1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1.已知集合 A=1， 2， B=a， a2+3.若 A B=1，则实数 a的值为 . 解析：集合 A=1， 2， B=a， a2+3.A B=1， a=1或 a2+3=1， 解得 a=1. 答案： 1. 2.已知复数 z=(1+i)(1+2i)，其中 i是虚数单位，则 z的模是 . 解析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 . 复数 z=(1+i)(1+2i)=1+i2+3i=1-2+3i=-1+3i， |z| 2 21 3 1 0 .
2、 答案： 10 . 3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200， 400， 300， 100 件 .为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件 . 解析：产品总数为 200+400+300+100=1000 件，而抽取 60 辆进行检验，抽样比例为60 61000 100 ， 则应从丙种型号的产品中抽取 300 6100=18件 . 答案： 18 4.如图是一个算法流程图：若输入 x的值为 116，则输出 y的值是 . 解析：初始值 x=116，不满足 x 1， 所以 y=2+log2 116=2-log
3、224=-2. 答案： -2. 5.若 ta n 164.则 tan = . 解析：直接根据两角差的正切公式计算即可 t a n t a n t a n 14t a n4 t a n 11 t a n t a46n1 ， 6tan -6=tan +1， 解得 tan =75. 答案： 75. 6.如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O的体积为 V2，则12VV 的值是 . 解析：设球的半径为 R，则球的体积为： 343 R， 圆柱的体积为： R2 2R=2 R3. 则 313224332VRRV. 答案： 32. 7.
4、记函数 f(x)= 26 xx 定义域为 D.在区间 -4， 5上随机取一个数 x，则 x D 的概率是 . 解析：由 6+x-x2 0得 x2-x-6 0，得 -2 x 3， 则 D=-2， 3， 则在区间 -4， 5上随机取一个数 x，则 x D的概率 32 55 4 9P . 答案： 59. 8.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 2 13x y的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q的面积是 . 解析：求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P， Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积 . 双曲线 2 2 13x y的右准线
5、： x=32，双曲线渐近线方程为： y= 33x， 所以 P 3322， Q 3322， F1(-2， 0).F2(2， 0). 则四边形 F1PF2Q的面积是： 2 32 41 3 . 答案： 23 . 9.等比数列 an的各项均为实数，其前 n项为 Sn，已知 S3=74， S6=634，则 a8= . 解析 ：设等比数列 an的公比为 q 1， S3=74， S6=634， 31 1 714aqq ， 61 11634aqq ， 解得1 14a， q=2. 则 a8=14 27=32. 答案 ： 32. 10.某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买 x吨，运费为 6万元 /次，一年的
6、总存储费用为 4x万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是 . 解析 ：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和为： 6 0 0 3 6 0 06 4 2 4 2 4 0xxxx g(万元 ). 当且仅当 3600 4xx 时取等号 . x 0， x=30. 答案： 30. 11.已知函数 f(x)=x3-2x+ex-1xe，其中 e是自然对数的底数 .若 f(a-1)+f(2a2) 0.则实数 a的取值范围是 . 解析：求出 f(x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 f(x)在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f(x)为奇函数，原不等式即为 2a2 1-a，运
7、用二次不等式的解法即可得到所求范围 . 函数 f(x)=x3-2x+ex-1xe的导数为： f (x)=3x2-2+ex+1xe -2+2 1xxe eg=0， 可得 f(x)在 R上递增； 又 f(-x)+f(x)=(-x)3+2x+e-x-ex+x3-2x+ex-1xe=0， 可得 f(x)为奇函数， 则 f(a-1)+f(2a2) 0， 即有 f(2a2) -f(a-1)=f(1-a)， 即有 2a2 1-a， 解得 -1 a 12. 答案 ： -1， 12. 12.如图，在同一个平面内，向量 OAur ， OBuur ， OCuur 的模分别为 1， 1， 2 ， OAur 与 OCu
