1、专升本（高等数学一）模拟试卷 113 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.函数 f(x)在点 x 0 处有定义是 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对2.设函数 （分数：2.00）A.e 2B.e 2C.1D.03.若 （分数：2.00）A.a=9，b=14B.a=1，b=6C.a=2，b=0D.a=2，b=54.曲线 （分数：2.00）A.有一个拐点B.有两个拐点C.有三个拐点D.无拐点5.x 2 dx 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 （分数：2.00）A.0 或 1B.0 或
2、1C.0 或 2D.1 或17.由曲线 ，直线 y=x，x=2 所围面积为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 z=x 3 3xy，则它在点(1，0)处 【 】（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.无法判定9.若 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.收敛且和为零D.可能收敛也可能发散10.微分方程 y2y=x 的特解应设为 【 】（分数：2.00）A.AxB.Ax+BC.Ax 2 +BxD.Ax 2 +Bx+C二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.极限 （分数：2.00）填空项 1:_13.，求 dy=
3、 1 （分数：2.00）填空项 1:_14. 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.y=y(x)是由方程 xy=e yx 确定的函数，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1:_18.若 D 是中心在原点、半径为 a 的圆形区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.方程 y+y+y=2xe x 的特解可设为 y * = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.确定函数 f(x，y)=3axyx 3 y 3 (
4、a0)的极值点（分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.讨论级数 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.证明：e x 1+x(x0)（分数：2.00）_26.设 x0 时 f(x)可导，且满足 f(x)=l+ （分数：2.00）_27.求方程 y2y+5y=e x 的通解（分数：2.00）_28.设 （分数：2.00）_专升本（高等数学一）模拟试卷 113 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.函数 f(x)在点 x 0 处有定义是 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对
5、解析：解析：本题考查了判断函数极限的存在性的知识点极限是否存在与函数在该点有无定义无关2.设函数 （分数：2.00）A.e 2 B.e 2C.1D.0解析：解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点 3.若 （分数：2.00）A.a=9，b=14B.a=1，b=6 C.a=2，b=0D.a=2，b=5解析：解析：本题考查了洛必达法则的知识点 因此 4+2a+b=0，即 2a+b=4 或 b=42a，4.曲线 （分数：2.00）A.有一个拐点B.有两个拐点C.有三个拐点D.无拐点 解析：解析：本题考查了曲线的拐点的知识点5.x 2 dx 【 】 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：
6、本题考查了不定积分的知识点6.已知 （分数：2.00）A.0 或 1 B.0 或1C.0 或 2D.1 或1解析：解析：本题考查了定积分的知识点 0 k (2x3x 2 )dx=(x 2 x 3 )| 0 k =k 2 k 3 = k 2 (1k)=0，所以 k=0 或 k=17.由曲线 ，直线 y=x，x=2 所围面积为 【 】 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查了曲线所围成的面积的知识点 曲线 y= 与直线 y=x，x=2 所围成的区域 D 如下图所示，8.设 z=x 3 3xy，则它在点(1，0)处 【 】（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值 D
7、无法判定解析：解析：本题考查了函数在一点处的极值的知识点 =3x 2 3， 9.若 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.收敛且和为零D.可能收敛也可能发散 解析：解析：本题考查了数项级数收敛的必要条件的知识点 收敛的必要条件，但不是充分条件，从例子10.微分方程 y2y=x 的特解应设为 【 】（分数：2.00）A.AxB.Ax+BC.Ax 2 +Bx D.Ax 2 +Bx+C解析：解析：本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点因 f(x)=x 为一次函数，且特征方程为 r 2 2r=0，得特征根为 r 1 =0，r 2 =2，于是特解应设为 y * =(Ax+B)x=Ax 2 +Bx二
8、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点 且 f(1)=1，所以 f(x)在 x=1 连续，应有 1=sina，所以 a=12.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1 ）解析：解析：本题考查了 的应用的知识点13.，求 dy= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了一元函数的微分的知识点14. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3t 2 (1+t) 2）解析：解析：本题考
9、查了由参数方程确定的函数的导数的知识点 15.y=y(x)是由方程 xy=e yx 确定的函数，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了隐函数的微分的知识点 方程两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，有 y+xy=e yx (y1)， 注：由一阶微分的形式不变形可求解如下： ydx+xdy=e yx (dydx)， 即(e yx x)dy=(y+ e yx )dx， 所以 16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了不定积分的换元积分的知识点17.设 （分数：2.00）填空项 1:
10、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点18.若 D 是中心在原点、半径为 a 的圆形区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，2）解析：解析：本题考查了幂级数的收敛区间的知识点 则收敛半径 R=2，而 x=2 时，级数 收敛，x=2 时，级数20.方程 y+y+y=2xe x 的特解可设为 y * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(Ax+B)e x (A、B 为待定常数)
11、解析：解析：本题考查了二阶线性微分方程的特解的知识点方程 y+y+y=0 的特征方程为 r 2 +1=0，特征根为 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.确定函数 f(x，y)=3axyx 3 y 3 (a0)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在(0，0)点，0，所以(0，0)不是极值点 在(a，a)点， )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.证明：e x 1+x(x0)（分数：2.00）_正确答
12、案：(正确答案：对 F(x)=e x 在0，x上使用拉格朗日中值定理得 F(x)F(0)=F()x，0x， 因 F()=e 1，即 )解析：26.设 x0 时 f(x)可导，且满足 f(x)=l+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)=1+ 1 x f(t)dt 可导，在该式两边乘 x 得 xf(x)=x+ 1 x f(t)dt， 两边对 x 求导得 f(x)+ xf(x)=l+f(x)， 所以 f(x)= )解析：27.求方程 y2y+5y=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y2y+5y=0 的特征方程为，r 2 2r+5=0， 故特征根为 r=12i， 非齐次项的特解可设为 y=Ae x ，代入原方程得 A= ， 所以方程的通解为 y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+ )解析：28.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)代入有 0 a f(x)dx= 0 a dx 0 ax e y(2ay) dy = 0 a dy 0 ax e y(2ay) dx = 0 a (ay)e y(2ay) dy = 0 a (ay)e a2(ay)2 dy = 0 a e a2 e (ay)2 d(ay) 2 = e a2 e (ay)2 | 0 a = e a2 (e a2 e 0 ） = )解析：
