1、专升本高等数学(二)-求距离专题、证明专题、综合提升及答案解析(总分：117.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：11，分数：44.00)1.极限 为_ A1 B （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.当 n时， （分数：4.00）A.B.C.D.5.数项级数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列说法正确的是_A对任意给定的正数 ，在变量 y的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻之后，|y-A| 恒成立，则称变量 y在此变化过程中以 A为极限，记作 lim y=AB如果在某一变化
2、过程中，变量 y有极限，则变量 y是有界变量C对任意给定的正数 E，变量 y在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻之后，不等式|y-A|E 恒成立，则称变量 y是无穷大量，记作 lim y=D如果存在两个常数 m，M(mM)，使对任意的正整数 n，恒有 mf(n)M，则-f(n)为有界数列E如果数列 yn=f(n)是单调有界的，则极限 （分数：4.00）A.B.C.D.E.7.设 ，当 n时，数列 yn_A收敛于 0.1B收敛于 0.2C收敛于 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.9.数列 （分数：4.00）A.B.C.D.10.当 x时，若 （
3、分数：4.00）A.B.C.D.11.若要使 在 x=0连续，则 f(0)=_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：3，分数：3.00)12.已知 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_13.已知 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_14.已知 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：35，分数：70.00)15.一动点与两定点(2，3，1)和(4，5，6)等距离，求这个动点的轨迹方程（分数：2.00）_16.求点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-10=0的距离（分数：2.00）_17.求点 P(3，-1，2)到直线 （分数：2.0
4、0）_18.求两平行平面 2x-y-5z=1，2x-y-5z=3 之间的距离（分数：2.00）_19.求过点(0，2，4)且与两平面 x+2z=1和 y-3z=2平行的直线方程，并求该直线到两已知平面的距离分别是多少（分数：2.00）_20.求两平行直线 （分数：2.00）_21.求两直线 （分数：2.00）_22.求极限 （分数：2.00）_23.求解微分方程 y2dx+(xy-1)dy=0（分数：2.00）_24.设 x=y2+y，u=(x 2+x)3/2，求 （分数：2.00）_25.已知函数 g(x)在区间(-，+)上连续，且 g(1)=5， ，设 f(x)= ，求 f(x)，并求 f
5、“(1)与 （分数：2.00）_26.求 （分数：2.00）_27.已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2x-e-x是二阶线性非齐次方程的 3个解，求此微分方程（分数：2.00）_28.设函数 f(x)在0，1上有连续导数，满足 0f(x)1 且 f(0)=0求证： （分数：2.00）_29.设 （分数：2.00）_30.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f(0)存在，令 F(x)= tn-1f(xn-tn)dt，求 （分数：2.00）_31.讨论 （分数：2.00）_32.讨论 （分数：2.00）_33.由拉格朗日公式 f(b)-f(a)=f()(b-a)
6、，其中 ab，求 （分数：2.00）_34.若 f(x)为(a，b)内单调递增的函数，则在(a，b)是否一定有 f(x)0?（分数：2.00）_35.求 （分数：2.00）_36.若 （分数：2.00）_37.若 （分数：2.00）_38.求 （分数：2.00）_39.求 （分数：2.00）_40.求 （分数：2.00）_41.已知 （分数：2.00）_42.求 （分数：2.00）_43.求 （分数：2.00）_44.设函数 f(x)= （分数：2.00）_45.已知 （分数：2.00）_46.求由曲线 y=sinx，y=cosx 与 x轴上的线段 （分数：2.00）_47.求由 x=a(t-
7、sint)，y=a(1-cost)(a0，0t)绕 x轴旋转而成的体积（分数：2.00）_48.求 （分数：2.00）_49.求 （分数：2.00）_专升本高等数学(二)-求距离专题、证明专题、综合提升答案解析(总分：117.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：11，分数：44.00)1.极限 为_ A1 B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 x包含 x+和 x-两种情况，本题求极限需要分别讨论 当 x+时，*； 当 x-时，* 所以*不存在，故选 D2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 * 由极限的保号性知，在 x=a的领域内，恒有*，从而
