【学历类职业资格】专升本高等数学(二)-求距离专题、证明专题、综合提升及答案解析.doc

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1、专升本高等数学(二)-求距离专题、证明专题、综合提升及答案解析(总分:117.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:11,分数:44.00)1.极限 为_ A1 B (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 (分数:4.00)A.B.C.D.3.设函数 (分数:4.00)A.B.C.D.4.当 n时, (分数:4.00)A.B.C.D.5.数项级数 (分数:4.00)A.B.C.D.6.下列说法正确的是_A对任意给定的正数 ,在变量 y的变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻之后,|y-A| 恒成立,则称变量 y在此变化过程中以 A为极限,记作 lim y=AB如果在某一变化

2、过程中,变量 y有极限,则变量 y是有界变量C对任意给定的正数 E,变量 y在其变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻之后,不等式|y-A|E 恒成立,则称变量 y是无穷大量,记作 lim y=D如果存在两个常数 m,M(mM),使对任意的正整数 n,恒有 mf(n)M,则-f(n)为有界数列E如果数列 yn=f(n)是单调有界的,则极限 (分数:4.00)A.B.C.D.E.7.设 ,当 n时,数列 yn_A收敛于 0.1B收敛于 0.2C收敛于 (分数:4.00)A.B.C.D.8.已知 (分数:4.00)A.B.C.D.9.数列 (分数:4.00)A.B.C.D.10.当 x时,若 (

3、分数:4.00)A.B.C.D.11.若要使 在 x=0连续,则 f(0)=_ A B (分数:4.00)A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数:3,分数:3.00)12.已知 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_13.已知 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_14.已知 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_三、B解答题/B(总题数:35,分数:70.00)15.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,求这个动点的轨迹方程(分数:2.00)_16.求点(1,2,1)到平面 x+2y+2z-10=0的距离(分数:2.00)_17.求点 P(3,-1,2)到直线 (分数:2.0

4、0)_18.求两平行平面 2x-y-5z=1,2x-y-5z=3 之间的距离(分数:2.00)_19.求过点(0,2,4)且与两平面 x+2z=1和 y-3z=2平行的直线方程,并求该直线到两已知平面的距离分别是多少(分数:2.00)_20.求两平行直线 (分数:2.00)_21.求两直线 (分数:2.00)_22.求极限 (分数:2.00)_23.求解微分方程 y2dx+(xy-1)dy=0(分数:2.00)_24.设 x=y2+y,u=(x 2+x)3/2,求 (分数:2.00)_25.已知函数 g(x)在区间(-,+)上连续,且 g(1)=5, ,设 f(x)= ,求 f(x),并求 f

5、“(1)与 (分数:2.00)_26.求 (分数:2.00)_27.已知 y1=xex+e2x,y 2=xex+e-x,y 3=xex+e2x-e-x是二阶线性非齐次方程的 3个解,求此微分方程(分数:2.00)_28.设函数 f(x)在0,1上有连续导数,满足 0f(x)1 且 f(0)=0求证: (分数:2.00)_29.设 (分数:2.00)_30.设函数 f(x)满足 f(0)=0,f(0)存在,令 F(x)= tn-1f(xn-tn)dt,求 (分数:2.00)_31.讨论 (分数:2.00)_32.讨论 (分数:2.00)_33.由拉格朗日公式 f(b)-f(a)=f()(b-a)

6、,其中 ab,求 (分数:2.00)_34.若 f(x)为(a,b)内单调递增的函数,则在(a,b)是否一定有 f(x)0?(分数:2.00)_35.求 (分数:2.00)_36.若 (分数:2.00)_37.若 (分数:2.00)_38.求 (分数:2.00)_39.求 (分数:2.00)_40.求 (分数:2.00)_41.已知 (分数:2.00)_42.求 (分数:2.00)_43.求 (分数:2.00)_44.设函数 f(x)= (分数:2.00)_45.已知 (分数:2.00)_46.求由曲线 y=sinx,y=cosx 与 x轴上的线段 (分数:2.00)_47.求由 x=a(t-

7、sint),y=a(1-cost)(a0,0t)绕 x轴旋转而成的体积(分数:2.00)_48.求 (分数:2.00)_49.求 (分数:2.00)_专升本高等数学(二)-求距离专题、证明专题、综合提升答案解析(总分:117.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:11,分数:44.00)1.极限 为_ A1 B (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 x包含 x+和 x-两种情况,本题求极限需要分别讨论 当 x+时,*; 当 x-时,* 所以*不存在,故选 D2.设 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 * 由极限的保号性知,在 x=a的领域内,恒有*,从而

