1、四川省专升本（高等数学）-试卷 7 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.函数 y= （分数：2.00）A.x2 且 x1B.x2 且 x1C.x2D.x1 且 x13.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内 ( )（分数：2.00）A.单调增加且为凹弧B.单调增加且为凸弧C.单调减少且为凹弧D.单调减少且为凸弧4.下列极限中，不正确的是 ( )（分数：2.00）A.(x+1)=4B.=1C
2、.=D.=+5.由点 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )确定向量 （分数：2.00）A.B.C.D.(x 2 一 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 26. （分数：2.00）A.2(e 2 1)B.C.2(e 2 1)D.7.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )存在一阶偏导数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设有直线 （分数：2.00）A.过原点且垂直于 x 轴B.过原点且平行于 x 轴C.不过原点，但垂直于 x 轴D.不过原点，且不平行于 x 轴9.设 z=e x cosy，则 （分数：2.00）A
3、.e x cosyB.e x cosyC.e x sinyD.e x siny10.设 f(x)= （分数：2.00）A.1B.一 2C.2D.311.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有 ( )（分数：2.00）A.当A=a(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=0二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_14.方程 x 2 +2y 2 一 z 2 =0 表示的二次曲面是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=arctan （分数
4、：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数（分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.设二元函数 z=arcsin(y （分数：2.00）_21.已知曲线方程 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.求微分方程 （分数：2.00）_24.将 f(x)= （分数：2.00）_25.设有线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.某工厂生产某
5、种产品，固定成本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 为年产量 Q 的函数，且 R=R(Q)= （分数：2.00）_27.已知平面 1 ：kx2y+3z2=0 与平面 2 ：3x 一 2yz+5=0 垂直，试求参数 k 的值（分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明：当 x1 时，lnx （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 7 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.函数 y
6、= （分数：2.00）A.x2 且 x1 B.x2 且 x1C.x2D.x1 且 x1解析：解析：由题意可得3.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内 ( )（分数：2.00）A.单调增加且为凹弧B.单调增加且为凸弧 C.单调减少且为凹弧D.单调减少且为凸弧解析：解析：本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性，由于在(a，b)内 f(x)0，可知 f(x)在(a，b)内单调增加，又由于 f(x)0，可知曲线 y=f(x)在(a，b)内为凸弧，可知应选 B4.下列极限中，不正确的是 (
7、)（分数：2.00）A.(x+1)=4B.=1C.= D.=+解析：解析：C 项中， 不存在，5.由点 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )确定向量 （分数：2.00）A.B. C.D.(x 2 一 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2解析：解析：由 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )，可知 =(x 2 一 x 1 ，y 2 一 y 1 ，z 2 一 z 1 )，则 = 6. （分数：2.00）A.2(e 2 1)B.C.2(e 2 1)D. 解析：解析：本题考查的知识点为牛顿-莱布尼茨公式
8、和定积分的换元法 e 2x d(一 2x) 7.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )存在一阶偏导数，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由偏导数的定义得8.设有直线 （分数：2.00）A.过原点且垂直于 x 轴 B.过原点且平行于 x 轴C.不过原点，但垂直于 x 轴D.不过原点，且不平行于 x 轴解析：解析：首先需要指出，若直线的标准式方程为 则约定有 xx 0 =0， ，这意味着所给直线在平面 x=x 0 上 由直线的标准式方程 9.设 z=e x cosy，则 （分数：2.00）A.e x cosyB.e x cosyC.e x sinyD.e x siny
9、 解析：解析：因为 =e x .cosy，所以 10.设 f(x)= （分数：2.00）A.1B.一 2C.2 D.3解析：解析：从 f(x)的表达式和行列式的定义可知，当且仅当 f(x)的主对角线的 4 个元素的积才能得出x 4 ，其系数显然是 211.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有 ( )（分数：2.00）A.当A=a(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=0 解析：解析：利用等价矩阵性质解本题由于 A，B 等价，所以存在 n 阶可逆矩阵 P 与 Q，使得 B=PAQ，由此得到B=PAQ，所以当A=0，有B=0二、填空题(总题数
