1、四川省专升本（高等数学）-试卷 1 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.已知当 x0 时，(1+ax 2 （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列极限不正确的是 ( )（分数：2.00）A.=eB.=eC.=eD.=e4.经过点(1，0)，且切线斜率为 3x 2 的曲线方程是 ( )（分数：2.00）A.y=x 3B.y=x 3 +1C.y=x 3 一 1D.y=x 3 +C5.dx= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设直线 L： （分数
2、：2.00）A.L 与 垂直B.L 与 相交但不垂直C.L 在 上D.L 与 平行但 L 不在 上7.已知 D=(x，y)0x1，0y1，则 （分数：2.00）A.B.C.1 一 eD.e 一 18.设 z=e y2+1 sin(x 2 1)，则 （分数：2.00）A.2xye y2+1 cos(x 2 1)B.e y2+1 +e y2+1 sin(x 2 1)C.4xye y2+1 cos(x 2 1)D.4xye y2+1 cos(x 2 1)9.微分方程 （分数：2.00）A.Ce 2x + B.Ce 2x + C.Ce 2x + D.Ce 2x + 10.下列级数中，收敛的是 ( )（
3、分数：2.00）A.B.C.D.11.若 A，B 都是方阵，且A=2，B=1，则A 1 B= ( )（分数：2.00）A.一 2B.2C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 z=x 2 y+sin y，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.若f(x)dx=e x +x+C，则cosx.f(sinx1)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)的 n1 阶导数为 （分数：2.00）填空项 1:_16.幂函数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理
4、、演算步骤。（分数：2.00）_18.已知当 x0 时，( （分数：2.00）_19.设 f(x)=e 3x ，求 （分数：2.00）_20.设 f(x，y)=cos(x 2 y)，求 f xx （分数：2.00）_21.计算 xydxdy，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成 （分数：2.00）_22.求经过点 A(3，2，1)和 B(1，2，3)且与坐标平面 xOz 垂直的平面的方程（分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.求常微分方程 （分数：2.00）_25.设线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.欲用板材作一容
5、积为 a 3 的长方体密封箱体，试问长、宽、高各为多少时，可以使板材最省?（分数：2.00）_27.设平面薄片的方程可以表示为 x 2 +y 2 R 2 ，x0，薄片上点(x，y)处的密度 (x，y)= （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.试证：当 x0 时，有不等式 xsinxx 一 （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 1 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.已知当 x0 时，(1+ax 2 （分数：2
6、.00）A. B.C.D.解析：解析：当 x0 时，(1+ x 2 又(1+ 一 1cosx 一 1， 当 x0 时， x 2 ，于是，有： 3.下列极限不正确的是 ( )（分数：2.00）A.=eB.=e C.=eD.=e解析：解析：B 项：4.经过点(1，0)，且切线斜率为 3x 2 的曲线方程是 ( )（分数：2.00）A.y=x 3B.y=x 3 +1C.y=x 3 一 1 D.y=x 3 +C解析：解析：因为 y=3x 2 ，则 y=x 3 +C又曲线过点(1，0)，得 C=1故曲线方程为 y=x 3 一 15.dx= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 x=
7、sint，则 dx=costdt，当 x=0 时，t=0；x=1 时，t= ，所以6.设直线 L： （分数：2.00）A.L 与 垂直B.L 与 相交但不垂直C.L 在 上D.L 与 平行但 L 不在 上 解析：解析：因为直线 L 过点(2，3，1)，且直线 L 的方向向量 s=(1，2，1)，又平面 的法向量n=(1，一 1，一 1)，所以 n.s=12+1=0，故直线 L 与平面 平行，但点(2，3，一 1)不在平面 上，所以直线 L 不在平面 上7.已知 D=(x，y)0x1，0y1，则 （分数：2.00）A.B. C.1 一 eD.e 一 1解析：解析：8.设 z=e y2+1 sin
8、(x 2 1)，则 （分数：2.00）A.2xye y2+1 cos(x 2 1)B.e y2+1 +e y2+1 sin(x 2 1)C.4xye y2+1 cos(x 2 1)D.4xye y2+1 cos(x 2 1) 解析：解析：z=e y2+1 sin(x 2 1)， =2xe y2+1 cos(x 2 1)， 9.微分方程 （分数：2.00）A.Ce 2x + B.Ce 2x + C.Ce 2x + D.Ce 2x + 解析：解析：由一阶线性微分方程的通解公式 y=e p(x)dx (C+Q(x)e p(x)dx dx)=e 2dx (C+e x e 2dx dx)=e 2x (C
9、+e 3x dx)=ce 2x + 10.下列级数中，收敛的是 ( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：对于选项 A，显然 u n 为分式，且含指数运算 3 n ，故宜用比值判别法判定其敛散性因= =31，所以，级数发散对于 B 选项，u n = 是发散的，由级数的性质知 也发散，由比值判别法知， 发散对于 C 选项，u n =n.sin = (xsinx，0x )，由于 是 p=21 的 P 一级数收敛，所以由比值判别法知， 收敛，故选项 C 为正确选项，对于选项 D，因 u n = ， u n = 0，所以由级数收敛的必要性知，级数 11.若 A，B 都是方阵，且A=2，B=
10、1，则A 1 B= ( )（分数：2.00）A.一 2B.2C. D.解析：解析：因为AA 1 =1，A=2，所以A 1 = ，又因为B=1，所以A 1 B=A 1 B= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 z=x 2 y+sin y，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x）解析：解析：由于 z=x 2 y+siny，可知 13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：计算极限时一定要注意极限的不同类型，当 x0 时，本题不是“ ”型，所以直接利用极限的四则运算法则计算即可故14.若f(x)dx=e x +x+C