8、f(x)-f(a)0,即 f(x)f(a)故 f(x)取得极大值3.设函数 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 * 因此左右极限不相等,所以 x=1为跳跃间断点4.当 n时, (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为 n时,*5.数项级数 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 因为*,而*,级数*是*的 p-级数是发散的,由比较判别法知级数*是发散的但是,*是交错级数,它满足: (1)*,单调递减; (2)通项的极限* 所以交错级数是收敛的故题设所给的级数是条件收敛的6.下列说法正确的是_A对任意给定的正数 ,在变量 y的变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时

9、刻之后,|y-A| 恒成立,则称变量 y在此变化过程中以 A为极限,记作 lim y=AB如果在某一变化过程中,变量 y有极限,则变量 y是有界变量C对任意给定的正数 E,变量 y在其变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻之后,不等式|y-A|E 恒成立,则称变量 y是无穷大量,记作 lim y=D如果存在两个常数 m,M(mM),使对任意的正整数 n,恒有 mf(n)M,则-f(n)为有界数列E如果数列 yn=f(n)是单调有界的,则极限 (分数:4.00)A. B. C. D. E. 解析:7.设 ,当 n时,数列 yn_A收敛于 0.1B收敛于 0.2C收敛于 (分数:4.00)A.B

10、.C. D.解析:解析 因为 * 所以 *8.已知 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 当 x=2时,分子必为零,所以 4+2a+b=0,原极限为*型,由洛必达法则知 * 即*,从而 a=2,b=-89.数列 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为 n是奇数时,* n 是偶数时,* 当 n时,f(n)极限时为时为 0,所以是无界变量,但非无穷大量10.当 x时,若 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:11.若要使 在 x=0连续,则 f(0)=_ A B (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 因为*二、B填空题/B(总题数:3,分数:3.00)12.已

11、知 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 由已知直接得*,则*13.已知 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:-1)解析:解析 这是一个复合函数求导问题,需设中间变量 设*,则*再设 y=f(u),而*所以 * 由题设知*,于是得 * 故*14.已知 ,则 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:三、B解答题/B(总题数:35,分数:70.00)15.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,求这个动点的轨迹方程(分数:2.00)_正确答案:(4x+4y+10z-63=0)解析:16.求点(1,2,1)到平面 x+2y+2

12、z-10=0的距离(分数:2.00)_正确答案:(1)解析:17.求点 P(3,-1,2)到直线 (分数:2.00)_正确答案:(*)解析:18.求两平行平面 2x-y-5z=1,2x-y-5z=3 之间的距离(分数:2.00)_正确答案:(*)解析:19.求过点(0,2,4)且与两平面 x+2z=1和 y-3z=2平行的直线方程,并求该直线到两已知平面的距离分别是多少(分数:2.00)_正确答案:(直线方程*;直线到平行平面距离就是点到两平面的距离,分别是*)解析:20.求两平行直线 (分数:2.00)_正确答案:(距离为*)解析:21.求两直线 (分数:2.00)_正确答案:(夹角*,距离

13、为*)解析:22.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(解 方法一 当 x时,*,原极限为 1 型,其极限结果一般与 e有关故要考虑用重要极限公式*来求解而用此公式的关键是要变换出一个 1出来*方法二 *可以理解为“幂指函数”,可用取对数法来降级先用倒数换元法变形一次,令*,有原式*)解析:23.求解微分方程 y2dx+(xy-1)dy=0(分数:2.00)_正确答案:(解 按常规思路变形得*此种状态 x与 y无法分离 换一种思维,视 y为自变量,x 为函数,变形得*(视 x为 y的函数),解这个一阶微分方程,得*)解析:24.设 x=y2+y,u=(x 2+x)3/2,求 (分数:2.00

14、)_正确答案:(解 由于 y用 x不易表示,且 x用 u也不易表示改换思维角度,设 u=f(x),x=(y),产生复合函数 u=f(y),再用复合函数求导法则 * 所以 *)解析:25.已知函数 g(x)在区间(-,+)上连续,且 g(1)=5, ,设 f(x)= ,求 f(x),并求 f“(1)与 (分数:2.00)_正确答案:(解 关于 t求积分时视 x为常数则 * 两边对 x求导得 *)解析:26.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 因为当 x1 时,*,所以 *)解析:27.已知 y1=xex+e2x,y 2=xex+e-x,y 3=xex+e2x-e-x是二阶线性非齐次方程的 3

15、个解,求此微分方程(分数:2.00)_正确答案:(解 y 1-y2=e2x-e-x,y 1-y3=e-x分别为对应齐次方程的解,故齐次方程的通解为y=C1e2x+C2e-x齐次方程为 y“-y-2y=0将 y3=xex+e2x-e-x代入上面齐次方程左边,求得 y“-y-2y=(1-2x)ex,即为所求)解析:28.设函数 f(x)在0,1上有连续导数,满足 0f(x)1 且 f(0)=0求证: (分数:2.00)_正确答案:(证明 令*,显然 F(0)=0因为 0f(x)1 且 f(0)=0所以当 x0 时,f(x)0*令*(z)-2*f(t)dt-f 2(x),显然*(0)=0*(x)=2