8、ur 的夹角为，且 tan =7， OBuur 与 OCuur 的夹角为 45 .若 O C m O A n O Buuur uur uuur(m， n R)，则m+n= . 解析：如图所示，建立直角坐标系 . A(1， 0). 由 OAur 与 OCuur 的夹角为，且 tan =7. cos = 15 2， sin = 75 2. C(15， 75). cos( +45 )= 22(cos -sin )= 35. sin( +45 )= 22(sin +cos )=45. B( 35， 45). O C m O A n O Buuur uur uuur(m， n R)， 1355mn， 7
9、4055n， 解得 n=74， m=54. 则 m+n=3. 答案： 3. 13.在平面直角坐标系 xOy中， A(-12， 0)， B(0， 6)，点 P在圆 O： x2+y2=50上 .若 PAPBuur uurg 20，则点 P的横坐标的取值范围是 . 解析 ：根据题意，设 P(x0， y0)，则有 x02+y02=50， PAPBuur uurg =(-12-x0， -y0) (-x0， 6-y0)=(12+x0)x0-y0(6-y0)=12x0+6y+x02+y02 20， 化为： 12x0-6y0+30 0， 即 2x0-y0+5 0，表示直线 2x+y+5 0以及直线下方的区域，
10、 联立 220000502 5 0xyxy ，解可得 x0=-5或 x0=1， 结合图形分析可得：点 P的横坐标 x0的取值范围是 -5 2 ， 1， 答案 ： -5 2 ， 1. 14.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1的函数，在区间 0， 1)上， 2x x Dfxx x D ，其中集合 D=x|x= 1nn， n N*，则方程 f(x)-lgx=0的解的个数是 . 解析：在区间 0， 1)上， 2x x Dfxx x D ， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又 f(x)是定义在 R上且周期为 1的函数， 在区间 1， 2)上， 211x x Dfxx x D ， 此时 f(
11、x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 同理： 区间 2， 3)上， f(x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 区间 3， 4)上， f(x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 区间 4， 5)上， f(x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 区间 5， 6)上， f(x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 区间 6， 7)上， f(x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 区间 7， 8)上， f(x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 区间 8， 9)上， f(x)的图象与 y=lgx有且只有一个交点； 在区间 9， + )上， f(x)的图象与 y=lgx无交
12、点； 故 f(x)的图象与 y=lgx有 8个交点； 即方程 f(x)-lgx=0的解的个数是 8. 答案： 8 二、解答题 :本大题共 6小题 ,共计 90分 .请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.如图，在三棱锥 A-BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面 BCD，点 E、 F(E 与 A、 D不重合 )分别在棱 AD， BD上，且 EF AD. 求证： (1)EF平面 ABC. (2)AD AC. 解析： (1)利用 AB EF 及线面平行判定定理可得结论 . (2)通过取线段 CD上点 G，连结 FG、 EG 使得 FG BC，
13、则 EG AC，利用线面垂直的性质定理可知 FG AD，结合线面垂直的判定定理可知 AD平面 EFG，从而可得结论 . 答案： (1)因为 AB AD， EF AD，且 A、 B、 E、 F四点共面， 所以 AB EF， 又因为 EF 平面 ABC， AB 平面 ABC， 所以由线面平行判定定理可知： EF平面 ABC. (2)在线段 CD上取点 G，连结 FG、 EG 使得 FG BC，则 EG AC， BC BD，所以 FG BC， 又 平面 ABD平面 BCD， FG平面 ABD，所以 FG AD， AD EF，且 EF FG=F， AD平面 EFG，所以 AD EG， AD AC. 1
14、6.已知向量 ar =(cosx， sinx)， br =(3， 3 )， x 0， . (1)若 ar br ，求 x的值 . (2)记 f(x)=ar br ，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x的值 . 解析： (1)根据向量的平行即可得到 tanx= 33，问题得以解决 . (2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 . 答案： (1) ar =(cosx， sinx)， br =(3， 3 )， ar br ， 3 cosx=3sinx， tanx= 33， x 0， ， x=56. (2)f(x) 313 3 3223 2 2 6a b c o s x s
