1、四川省专升本（高等数学）-试卷 12及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设 f(x)=e x2 一 1，g(x)=x 2 ，则当 x0 时 ( )（分数：2.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D.f(x)与 g(x)是等价无穷小3.设函数 f(x)可导，则 （分数：2.00）A.0B.2f(x)C.2f(x)f(x)D.2f(x)4.函数 y=ln(1
2、+x 2 )的单调递增区间是 ( )（分数：2.00）A.(5，5)B.(，0)C.(0，+)D.(，+)5.设函数 z=x 2 y+x+1，则 （分数：2.00）A.2x+1B.2xy+1C.x 2 +1D.x 26.不定积分 （分数：2.00）A.ln3x1+CB.ln(3x1)+CC.ln3x1+CD.ln(3x1)+C7.在空间直角坐标系中，方程 1= （分数：2.00）A.椭圆B.椭圆面C.抛物面D.椭圆柱面8.下列命题中正确的有 ( )（分数：2.00）A.设级数 u n 收敛， v n 发散，则级数 B.设级数 u n 收敛， v n 发散，则级数 C.设级数 u n 收敛，且
3、u n v n (n=k，k+1，)，则级数 D.设级数 (u n +v n )收敛，则有 (u n +v n )= 9.向量组 1 =(1，1+a，0)， 2 =(1，2，0)， 3 =(0，0，a 2 +1)线性相关，则 a= ( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.1D.210.方程 y+3y=x 2 的待定特解 y * 应取 ( )（分数：2.00）A.AxB.Ax 2 +Bx+CC.Ax 2D.x(Ax 2 +Bx+C)11.设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.交换 A
4、 * 的第 1列与第 2列得 B *B.交换 A * 的第 1行与第 2行得 B *C.交换 A * 的第 1列与第 2列得B *D.交换 A * 的第 1行与第 2行得B *二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.由方程 xye x +e y =0确定的隐函数的导数 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.直线 （分数：2.00）填空项 1:_15.f(3x)dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤
5、。（分数：2.00）_18.求由方程 y 2 + （分数：2.00）_19.设 f(x)= 求 （分数：2.00）_20.设 z=z(x，y)由方程 yz+x 2 +z=0所确定，求 dz（分数：2.00）_21.计算x(1+x 2 ) 2 dx（分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.求微分方程 y一 3y+2y=xe x 的通解（分数：2.00）_24.将函数 f(x)= （分数：2.00）_25. 取何值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材
6、料，已知下底面材料每平方厘米的价格为 3元，侧面材料每平方厘米的价格为 1元，问该容器的底面半径 r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?（分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设 f(x)为0，1上的连续函数，试证 （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 12答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=e x2 一 1，g(x)=x 2 ，则当 x0 时 (
7、)（分数：2.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小 D.f(x)与 g(x)是等价无穷小解析：解析：3.设函数 f(x)可导，则 （分数：2.00）A.0B.2f(x)C.2f(x)f(x) D.2f(x)解析：解析：函数 f(x)可导，4.函数 y=ln(1+x 2 )的单调递增区间是 ( )（分数：2.00）A.(5，5)B.(，0)C.(0，+) D.(，+)解析：解析：y= 5.设函数 z=x 2 y+x+1，则 （分数：2.00）A.2x+1B.2xy+1 C.x 2 +1D.x 2
8、解析：解析：用二元函数求偏导公式计算即可 6.不定积分 （分数：2.00）A.ln3x1+CB.ln(3x1)+CC.ln3x1+C D.ln(3x1)+C解析：解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法 d(3x一 1)=7.在空间直角坐标系中，方程 1= （分数：2.00）A.椭圆B.椭圆面C.抛物面D.椭圆柱面 解析：解析：因为在平面直角坐标系中，1= 表示的平面图形为椭圆，所以在空间直角坐标系中，方程 1= 所表示的图形为以 xOy平面上椭圆8.下列命题中正确的有 ( )（分数：2.00）A.设级数 u n 收敛， v n 发散，则级数 B.设级数 u n 收敛， v n 发散，则级数
9、 C.设级数 u n 收敛，且 u n v n (n=k，k+1，)，则级数 D.设级数 (u n +v n )收敛，则有 (u n +v n )= 解析：解析：本题考查的知识点为级数的性质由级数的性质：若 v n 收敛，则 (u n +v n )必定收敛利用反证法可知，若 9.向量组 1 =(1，1+a，0)， 2 =(1，2，0)， 3 =(0，0，a 2 +1)线性相关，则 a= ( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.1 D.2解析：解析：向量 1 ， 2 ， 3 线性相关，它们构成的行列式的值为 0，即 10.方程 y+3y=x 2 的待定特解 y * 应取 ( )（分数：2.0
10、0）A.AxB.Ax 2 +Bx+CC.Ax 2D.x(Ax 2 +Bx+C) 解析：解析：本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解 y * 的取法由于相应齐次方程为y+3y=0， 其特征方程为 r 2 +3r=0， 特征根为 r 1 =0，r 2 =3， 而 x 2 ，=0 为单一特征根，因此应设 y * =x(Ax 2 +Bx+C)， 故应选 D11.设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.交换 A * 的第 1列与第 2列得 B *B.交换 A * 的第 1行与第 2行得 B