16、f(x)-2f(x)f(x)=2f(x)(1-f(x)0所以当 x0 时,*(x)0由题设知 F(x)0(x0)当 x0 时 F(x)F(0)=0所以 F(1)F(0)=0,即*)解析:解析 把原命题推广到一般情况,即把求证问题放宽至任意 x0,1都有*再把原命题当作推广命题的特殊情况29.设 (分数:2.00)_正确答案:(解 考虑连续性,则 C=3+C1,C 1=-3+C*)解析:30.设函数 f(x)满足 f(0)=0,f(0)存在,令 F(x)= tn-1f(xn-tn)dt,求 (分数:2.00)_正确答案:(解 用换元法和凑微分法令 xn-tn=u,则*当 t=0时,u=x n;当

17、 t=x时,u=0于是*故*)解析:31.讨论 (分数:2.00)_正确答案:(结论:n1 时可导;n1 时不可导因为由导数定义有 * 对 n-1进行讨论便得结论)解析:32.讨论 (分数:2.00)_正确答案:(结论:连续不可导 因为*(无穷小与有界函数之积还是无穷小),所以连续;而*不存在,所以不可导)解析:33.由拉格朗日公式 f(b)-f(a)=f()(b-a),其中 ab,求 (分数:2.00)_正确答案:(可能存在,也可能不存在 如*,f(0)根本不存在 即使 f()存在,但导函数 f()不一定连续,*不一定成立)解析:34.若 f(x)为(a,b)内单调递增的函数,则在(a,b)

18、是否一定有 f(x)0?(分数:2.00)_正确答案:(不一定如单调递增函数*在 x=0处导数不存在 正确命题:在(a,b)内处处可导的单调递增函数,必有 f(x)0)解析:35.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 方法一 y(x)=*sin(t-x)dt 是一个复合函数,不能直接写成 y=sin(x-x)=0 先展开得sin(t-x)=sintcosx-costsinx,t 为积分变量,则 * =-sinx(-cosx4+1)+cosxsinx-cosxsinx-sinxcosx =-sinx 方法二 因为*, 所以*)解析:36.若 (分数:2.00)_正确答案:(解 由*两边同时求导

19、得 f(x2)2x=cosx22x,即 f(x2)=cosx2,从而 f(x)=cosx)解析:37.若 (分数:2.00)_正确答案:(解 *(4t-1)dt=2x 2-1,是关于 x的方程,右边含常数项,两边不能求导左端用定积分可得*于是得同解方程 2x2-x=2x2-1,解得 x=1)解析:38.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 由*联想到级数*先考虑级数的收敛性由于 * 所以级数*收敛,由收敛的必要条件知通项必趋于零,即*)解析:39.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 因为 * 而*由夹逼准则知,*)解析:40.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 这是一个 1 型极限为

20、了能用到公式,利用恒等变形先把底数变出一个 1出来*而*)解析:41.已知 (分数:2.00)_正确答案:(解 方法一 由*,而*则 e2c=4,得 c=ln2方法二 *,故 c=ln2)解析:42.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 采用换元法降幂设 cos2x=u,则*,由复合函数求导法得*可化简为*)解析:43.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 化简*)解析:44.设函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(先看一般做法*,则 f(0)无意义 这种做法对吗?当然是错误的函数在特殊点处的导数应由导数定义式来求 由于*,所以*=0,*无意义,故 f(0)不存在)解析:45.

21、已知 (分数:2.00)_正确答案:(解 设 x3=u,y=f(u)则由*,得*,从而*,故 f“(x)=*)解析:46.求由曲线 y=sinx,y=cosx 与 x轴上的线段 (分数:2.00)_正确答案:(解 由于*,根据对称性,得 *)解析:47.求由 x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a0,0t)绕 x轴旋转而成的体积(分数:2.00)_正确答案:(解 这个参数方程代表摆线的半拱,平面图形由半拱及 y=0所围成,如下图所示 * 此时x的变化范围由 x=0到 x=a,于是绕 x轴旋转的体积为 *)解析:48.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 方法一 先恒等变形为*,由此结构联想到正弦的万能公式可设 x=tant,则*故可知 f(x)的值域为* 方法二 当 x0 时,*,则* 由于 f(x)是奇函数,由对称性知,当 x0时,* 显然,f(0)=0,所以 f(x)的值域为*)解析:49.求 (分数:2.00)_正确答案:(解 利用积分估值定理由于 0x1,故 * 两边积分,有 * 得 * 两边取极限 * 由夹副准则知 *)解析:

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