10、：5，分数：10.00)12.函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1x2）解析：解析：本题考查对数函数的定义域和简单指数不等式的求解由 82 x+1 0，得 2.2 x 8=2 3 ，知 x2，又由 13.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x ( ）解析：解析：本题考查如何求函数的二阶导数y= e x 14.方程 x 2 +2y 2 一 z 2 =0 表示的二次曲面是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：锥面）解析：解析：对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面15.设 y=arctan （分数：2.0
11、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 y=arctan 0，所以 y 在0，2上单调递减于是 y max =y x=0 =arctan1= 16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： dx=karctanx 故 k=三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=f(lnx)(lnx)= )解析：解析：这是抽象函数的求导问题，而 f(lnx)又是复合函数，所以应
12、用复合函数的求导公式来计算19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t，则 x=ln(t 2 一 1)，dx= dt 故 )解析：解析：通过换元法去根号，使被积函数有理化注意积分后要进行反换元，即将式中的 t 用20.设二元函数 z=arcsin(y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=arcsin(y )， )解析：解析：求偏导时只需注意：对 x 求偏导时，y 看做常数；对 y 求偏导时，x 看做常数，再用一元函数的求导公式求解即可21.已知曲线方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 可得 两边关于 x 求导得 可解得 在点(1，1，1)处，=3，所以
13、切向量 s=(1，2，一 3) 所以切线方程为 )解析：解析：对于空间曲线切线方程与法平面方程的求解一般是将所给方程的两边关于 x 求导并化简得切向量，进而利用公式求解22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：先作出积分区域，如图所示，然后在极坐标系下进行计算23.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得原式的通解为 y=e 3dt (e 2t e 3dt dt+C)=e 3t (e 5t dt+C)= )解析：解析：对于一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)的通解公式的求解，可直接应用公式 y=e p(
14、x)dx (Q(x)e p(x)dx dx+C)求解24.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 所以 )解析：解析：有关幂级数的展开问题，通常是利用某些已知展开式将题给式子转化成已知展开式的形式进行求解25.设有线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= = 3 一 3+2=( 一 1) 2 (+2)， 当 1，一 2 时，方程组有唯一解； 当 =1 时，B= ，方程组有无穷多解； 当 =2 时， )解析：解析：非齐次线性方程组解情况的分析，若 r(A)=r(B)=n，有唯一解；若 r(A)=r(B)=rn，有无穷多解；若 r(A)r(B)，无解四、综
15、合题(总题数：2，分数：4.00)26.某工厂生产某种产品，固定成本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 为年产量 Q 的函数，且 R=R(Q)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知总成本函数为 c=C(Q)=20000+100Q， 从而可得利润函数为 L=L(Q)=R(Q)=c(Q)= )解析：解析：先写出利润函数 L(x)，然后用函数 y=L(x)求最值即可得解27.已知平面 1 ：kx2y+3z2=0 与平面 2 ：3x 一 2yz+5=0 垂直，试求参数 k 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：平面 1 ， 2 的法向量分别
16、为 n 1 =(k，一 2，3)，n 2 =(3，一 2，一 1)， 由题设知，n 1 与 n 2 垂直，于是有 n 1 .n 2 =0， 即 3k+(一 2).(一 2)+3.(一 1)=0， 解得 k= )解析：解析：如果给出两个一般的平面方程 1 ：A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0， 2 ：A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0，则它们的法向量分别为 n 1 =(A 1 ，B 1 ，C 1 )，n 2 =(A 2 ，B 2 ，C 2 )如果这两个平面 1 与 2 垂直，则应满足 n 1 .n 2 =0，即 A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明：当 x1 时，lnx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=lnx 一 ，满足 F(1)=0，且 当 x1 时，F(x)为单调递增函数，F(x)F(1)=0， 所以当 x1 时，lnx )解析：解析：本题通过构造函数并对其单调性进行判定，从而证明不等式的成立