15、 i n x c o s x s i n x c o s x rrg ， x 0， ， x+6 6， 76， -1 cos(x+6) 32， 当 x=0时， f(x)有最大值，最大值 3， 当 x=56时， f(x)有最小值，最大值 -2 3 . 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 221xyab(a b 0)的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为 12，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2. (1)求椭圆 E的标准方程 . (2)若直线 l1， l2的交点 Q在椭圆 E上
16、，求点 P的坐标 . 解析： (1)由椭圆的离心率公式求得 a=2c，由椭圆的准线方程 22axc，则 2228ac，即可求得 a和 c的值，则 b2=a2-c2=3，即可求得椭圆方程 . (2)方法一：设 P(x0， y0)，分别求得直线 PF2的斜率及直线 PF1的斜率，则即可求得 l2及 l1的斜率及方程，联立求得 Q点坐标，由 Q在椭圆方程，求得 y02=x02-1，联立即可求得 P点坐标； 方法二：设 P(m， n)，当 m 1 时，2 1PFnk m ，1 1PFnk m ，求得直线 l1及 l1的方程，联立求得 Q点坐标，根据对称性可得 2 21m nn ，联立椭圆方程，即可求得
17、 P点坐标 . 答案： (1)由题意可知：椭圆的离心率 12ce a，则 a=2c， 椭圆的准线方程 22axc，则 2228ac， 由解得： a=2， c=1， 则 b2=a2-c2=3， 椭圆的标准方程： 22143xy. (2)方法一：设 P(x0， y0)，则直线 PF2的斜率200 1PFyk x ， 则直线 l2的斜率0201xk y ，直线 l2的方程 001 1xyxy ， 直线 PF1的斜率100 1PFyk x ， 则直线 l1的斜率0101xk y ，直线 l1的方程 001 1xyxy ， 联立 00001 11 1xyxyxyxy ，解得： 02001xxxyy ，则
18、 Q(-x0， 2001xy )， 由 P， Q在椭圆上， P， Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则 20001xyy ， y02=x02-1， 则220022001431xyyx ，解得：202016797xy ，则0047773 7xy ， 又 P在第一象限，所以 P的坐标为： P(4 77， 3 77). 方法二：设 P(m， n)，由 P在第一象限，则 m 0， n 0， 当 m=1时，2PFk不存在，解得： Q与 F1重合，不满足题意， 当 m 1时，2 1PFnk m ，1 1PFnk m ， 由 l1 PF1， l2 PF2，则11l mk n ，21l mk n ， 直线
19、l1的方程 1 1myxn ，直线 l2的方程 1 1myxn ， 联立解得： x=-m，则 Q(-m， 2 1mn)， 由 Q在椭圆方程，由对称性可得： 2 21m nn ， 即 m2-n2=1，或 m2+n2=1， 由 P(m， n)，在椭圆方程，22221143mnmn ，解得：2216797mn ，或22221143mnmn ，无解， 又 P在第一象限，所以 P的坐标为： P( 4 7 3777，). 18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器的两底面对角线 EG， E1G1的长分别为 14cm
20、和62cm.分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm.现有一根玻璃棒 l，其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计 ) (1)将 l放在容器中， l的一端置于点 A处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l没入水中部分的长度 . (2)将 l放在容器中， l的一端置于点 E处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l没入水中部分的长度 . 解析： (1)设玻璃棒在 CC1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作 NP MC，交 AC 于点 P，推导出 CC1平面 ABCD， CC1 AC， NP AC，求出 MC=30cm，推导出 ANP AMC，由此能出玻璃棒 l没入水中部分的长度
21、 . (2)设玻璃棒在 GG1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N作 NP EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ E1G1，交 E1G1于点 Q，推导出 EE1G1G 为等腰梯形，求出 E1Q=24cm， E1E=40cm，由正弦定理求出 sin GEM=35，由此能求出玻璃棒 l没入水中部分的长度 . 答案 ： (1)设玻璃棒在 CC1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N， 在平面 ACM中，过 N作 NP MC，交 AC 于点 P， ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱， CC1平面 ABCD， 又 AC 平面 ABCD， CC1 AC， NP AC， NP=12cm，
