1、四川省专升本（高等数学）-试卷 10 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.一 2B.2C.D.3.等于 ( ) （分数：2.00）A.2B.1C.D.04.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是
2、f(x)的第一类间断点5.已知导函数 y=ktan2x 的一个原函数为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)=e 2x ，则不定积分f( （分数：2.00）A.2e x +CB.e x +CC.2e 2x +CD.e 2x +C7.在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是 ( )（分数：2.00）A.x 2 +y 2 一 z 2 =0B.x 2 +y 2 =4C.x=y 2D.x 2 +y 2 +z 2 =18.设 （分数：2.00）A.若 u n 收敛，则 B.若 u n 发散，则 C.若 v n 发散，则 D.若 v n 收敛，则 9.设向量组 1 ， 2 ， r 是向量组
3、 1 ， 2 ， r ， 的一个极大线性无关组，记nr 矩阵 A= ( 1 2 r )，则非齐次线性方程组 AX= ( )（分数：2.00）A.必无解B.必有解，且解唯一C.必有解，且有无穷多组解D.不能确定，可能有解，可能无解10.微分方程 y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=e xB.y=e xC.y=Ce xD.y=Ce x11.A，B 为 n 阶方阵，A 可逆，则下面运算正确的是 ( )（分数：2.00）A.A 1 =A 1B.AB=ABC.(kA) * =kA *D.(A * ) 1 =(A 1 ) *二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 y=2 x
4、.x 2 +sin2，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.极限 （分数：2.00）填空项 1:_14.过点(1，一 1，0)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_15.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知行列式 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.若 （分数：2.00）_19.已知平面 1 ：x+2y+z=1， 2 ：2x+y+z=3求过点 M 0 (1，一 1，1)且与平面 1 ， 2 都垂直的平面的方程（分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_2
5、1.设函数 z=e xey ，求 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.求 （分数：2.00）_24.求 y+6y+13y=0 的通解（分数：2.00）_25.设线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.某房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?（分数：2.00）_27.设抛物线 y=ax 2 +bx，当 0x1 时，y0已知它与直线 y=0，x=1 所
6、围成的图形的面积为 （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明：1+xln(x+ （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 10 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.一 2 B.2C.D.解析：解析：f(x)在 x=0 处连续，3.等于 ( ) （分数：2.00）A.2B.1C.D.0 解析：解析：本题考查的知识点为无穷小量的性质 由于 x时， 为无穷小量，而 sin2x
7、 为有界变量由无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量的性质可知4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：显然 x=0，x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限 由于函数 f(x)在 x=0，x=1 点处无定义，因此是间断点，且 f(x)=，所以 x=0 为第二类间断点； f(x)=1，所以 x=1 为第一类间断点，故应选 D 应特别注意：5.已
8、知导函数 y=ktan2x 的一个原函数为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意 tan2x， 所以有 ktan2x= tan2x，则 k=6.设函数 f(x)=e 2x ，则不定积分f( （分数：2.00）A.2e x +CB.e x +C C.2e 2x +CD.e 2x +C解析：解析：f(x)=e 2x ，令 t= ，则 dx=2dt，f( 7.在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是 ( )（分数：2.00）A.x 2 +y 2 一 z 2 =0B.x 2 +y 2 =4 C.x=y 2D.x 2 +y 2 +z 2 =1解析：解析：方程 F(x，y)=0 表示母线平
9、行于 Oz 轴的柱面，称之为柱面方程方程 x 2 +y 2 a 2 =0 表示母线平行 Oz 轴的圆柱面方程同理，F(y，z)=0 及 F(x，z)=0 都表示柱面，它们的母线分别平行于 Ox轴及 Oy 轴故选 B8.设 （分数：2.00）A.若 u n 收敛，则 B.若 u n 发散，则 C.若 v n 发散，则 D.若 v n 收敛，则 解析：解析：由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数 u n 发散，则大的级数 9.设向量组 1 ， 2 ， r 是向量组 1 ， 2 ， r ， 的一个极大线性无关组，记nr 矩阵 A= ( 1 2 r )，则非齐次线性方程组 AX= ( )（分数：2
10、.00）A.必无解B.必有解，且解唯一 C.必有解，且有无穷多组解D.不能确定，可能有解，可能无解解析：解析：r(A nr )=r( 1 2 r )=r，由条件知 必可由 1 ， 2 ， r 线性表示得 r( 1 2 r )=r( 1 2 r ，)=r 即 A nr X r1 = 有唯一解10.微分方程 y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=e xB.y=e xC.y=Ce xD.y=Ce x 解析：解析：本题考查的知识点为一阶微分方程的求解可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解 将方程认作可分离变量方
11、程分离变量 =dx，两端分别积分 11.A，B 为 n 阶方阵，A 可逆，则下面运算正确的是 ( )（分数：2.00）A.A 1 =A 1B.AB=ABC.(kA) * =kA *D.(A * ) 1 =(A 1 ) * 解析：解析：A，A 1 =(1) n A 1 =(1) n =(1) n A 1 ，故 A 错误；B，AB=A n B，故 B 错误；C，由 A 1 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 y=2 x .x 2 +sin2，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 x x 2 ln2+2 x+1 x）解析：解析：已知 y=2 x