11、*C.交换 A * 的第 1列与第 2列得B * D.交换 A * 的第 1行与第 2行得B *解析：解析：设 A变为 B的初等矩阵为 E 12 ，则 B=E 12 A，B=E 12 A=A B 1 =A 1 =A 1 E 12 ，AB 1 =AA 1 E 12 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.由方程 xye x +e y =0确定的隐函数的导数 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：两边对 x求导 y+xy一 e x +e y .y=0， 13.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*lnx+C）解析：解
12、析：原式=14.直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：因为直线 的方向向量 s 1 =(2k，k+2，5)，直线 = 15.f(3x)dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*f(3b)一 f(3a)）解析：解析：16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：化简矩阵方程得(AI)X=A 2 一 I， 由 A 2 一 I=(AI)(A+I)， 且 AI= =10 知 AI可逆，所以(AI) 1 (AI)X=(AI) 1 (AI)(A+I)， 又因为(A1) 1 (AI)=I，故矩阵
13、方程化为 X=A+I，即 X=A+I= 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求由方程 y 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程两端关于 x求导，得 2yy+cosx 2 =0，y= )解析：解析：本题考查隐函数的求导，对方程两端关于 x求导即可19.设 f(x)= 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题考查分段函数的积分，利用积分区间可加性即可求解20.设 z=z(x，y)由方程 yz+x 2 +z=0所确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x
14、，y，z)=yz+x 2 +z， 则 F x =2x，F y =z，F z =y+1， 当y+10 时， 为连续函数，有 )解析：解析：为了求全微分 dz，可以先求 ，如果两个偏导数都是连续函数，那么由全微分的充分条件可知 dz=21.计算x(1+x 2 ) 2 dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x(1+x 2 ) 2 dx= (1+x 2 ) 2 d(1+x 2 ) = )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=rcos，y=rsin， 那么 D对应于区域 D 1 =(r，) ，0r2acos， 故 )解析：解析：本题考查重积分的计算利用二重积分的变量代
15、换求解即可23.求微分方程 y一 3y+2y=xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该微分方程所对应齐次线性方程 y一 3y+2y=0 的特征方程为 r 2 3r+2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =2，所以齐次方程的通解为 =C 1 e x +C 2 e 2x 因为 =1 是单特征根，而 =1，所以，设特解形式为 y * =x(a+bx)e x 将 y * =x(a+bx)e x 代入原微分方程，并求解得 y * =x(1+ x)e x 故原微分方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x x(1+ )解析：解析：本题考查的知识点为求解二阶线性微分方程24.
16、将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 而 (一 1) n x n ，且 R 1 =1， 且 R 2 =2， 故 f(x)= )解析：解析：将题给分式分解成两个分式和的形式，分别转化成 的形式，再借用25. 取何值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解 解 因为系数矩阵 所以当 =5 时，方程组有非零解，且此时通解为 )解析：解析：本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，
17、其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为 3元，侧面材料每平方厘米的价格为 1元，问该容器的底面半径 r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 S为材料费用函数，则 S=2rh+r 2 +3r 2 ，且满足条件 r 2 h=32 所以 因 令 S(r)=0，得驻点 r=2 因 S(2)=240，且驻点唯一，所以 r=2为 S(r)的最小值点， 此时 )解析：解析：本题为利用导数求最值问题求最大值与最小值的一般方法是： (1)求出 f(x)在(a，b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x 1
18、，x k (2)求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b 处的函数值：f(x 1 )，f(x k )，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为 y=f(x)在a，b上的最大值，相应的 x的取值即为 f(x)在a，b上的最大值点，而其中最小的数值即为 f(x)在a，b上的最小值，相应的 x的取值即为 f(x)在a，b上的最小值点27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在(一 1，1)内有 记 f(x)= x 2n (x(一 1，1)，则 f(0)=0，且 所以，对 x(一 1，0)(0，1)有 从而 因此， )解析：解析：幂级数求和函数一般采用逐项求导，逐项积分或凑的方法，转化为几何级数或常用函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的本题利用初等函数五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设 f(x)为0，1上的连续函数，试证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于二重积分区域 D可以表示为 0y1，0x ，其图形如图阴影部分所示 如果换为先对 y积分，作平行于 y轴的直线与区域 D相交，沿 y轴正向看，入口曲线为 y=x 2 ，出口曲线为 y=1，因此 x 2 y1，在区域 D中 0x1因此 )解析：解析：本题实际上是一道交换积分次序的题，对左式可先根据 x的积分限画出积分区域 D的草图，再由草图所示转化为先对 y积分，求出后即得右式