22、且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm， NP MC， ANP AMC， 124 0 3 0A N N P A NA M M C，得 AN=16cm. 玻璃棒 l没入水中部分的长度为 16cm. (2)设玻璃棒在 GG1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N， 在平面 E1EGG1中，过点 N作 NP EG，交 EG 于点 P， 过点 E作 EQ E1G1，交 E1G1于点 Q， EFGH-E1F1G1H1为正四棱台， EE1=GG1， EG E1G1， EG E1G1， EE1G1G为等腰梯形，画出平面 E1EGG1的平面图， E1G1=62cm， EG=14cm， EQ=32cm
23、， NP=12cm， E1Q=24cm， 由勾股定理得： E1E=40cm， sin EE1G1=45， sin EGM=sin EE1G1=45， cos EGM= 35， 根据正弦定理得：s i n s i nE M E GE G M E M G， sin EMG=725， cos EMG=2425， sin GEM=sin( EGM+ EMG)=sin EGMcos EMG+cos EGMsin EMG=35， 12203s i n5NPENG E M cm. 玻璃棒 l没入水中部分的长度为 20cm. 19.对于给定的正整数 k，若数列 an满足： an-k+an-k+1+ +an-1
24、+an+1+ +an+k-1+an+k=2kan对任意正整数 n(n k)总成立，则称数列 an是“ P(k)数列” . (1)证明：等差数列 an是“ P(3)数列” . (2)若数列 an既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，证明： an是等差数列 . 解析： (1) 由题意可知根据等差数列的性质，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=(an-3+an+3)+(an-2+an+2)+(an-1+an+1)=2 3an，根据“ P(k)数列”的定义，可得数列 an是“ P(3)数列” . (2)由已知条件结合 (1)中的结论，可得到 an从第 3 项起为等差数
25、列，再通过判断 a2与 a3的关系和 a1与 a2的关系，可知 an为等差数列 . 答案： (1)证明：设等差数列 an首项为 a1，公差为 d，则 an=a1+(n-1)d， 则 an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3 =(an-3+an+3)+(an-2+an+2)+(an-1+an+1) =2an+2an+2an， =2 3an， 等差数列 an是“ P(3)数列” . (2)证明：当 n 4时，因为数列 an是 P(3)数列，则 an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an， 因为数列 an是“ P(2)数列”，所以 an-3+an-2+an+
26、an+1=4an-1， an-1+an+an+2+an+3=4an+1， + -，得 2an=4an-1+4an+1-6an，即 2an=an-1+an+1， (n 4)， 因此 n 4从第 3项起为等差数列，设公差为 d，注意到 a2+a3+a5+a6=4a4， 所以 a2=4a4-a3-a5-a6=4(a3+d)-a3-(a3+2d)-(a3+3d)=a3-d， 因为 a1+a2+a4+a5=4a3，所以 a1=4a3-a2-a4-a5=4(a2+d)-a2-(a2+2d)-(a2+3d)=a2-d， 也即前 3项满足等差数列的通项公式， 所以 an为等差数列 . 20.已知函数 f(x)
27、=x3+ax2+bx+1(a 0， b R)有极值，且导函数 f (x)的极值点是 f(x)的零点 .(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 ) (1)求 b关于 a的函数关系式，并写出定义域 . (2)证明： b2 3a. (3)若 f(x)， f (x)这两个函数的所有极值之和不小于 72，求 a的取值范围 . 解析： (1)通过对 f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知 g(x)=f (x)=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g(x)=6x+2a，通过令 g (x)=0 进而可知 f (x)的极小值点为 x=3a，从而 f(3a)=0，整理可知 b= 2239a a(a 0)，结合
28、 f(x)=x3+ax2+bx+1(a 0， b R)有极值可知 f (x)=0有两个不等的实根，进而可知 a 3. (2)通过 (1)构造函数 42 3 3224 5 9 13 4 2 7 2 78 1 3 8 1aah a b a a aaa ，结合 a 3可知 h(a) 0，从而可得结论 . (3)通过 (1)可知 f (x)的极小值为 233aafb ，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x) 的 两 个 极 值 之 和 为 342227 3a ab， 进 而 问 题 转 化 为 解 不 等 式2 3 24 2 7233 2 7 3 9 2a a a b aba ，因式分解即得结论