12、.x 2 +sin2，则 y=2 x ln2.x 2 +2x.2 x =2 x x 2 ln2+2 x+1 x13.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：14.过点(1，一 1，0)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，一 1)由直线的点向式方程可知所求直线方程为15.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2 +2）解析：解析： xe x dx，
13、 又 e x dx=e 2 +1，所以 16.已知行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： A 11 =(1) 1+1 =ac 一 bc， A 21 =(一 1) 2+1 =0 A 31 =(一 1) 3+1 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 则当 x2 时，x 2 +ax+b 与 x2 为同阶无穷小量， 令 x 2 +ax+b=(x2)(x+k)， () 则 )解析：解析：本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将 x 2 +a
14、x+b 写成两个一次式的乘积，使得两个未知数 a，b 变为一个 k，解答就简便了19.已知平面 1 ：x+2y+z=1， 2 ：2x+y+z=3求过点 M 0 (1，一 1，1)且与平面 1 ， 2 都垂直的平面的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 的法向量为 n 1 =1，2，1， 2 的法向量 n 2 =2，1，1， 所求平面 与 1 ， 2 都垂直，故 的法向量为 n=n 1 n 2 = )解析：解析：本题考查平面方程的求解，据题意可求出平面的法向量，进而求出平面的点法式方程20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=tant，则 dx= dt当 x=0
15、 时，t=0；当 x=1 时，t= 注意到 tan 2 t+1= ，则有 )解析：解析：本题考查的知识点是用换元法去根号计算定积分三角代换 x=asint 和 x=atant 是大纲要求掌握的内容21.设函数 z=e xey ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =e y .e xey =e y .e y .e xey =e 2y+xey )解析：解析：本题考查对二阶偏导数的求解22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题主要考查不定积分的分母有理化问题23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，因区域关于 y 轴对称，而 f(x)=x
16、是奇函数， 所以 xdxdy=0， 所以 )解析：解析：计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分可以将二重积分转化为：先对 y 积分，后对x 积分的累次积分24.求 y+6y+13y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为，r 2 +6r+13=0，故 r=32i 为共轭复根， 于是通解为 y=e 3x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)解析：解析：本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解25.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将(1，一 1，1，一 1) T 代入得 1 一 + 一 1=0，即 = 将 A=代入得 对它的系数矩阵为
17、A 施行初等行变换： 由此可知，当 时， 所以，此时的通解为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T =C 1 (一 1， ，1) T +(1，一 1，1，一 1) T =(一C 1 +1， C 1 +1，C 1 一 1) T (C 1 是任意常数) 当 = 时， 所以，此时的通解为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T =C 2 (1，一 3，1，0) T +C 3 ( ，一 1，0，1) T +(1，一1，1，一 1) T =(C 2 C 3 +1，一 3C 2 一 C 3 1，C 2 +1，C 3 1) T (C 2 ，C 3 是任意常数) (2)当 时，由 x
18、 2 =x 3 得 C 1 +1，即 C 1 =2， 所以，此时的满足 x 2 =x 3 的通解为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T =(一 1，0，0，1) T 当 = )解析：解析：本题考查的知识点是利用初等变换求线性方程组的通解四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.某房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设租金定为 x 元时对应的收入
19、为 y 元，则 y=(50 一 )(x 一 200)，即y= +72x 一 14000，x2 000， 令 y= )解析：解析：根据题意，写出收入函数 y，然后用一元函数 y=f(x)的求最值法，即可得解27.设抛物线 y=ax 2 +bx，当 0x1 时，y0已知它与直线 y=0，x=1 所围成的图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S= (ax 2 +bx)dx= 即 2a+3b=2，则 b= 要使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小，则 a= ，把 a= 代入 b= ，所以 b= ，综上所述 a= )解析：解析：一般情况下，如果有两条曲线 y=f(z)，y=g
20、(x)(假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 x 轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：V x = 五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明：1+xln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=1+x.ln(x+ 于是 令 f(x)=0，得驻点：x=0； 又0，x(，+)； 从而可知，f(x)在(一，+)上为单调递增函数 因 f(0)=0， 故x0 时，f(x)0，f(x)单调递减；x0 时，f(x)0，f(x)单调递增；进而知 f(x)在 x=0 处取得最小值，且最小值为 f(0)=0，那么对任意的 x(，+)，有 f(x)0，即 1+x.ln(x+ )解析：解析：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性证明是常用的方法之一关键是构造函数 f(x)，证明当 xx 0 时，f(x)0(或0)，从而推出函数 f(x)单调增加(或减少)，因而 xx 0 时，f(x)f(x 0 )(或 f(x)f(x 0 )