11、，则cosx.f(sinx1)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e sinx1 +sinx+C）解析：解析：cosx.f(sinx1)dx=f(sinx1)d(sinx1) =e sinx1 +sinx 一 1+C 1 =e sinx1 +sinx+C15.设 f(x)的 n1 阶导数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f (n1) (x)=f (n) (x)，即 f (n) (x)= 16.幂函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 a n =(1) n1 ，a n+1 (一 1
12、) n 所以收敛半径为 R= 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知当 x0 时，( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 x0 时，( 一 1)与 sin 2 x 是等价无穷小量，因此有 )解析：解析：因为当 x0 时，( 1)与 sin 2 x 是等价无穷小量，所以有 19.设 f(x)=e 3x ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=3e 3x ， f(lnx)=3e 3lnx =3x 3 ， )解析：20.设 f(x，y)=cos(x 2 y)，求 f xx （分数：2.00
13、）_正确答案：(正确答案：由 =sin(x 2 y).2xy， =sin(x 2 y).x 2 ， 得 =cos(x 2 y).4x 2 y 2 sin(x 2 y).2y， =cos(x 2 y).x 4 ， 因此 f xx (1， )=cos(x 2 y).4x 2 y 2 sin(x 2 y).2y =， f yy (1， )=cos(x 2 y).x 4 )解析：解析：在做此题时要注意，对谁求偏导数只需把谁看成变量，其他都看成常数，用一元函数求导的方法求导即可21.计算 xydxdy，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
14、解析：解析：计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分所给二重积分被积函数 xy 关于 x，y 对称，积分区域也较简单可以将二重积分转化为：先对 y 积分，后对 x 积分的累次积分也可以转化为：先对x 积分，后对 y 积分的累次积分22.求经过点 A(3，2，1)和 B(1，2，3)且与坐标平面 xOz 垂直的平面的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：与 xOz 平面垂直的平面平行于 y 轴，方程为 Ax+Cz+D=0， 把点 A(3，2，1)和点 B(1，2，3)代入上式得 3A+C+D=0， A3C+D=0， 由得 A= )解析：解析：由于所求平面与平面 xOz 垂直，可设所求平面
15、的一般方程为 Ax+Cz+D=0，再把点 A 和点 B 代入平面的一般方程即可23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L：y=x 2 ，x0，1，ds= dx= )解析：解析：本题考查定积分的计算，关键是求出弧长的微分 ds=24.求常微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x+y=u，则 )解析：解析：本题考查一阶微分方程的通解求解先进行换元令 x+y=u，再进行求解即可25.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将组成方程组， 对它的增广矩阵 B 施行初等行变换： 由于有解，所以 r(B)=r(A)(A 是的系数矩阵)，从而(a 一 1)(a
16、 一 2)=0，即 a=1，2 当 a=1 时，与方程组 同解，它的解即的公共解为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =(C，0，一 C) T (C 是任意常数) 当 a=2 时，与方程组 )解析：解析：本题是在“有公共解”的条件下，求 a 的值及所有公共解，利用线性方程组的系数矩阵与它的增广矩阵有相同的秩求解即可四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.欲用板材作一容积为 a 3 的长方体密封箱体，试问长、宽、高各为多少时，可以使板材最省?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x，y 分别为箱体的长、宽，则高 z 应为 ，箱体的表面积为 即所求问题就是求二元函数 S=S(
17、x，y)在区域 D=(x，y)x0，y0)上的最小值点，由 )解析：解析：设箱体长、宽分别为 x，y，并与容积 a 3 表示出表面积 S，通过 27.设平面薄片的方程可以表示为 x 2 +y 2 R 2 ，x0，薄片上点(x，y)处的密度 (x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用对称性依题设 由于区域 D 关于 x 轴对称， 为 x 的偶函数，记D 在 x 轴上方的部分为 D 1 ，则 )解析：解析：由二重积分的物理意义知：该薄片的质量 M= 五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.试证：当 x0 时，有不等式 xsinxx 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
18、案：先证 xsinx(x0) 设 f(x)=xsinx，则 f(x)=1 一 cosx0(x0)， 所以f(x)为单调递增函数，于是对 x0 有 f(x)f(0)=0， 即 xsinx0，亦即 xsinx(x0) 再证sinxx (x0) 令 g(x)=sinxx+ ， 则 g(x)=cosx1+x， g(x)=sinx+10， 所以 g(x)单调递增，又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)，那么有 g(x)单调递增 又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)， 所以 sinxx+ 0， 即 sinxx (x0) 综上可得：当x0 时，xsinxx )解析：解析：可将不等式分成两部分来证，即：xsinx，sinxx 一 730，分别设 f(x)=xsinx和 g(x)=sinxx+