29、. 答案： (1)因为 f(x)=x3+ax2+bx+1， 所以 g(x)=f (x)=3x2+2ax+b， g (x)=6x+2a， 令 g (x)=0，解得 x=3a. 由于当 x3a时 g (x) 0， g(x)=f (x)单调递增； 当 x3a时 g (x) 0， g(x)=f (x)单调递减； 所以 f (x)的极小值点为 x=3a， 由于导函数 f (x)的极值点是原函数 f(x)的零点， 所以 f(3a)=0，即 33 102 7 9 3a a a b ， 所以 2239ab a(a 0). 因为 f(x)=x3+ax2+bx+1(a 0， b R)有极值， 所以 f (x)=3
30、x2+2ax+b=0的实根， 所以 4a2-12b 0，即 22 293aa a 0，解得 a 3， 所以 2239ab a(a 3). (2)证明：由 (1)可知 42 3 3224 5 9 13 4 2 7 2 78 1 3 8 1aah a b a a aaa ， 由于 a 3，所以 h(a) 0，即 b2 3a. (3)由 (1)可知 f (x)的极小值为 2()33aafb ， 设 x1， x2是 y=f(x)的两个极值点，则 x1+x2= 23a， x1x2=3b， 所以 f(x1)+f(x2)=x13+x23+a(x12+x22)+b(x1+x2)+2 =(x1+x2)(x1+x
31、2)2-3x1x2+a(x1+x2)2-2x1x2+b(x1+x2)+2 = 342227 3a ab， 又因为 f(x)， f (x)这两个函数的所有极值之和不小于 72， 所以 2 3 24 2 3 723 2 7 3 9 2a a a b ab a ， 因为 a 3，所以 2a3-63a-54 0， 所以 2a(a2-36)+9(a-6) 0， 所以 (a-6)(2a2+12a+9) 0， 由于 a 3时 2a2+12a+9 0， 所以 a-6 0，解得 a 6， 所以 a的取值范围是 (3， 6. 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作
32、答若多做，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . A.选修 4-1：几何证明选讲 (本小题满分 10分 ) 21.如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC切半圆 O于点 C， AP PC， P为垂足 . 求证： (1) PAC= CAB. (2)AC2=AP AB. 解析： (1)利用弦切角定理可得： ACP= ABC.利用圆的性质可得 ACB=90 .再利用三角形内角和定理即可证明 . (2)由 (1)可得： APC ACB，即可证明 . 答案 ： (1)直线 PC切半圆 O于点 C， ACP= ABC. AB为半圆 O的直径， ACB=90 . AP P
33、C， APC=90 . PAC=90 - ACP， CAB=90 - ABC， PAC= CAB. (2)由 (1)可得： APC ACB， AC APAB AC. AC2=AP AB. B.选修 4-2：矩阵与变换 (本小题满分 10 分 ) 22.已知矩阵 A= 0110， B= 1002. (1)求 AB. (2)若曲线 C1： 22182xy在矩阵 AB对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2的方程 . 解析： (1)按矩阵乘法规律计算 . (2)求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线 C1的方程化简即可 . 答案： (1)AB= 0 1 1 01 0 0 20210 . (2)设点
34、 P(x， y)为曲线 C1的任意一点， 点 P在矩阵 AB的变换下得到点 P (x0， y0)， 则 0 2 210xyyx ，即 x0=2y， y0=x， x=y0， y= 02x， 2200188yx，即 x02+y02=8， 曲线 C2的方程为 x2+y2=8. C.选修 4-4：坐标系与参数方程 (本小题满分 10分 ) 23.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l的参数方程为 82xtty (t 为参数 )，曲线 C的参数方程为 222 2xsys (s 为参数 ).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 . 解析：求出直线 l的直角坐标方程，代入距
35、离公式化简得出距离 d关于参数 s 的函数，从而得出最短距离 . 答案：直线 l的直角坐标方程为 x-2y+8=0， P到直线 l的距离 22 242 4 8 2255sssd ， 当 s= 2 时， d取得最小值 45455 . D.选修 4-5：不等式选讲 (本小题满分 10 分 ) 24.已知 a， b， c， d为实数，且 a2+b2=4， c2+d2=16，证明 ac+bd 8. 解析： a2+b2=4， c2+d2=16，令 a=2cos， b=2sin， c=4cos， d=4sin .代入 ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明 .另解：由柯西不等式可得： (ac+bd)
