 1 232x x xx x xx x x ， ， 当 x -1时， g(x)=-x2+x-3，其开口向下，对称轴方程为 x=12 -1， g(x) g(-1)=-1-1-3=-5； 当 -1 x 2时， g(x)=-x2+3x-1，其开口向下，对称轴方程为 x=32 (-1， 2)， g(x) g(32)= 9 9 514 2 4 ； 当 x 2时， g(x)=-x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x=12 2， g(x) g(2)=-4+2=3=1； 综上， g(x)max=54， m的取值范围为 (-， 54.
