1、四川省专升本（高等数学）-试卷 5 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.等于 ( ) （分数：2.00）A.1B.3C.D.03.函数 y=x 2 一 x+1 在区间一 1，3上满足拉格朗日中值定理的 等于 ( )（分数：2.00）A.B.0C.D.14.设 f(x)= （分数：2.00）A.B.C.+CD.+C5.设函数 f(x)=x(x1)(x2).(x2015)，则 f(0)等于 ( )（分数：2.00）A.一 2015B.2015C.一 2015
2、!D.2015!6.设 a=(一 1，1，2)，b=(3，0，4)，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ( )（分数：2.00）A.B.1C.D.一 17.cos(2x1)dx= ( )（分数：2.00）A.sin(2x 一 1)+CB.sin(2x1)+CC.一 sin(2x1)+CD.sin(2x1)+C8.过点 M(1，2，一 1)，且与直线： （分数：2.00）A.x3yz+4=0B.x3y+z+6=0C.x+3y+z6=0D.x+3yz8=09.设 A 为 n 阶矩阵，J 为 n 阶单位矩阵，若 A 2 =0，则(IA) 1 = ( )（分数：2.00）A.IA 1B.IAC.I+A
3、 1D.I+A10.设幂级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不能确定11.设 y 1 ，y 2 是二阶线性常系数微分方程 y+py+qy=0 的两个特解，则 C 1 y 1 +C 2 y 2 ( )（分数：2.00）A.是所给方程的解，但不是通解B.是所给方程的解，但不一定是通解C.是所给方程的通解D.不是所给方程的通解二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.直线 l： （分数：2.00）填空项 1:
4、_15.若级数 u n 收敛于 s，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.求曲线 y= （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.设 y=ln （分数：2.00）_21.设区域 D：0x1，1y2，求 （分数：2.00）_22.判定 （分数：2.00）_23.求微分方程 y+ （分数：2.00）_24.解线性方程组 （分数：2.00）_25.求函数 f(x，y)=4(xy)一 x 2 一 y 2 的极值点与极值（分数：2.
5、00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.一张 14m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛 18m，问观察者在距离多远处看图才最清楚(即视角 最大)?（分数：2.00）_27.求 y= （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=1，证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()+f()2=0 成立（分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 5 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有
6、一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.等于 ( ) （分数：2.00）A.1B.3 C.D.0解析：解析：本题考查的知识点为重要极限公式3.函数 y=x 2 一 x+1 在区间一 1，3上满足拉格朗日中值定理的 等于 ( )（分数：2.00）A.B.0C.D.1 解析：解析：本题考查的知识为拉格朗日中值定理的条件与结论由于 y=x 2 一 x+1 在一 1，3上连续，在(一 1，3)内可导，可知 y 在一 1，3上满足拉格朗日中值定理又由于 y=2x 一 1，因此必定存在(一 1，3)，使 f(3)一 f(一 1)=(2 一 1)3 一(一 1)，即 73=(2 一 1).4，解得
7、=1可知应选D4.设 f(x)= （分数：2.00）A.B.C.+C D.+C解析：解析：根据不定积分的性质得f(x)dx=f(x)+C=5.设函数 f(x)=x(x1)(x2).(x2015)，则 f(0)等于 ( )（分数：2.00）A.一 2015B.2015C.一 2015! D.2015!解析：解析：由导数的定义得 f(0)= 6.设 a=(一 1，1，2)，b=(3，0，4)，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ( )（分数：2.00）A.B.1 C.D.一 1解析：解析：本题考查平面向量的数量积与投影向量a 在向量 b 上投影为acosa，b=7.cos(2x1)dx= ( )（
8、分数：2.00）A.sin(2x 一 1)+CB.sin(2x1)+C C.一 sin(2x1)+CD.sin(2x1)+C解析：解析：本题考查的知识点为不定积分换元积分法cos(2x 一 1)dx= cos(2x 一 1)d(2x 一1)=8.过点 M(1，2，一 1)，且与直线： （分数：2.00）A.x3yz+4=0 B.x3y+z+6=0C.x+3y+z6=0D.x+3yz8=0解析：解析：已知直线的方向向量(1，3，1)就是所求平面的法向量，由点法式平面方程得所求平面方程为一(x 一 1)+3(y 一 2)+(z+1)=0，即 x 一 3yz+4=09.设 A 为 n 阶矩阵，J 为
9、 n 阶单位矩阵，若 A 2 =0，则(IA) 1 = ( )（分数：2.00）A.IA 1B.IAC.I+A 1D.I+A 解析：解析：(IA)(I+A)=I 2 一 A 2 =I，选项 D 正确10.设幂级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性不能确定解析：解析：幂级数 11.设 y 1 ，y 2 是二阶线性常系数微分方程 y+py+qy=0 的两个特解，则 C 1 y 1 +C 2 y 2 ( )（分数：2.00）A.是所给方程的解，但不是通解B.是所给方程的解，但不一定是通解 C.是所给方程的通解D.不是所给方程的通解解析：解析：当 y 1 ，y 2 线性无