8、f(x)-f(a)0，即 f(x)f(a)故 f(x)取得极大值3.设函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 * 因此左右极限不相等，所以 x=1为跳跃间断点4.当 n时， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 n时，*5.数项级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为*，而*，级数*是*的 p-级数是发散的，由比较判别法知级数*是发散的但是，*是交错级数，它满足： (1)*，单调递减； (2)通项的极限* 所以交错级数是收敛的故题设所给的级数是条件收敛的6.下列说法正确的是_A对任意给定的正数 ，在变量 y的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时
9、刻之后，|y-A| 恒成立，则称变量 y在此变化过程中以 A为极限，记作 lim y=AB如果在某一变化过程中，变量 y有极限，则变量 y是有界变量C对任意给定的正数 E，变量 y在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻之后，不等式|y-A|E 恒成立，则称变量 y是无穷大量，记作 lim y=D如果存在两个常数 m，M(mM)，使对任意的正整数 n，恒有 mf(n)M，则-f(n)为有界数列E如果数列 yn=f(n)是单调有界的，则极限 （分数：4.00）A. B. C. D. E. 解析：7.设 ，当 n时，数列 yn_A收敛于 0.1B收敛于 0.2C收敛于 （分数：4.00）A.B
10、.C. D.解析：解析 因为 * 所以 *8.已知 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 x=2时，分子必为零，所以 4+2a+b=0，原极限为*型，由洛必达法则知 * 即*，从而 a=2，b=-89.数列 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 n是奇数时，* n 是偶数时，* 当 n时，f(n)极限时为时为 0，所以是无界变量，但非无穷大量10.当 x时，若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：11.若要使 在 x=0连续，则 f(0)=_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为*二、B填空题/B(总题数：3，分数：3.00)12.已
11、知 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由已知直接得*，则*13.已知 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 这是一个复合函数求导问题，需设中间变量 设*，则*再设 y=f(u)，而*所以 * 由题设知*，于是得 * 故*14.已知 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：三、B解答题/B(总题数：35，分数：70.00)15.一动点与两定点(2，3，1)和(4，5，6)等距离，求这个动点的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(4x+4y+10z-63=0)解析：16.求点(1，2，1)到平面 x+2y+2
12、z-10=0的距离（分数：2.00）_正确答案：(1)解析：17.求点 P(3，-1，2)到直线 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：18.求两平行平面 2x-y-5z=1，2x-y-5z=3 之间的距离（分数：2.00）_正确答案：(*)解析：19.求过点(0，2，4)且与两平面 x+2z=1和 y-3z=2平行的直线方程，并求该直线到两已知平面的距离分别是多少（分数：2.00）_正确答案：(直线方程*；直线到平行平面距离就是点到两平面的距离，分别是*)解析：20.求两平行直线 （分数：2.00）_正确答案：(距离为*)解析：21.求两直线 （分数：2.00）_正确答案：(夹角*，距离
13、为*)解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(解 方法一 当 x时，*，原极限为 1 型，其极限结果一般与 e有关故要考虑用重要极限公式*来求解而用此公式的关键是要变换出一个 1出来*方法二 *可以理解为“幂指函数”，可用取对数法来降级先用倒数换元法变形一次，令*，有原式*)解析：23.求解微分方程 y2dx+(xy-1)dy=0（分数：2.00）_正确答案：(解 按常规思路变形得*此种状态 x与 y无法分离 换一种思维，视 y为自变量，x 为函数，变形得*(视 x为 y的函数)，解这个一阶微分方程，得*)解析：24.设 x=y2+y，u=(x 2+x)3/2，求 （分数：2.00
14、）_正确答案：(解 由于 y用 x不易表示，且 x用 u也不易表示改换思维角度，设 u=f(x)，x=(y)，产生复合函数 u=f(y)，再用复合函数求导法则 * 所以 *)解析：25.已知函数 g(x)在区间(-，+)上连续，且 g(1)=5， ，设 f(x)= ，求 f(x)，并求 f“(1)与 （分数：2.00）_正确答案：(解 关于 t求积分时视 x为常数则 * 两边对 x求导得 *)解析：26.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 因为当 x1 时，*，所以 *)解析：27.已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2x-e-x是二阶线性非齐次方程的 3