36、2 (a2+b2)(c2+d2)，即可得出 . 答案： a2+b2=4， c2+d2=16， 令 a=2cos， b=2sin， c=4cos， d=4sin . ac+bd=8(cos cos +sin sin )=8cos( - ) 8.当且仅当 cos( - )=1 时取等号 . 因此 ac+bd 8. 另解：由柯西不等式可得： (ac+bd)2 (a2+b2)(c2+d2)=4 16=64，当且仅当 abcd时取等号 . -8 ac+bd 8. 必做题 每小题 10分 . 25.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AA1平面 ABCD，且 AB=AD=2， AA1= 3
37、 ， BAD=120 . (1)求异面直线 A1B与 AC1所成角的余弦值 . (2)求二面角 B-A1D-A的正弦值 . 解析： (1)在平面 ABCD内，过 A作 Ax AD，由 AA1平面 ABCD，可得 AA1 Ax， AA1 AD，以A为坐标原点，分别以 Ax、 AD、 AA1所在直线为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系 .结合已知求出 A， B， C， D， A1， C1的坐标，进一步求出1ABuur，1ACuuur， DBuur ，1DAuur的坐标 . 直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线 A1B与 AC1所成角的余弦值 . (2)求出平面 BA1D 与平面 A1AD
38、的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B-A1D-A 的余弦值，进一步得到正弦值 . 答案： (1)在平面 ABCD 内，过 A作 Ax AD， AA1平面 ABCD， AD、 Ax 平面 ABCD， AA1 Ax， AA1 AD， 以 A为坐标原点，分别以 Ax、 AD、 AA1所在直线为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系 . AB=AD=2， AA1= 3 ， BAD=120， A(0， 0， 0)， B( 3 ， -1， 0)， C( 3 ， 1， 0)， D(0， 2， 0)， A1(0， 0， 3 )， C1( 3 ， 1， 3 ). 1 ( 3 3 )1AB uuur
39、 ， ， 1 ( 3 3 )1AC uuur ， ， (3 3 )0DB uuur ， ， ， 1DAuur=(0， -2， 3 ). 11111111777A B A CA B A CA B Aos Cc u u ur u u u ru u ur u u u ru u ur u u u rg，. 异面直线 A1B与 AC1所成角的余弦值为 17. (2)设平面 BA1D的一个法向量为 nr =(x， y， z)， 由100n DBn DA r uuurgr uuurg ，得 303203xyyz ， 取 x= 3 ，得 1 23( 3 )3n r ， ， ； 取平面 A1AD的一个法向量为
40、mur =(1， 0， 0). 4331 3341mnc o s m nmn ur rur rgur r， . 二面角 B-A1D-A的正弦值为 34，则二面角 B-A1D-A的正弦值为 214374 . 26.已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球 (m， n N*， n 2)，这些球除颜色外全部相同 .现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1， 2， 3， m+n 的抽屉内，其中第 k次取出的球放入编号为 k的抽屉 (k=1， 2， 3， m+n). (1)试求编号为 2的抽屉内放的是黑球的概率 p. (2)随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E(x
41、)是 x的数学期望，证明E(x) 1nm n n. 解析： (1)设事件 Ai 表示编号为 i 的抽屉里放的是黑球，则 p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|1A)P(1A)，由此能求出编号为 2的抽屉内放的是黑球的概率 . (2)x的所有可能取值为 111 1 1 11 nknmnn n n m kCPxC ， ， ， ， k=n， n+1， n+2， n+m，从而 E(x) 11111nnn m n mkkk k nm n m nCCk C C kgg，由此能证明 E(x) 1nm n n. 答案 ： (1)设事件 Ai表示编号为 i的抽屉里放的是黑球， 则 p=P(A2)
42、=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|1A)P(1A) 211 1 1n n n m n n m n nm n m n m n m n m n m n m n . 证明： (2) x的所有可能取值为 1 1 11n n n m， ， ， 111 nknmnCkPx C， k=n， n+1， n+2， n+m， E(x) 1 1 1 21 1 1 211 1 1 1111n n n nn m n m n m n mk k k kn n n nk k n k n k nn m n m n m n mC C C Ck C C k C k C n g g g g 2 2 2 12 1 2 1111 1 1n n n nn n n m n mnnn m n m nC C C Cn C n C m n n gg E(x) 1nm n n.