10、关时，C 1 y 1 +C 2 y 2 是方程 y+py+qy=0 的通解；当 y 1 ，y 2 线性相关时，不是通解，故应选 B二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=f(1)）解析：解析：因为曲线 y=f(x)在(1，f(1)处的切线平行于 z 轴，所以 f(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 yf(1)=0(x 一 1)=0，即 y=f(1)13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 e 1 ）解析：解析
11、：利用凑微分法 14.直线 l： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 2，1，2)）解析：解析：直线 l 的方向向量为 s=(1，2，0)(0，2，一 1)=15.若级数 u n 收敛于 s，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：s 一 u 1）解析：解析：因为 16.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：由A=0 入手求 k 的值因为A= =(k+3)(k 一 1) 3 ，所以由A=0 得 k=1 和一 3当 k=1 时，A= ，它的秩为 1，不合题意；当 k=3 时，A= ，由于A有不为零的
12、三阶子式 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 y= 所以 因此曲线 y= 在点(1，1)处的切线方程为 y 一 1=)解析：解析：本题考查的知识点为曲线的切线方程19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t= ，则 x=t 2 ，dx=2tdt 当 x=1 时，t=1；当 x=4 时，t=2 于是 )解析：解析：本题考查定积分的计算可以利用换元积分法或凑微分法进行计算，注意换元时要将积分上、下限也随之变换20.设 y=ln （分数：2.00
13、）_正确答案：(正确答案：令 y=lnu，u= ，则 所以 )解析：解析：本题考查复合函数的求导可利用链式法则求解21.设区域 D：0x1，1y2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： dy=1 如果利用二重积分的几何意义，可得 dxdy 的值等于区域 D 的面积，由于 D 是边长为 1 的正方形，可知其面积为 1，因此 )解析：解析：本题考查的知识点为二重积分的计算22.判定 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u n = 为公比 r= 的几何级数，因此为收敛级数而 为公比，r= 的几何级数，因此为收敛级数，进而知 收敛，故 )解析：解析： ，因为23.求微分方程 y+
14、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=e p(x)dx (Q(x)e p(x)dx dx+C) 由 y x=1 =0 0=C， 故所求特解为 y= )解析：解析：一阶非齐次线性方程 y+p(x)y=Q(x)的通解为 y=Ce p(x)dx +e p(x)dx Q(x)e p(x)dx dx，根据通解在 y x=1 =0 的条件下求出 C 的值，即可得出所求特解24.解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：设该方程组的系数矩阵为 A，增广矩阵为 B，用初等行变换将方程组的增广矩阵化为阶梯形，判断方程组是否有解25.求函数 f(x，y)=4(xy)一 x 2
15、 一 y 2 的极值点与极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，y)=4(xy)一 x 2 一 y 2 ， =42x =42y 令 =0，得 解得唯一的驻点为(2，一 2) )解析：解析：本题考查二元函数的极值问题四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.一张 14m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛 18m，问观察者在距离多远处看图才最清楚(即视角 最大)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设观察者与墙的距离为 xm，则 )解析：解析：本题为利用导数求最值问题27.求 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= V x = (1 一 y 4 )d
16、y=. )解析：解析：就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)(假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 z 轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：V = 五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=1，证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()+f()2=0 成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=xf(x)x 2 ， 因为 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 所以 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 又 f(1)=1， F(0)=0.f(0)0 2 =0，F(1)=1.f(1)一 1 2 =0， 即F(0)=F(1)， 故在(0，1)内至少存在一点 ，使 F()=0， 即 f()+f()一 2=0 成立)解析：解析：设 F(x)=xf(x)一 x 2 ，得出 F(0)=F(1)，即可求解