15、个解，求此微分方程（分数：2.00）_正确答案：(解 y 1-y2=e2x-e-x，y 1-y3=e-x分别为对应齐次方程的解，故齐次方程的通解为y=C1e2x+C2e-x齐次方程为 y“-y-2y=0将 y3=xex+e2x-e-x代入上面齐次方程左边，求得 y“-y-2y=(1-2x)ex，即为所求)解析：28.设函数 f(x)在0，1上有连续导数，满足 0f(x)1 且 f(0)=0求证： （分数：2.00）_正确答案：(证明 令*，显然 F(0)=0因为 0f(x)1 且 f(0)=0所以当 x0 时，f(x)0*令*(z)-2*f(t)dt-f 2(x)，显然*(0)=0*(x)=2
16、f(x)-2f(x)f(x)=2f(x)(1-f(x)0所以当 x0 时，*(x)0由题设知 F(x)0(x0)当 x0 时 F(x)F(0)=0所以 F(1)F(0)=0，即*)解析：解析 把原命题推广到一般情况，即把求证问题放宽至任意 x0，1都有*再把原命题当作推广命题的特殊情况29.设 （分数：2.00）_正确答案：(解 考虑连续性，则 C=3+C1，C 1=-3+C*)解析：30.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f(0)存在，令 F(x)= tn-1f(xn-tn)dt，求 （分数：2.00）_正确答案：(解 用换元法和凑微分法令 xn-tn=u，则*当 t=0时，u=x n；当
17、 t=x时，u=0于是*故*)解析：31.讨论 （分数：2.00）_正确答案：(结论：n1 时可导；n1 时不可导因为由导数定义有 * 对 n-1进行讨论便得结论)解析：32.讨论 （分数：2.00）_正确答案：(结论：连续不可导 因为*(无穷小与有界函数之积还是无穷小)，所以连续；而*不存在，所以不可导)解析：33.由拉格朗日公式 f(b)-f(a)=f()(b-a)，其中 ab，求 （分数：2.00）_正确答案：(可能存在，也可能不存在 如*，f(0)根本不存在 即使 f()存在，但导函数 f()不一定连续，*不一定成立)解析：34.若 f(x)为(a，b)内单调递增的函数，则在(a，b)
18、是否一定有 f(x)0?（分数：2.00）_正确答案：(不一定如单调递增函数*在 x=0处导数不存在 正确命题：在(a，b)内处处可导的单调递增函数，必有 f(x)0)解析：35.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 方法一 y(x)=*sin(t-x)dt 是一个复合函数，不能直接写成 y=sin(x-x)=0 先展开得sin(t-x)=sintcosx-costsinx，t 为积分变量，则 * =-sinx(-cosx4+1)+cosxsinx-cosxsinx-sinxcosx =-sinx 方法二 因为*， 所以*)解析：36.若 （分数：2.00）_正确答案：(解 由*两边同时求导
19、得 f(x2)2x=cosx22x，即 f(x2)=cosx2，从而 f(x)=cosx)解析：37.若 （分数：2.00）_正确答案：(解 *(4t-1)dt=2x 2-1，是关于 x的方程，右边含常数项，两边不能求导左端用定积分可得*于是得同解方程 2x2-x=2x2-1，解得 x=1)解析：38.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 由*联想到级数*先考虑级数的收敛性由于 * 所以级数*收敛，由收敛的必要条件知通项必趋于零，即*)解析：39.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 因为 * 而*由夹逼准则知，*)解析：40.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 这是一个 1 型极限为
20、了能用到公式，利用恒等变形先把底数变出一个 1出来*而*)解析：41.已知 （分数：2.00）_正确答案：(解 方法一 由*，而*则 e2c=4，得 c=ln2方法二 *，故 c=ln2)解析：42.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 采用换元法降幂设 cos2x=u，则*，由复合函数求导法得*可化简为*)解析：43.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 化简*)解析：44.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(先看一般做法*，则 f(0)无意义 这种做法对吗?当然是错误的函数在特殊点处的导数应由导数定义式来求 由于*，所以*=0，*无意义，故 f(0)不存在)解析：45.
21、已知 （分数：2.00）_正确答案：(解 设 x3=u，y=f(u)则由*，得*，从而*，故 f“(x)=*)解析：46.求由曲线 y=sinx，y=cosx 与 x轴上的线段 （分数：2.00）_正确答案：(解 由于*，根据对称性，得 *)解析：47.求由 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(a0，0t)绕 x轴旋转而成的体积（分数：2.00）_正确答案：(解 这个参数方程代表摆线的半拱，平面图形由半拱及 y=0所围成，如下图所示 * 此时x的变化范围由 x=0到 x=a，于是绕 x轴旋转的体积为 *)解析：48.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 方法一 先恒等变形为*，由此结构联想到正弦的万能公式可设 x=tant，则*故可知 f(x)的值域为* 方法二 当 x0 时，*，则* 由于 f(x)是奇函数，由对称性知，当 x0时，* 显然，f(0)=0，所以 f(x)的值域为*)解析：49.求 （分数：2.00）_正确答案：(解 利用积分估值定理由于 0x1，故 * 两边积分，有 * 得 * 两边取极限 * 由夹副准则知 *)解析：
