1、广东专插本（高等数学）-试卷 57 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设函数 f() （分数：2.00）A.f()在 1 处无定义B.f()不存在C.f()不存在D.f()不存在3.曲线 y 4 24 2 6 的凸区间为 ( )（分数：2.00）A.(2，2)B.(，0)C.(0，)D.(，)4.若 f()的一个原函数为 e - ，则f(2)d ( )（分数：2.00）A.e -B.e -2C.e -2D.5.下列函数中，在1，1上满足罗尔定理条件的是
2、( )（分数：2.00）A.yln(1 2 )B.yC.yD.y6.下列级数中发散的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知 f(3)2， （分数：2.00）填空项 1:_8.函数 y （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f()e 2 ，则不定积分，f( （分数：2.00）填空项 1:_10.设 ue y (y)，则 1， （分数：2.00）填空项 1:_11.yy 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f()
3、（分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.设 yf()是由方程 e y ylnsin2 确定的隐函数，求 （分数：2.00）_16.计算不定积分 I （分数：2.00）_17.平面图形由抛物线 y 2 2 与该曲线在点( （分数：2.00）_18.计算二次积分 （分数：2.00）_19.求微分方程(ysinsin1)dcosdy0 的通解（分数：2.00）_20.判定级数 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.曲线 y 2 与直线 ya(0a1)及 1 围成两个平面图形，求当 a 为何值时，两个平面图形绕 轴旋转一周所得的两个旋转体的体积之和最小（
4、分数：2.00）_22.证明方程 ln （分数：2.00）_广东专插本（高等数学）-试卷 57 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f() （分数：2.00）A.f()在 1 处无定义B.f()不存在C.f()不存在D.f()不存在 解析：解析： (1)0 (2)1，故3.曲线 y 4 24 2 6 的凸区间为 ( )（分数：2.00）A.(2，2) B.(，0)C.(0，)D.(，)解析：解析：y4 3 486，y12 2 48，令 y0，则
5、22，故应选 A4.若 f()的一个原函数为 e - ，则f(2)d ( )（分数：2.00）A.e -B.e -2C.e -2 D.解析：解析：f()de C，(2)d f(2)d(2) (e -2 C) 5.下列函数中，在1，1上满足罗尔定理条件的是 ( )（分数：2.00）A.yln(1 2 )B.yC.y D.y解析：解析：该题只需按定理的条件逐一验证 A 项，因1，1内包含 1 该点处 ln(1 2 )无定义，从而函数在闭区间1，1上不连续，不满足定理的第一个条件，不合要求； B 项，在1，1上处处连续是满足的，但是函数在 0 处不可导，从而函数在(1，1)内不是处处剪导的，不满足定
6、理的第二个条件，不合要求； C 项，f() 6.下列级数中发散的是 ( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 1，则级数二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知 f(3)2， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：8.函数 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y0）解析：解析：9.设 f()e 2 ，则不定积分，f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e C）解析：解析： e ，故f( 10.设 ue y (y)，则 1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e y (y
7、y 2 1)，e y ( 2 y1)）解析：解析：令 se y ，ty，则 t.e y .ys.1(y)y y e y e y (yy 2 1)， 11.yy 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*或 y0）解析：解析：yy -2 ，当 y0 时，分离变量有 d，两边积分得 d，即 C，故通解为 y 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()在 0 处连续，则 f(0)，即 )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正
8、确答案：(正确答案： )解析：15.设 yf()是由方程 e y ylnsin2 确定的隐函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边同时对 求导，得 e y (yy) yln2cos2， 则y )解析：16.计算不定积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.平面图形由抛物线 y 2 2 与该曲线在点( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因曲线 y2 在点( ，1)处的导数为 1，所以在点( ，1)处的曲线的法线方程为 y1( )，即 y ，于是，曲线 y 2 2 与法线 y 围成的平面图形如图所示： 求解方程组 ，得交点 故所求面积为 A
9、； (2)所求旋转体的体积为 V )解析：18.计算二次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应交换积分次序， )解析：19.求微分方程(ysinsin1)dcosdy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程可化为 ytansectan，这是一阶线性微分方程，利用通解公式可得 )解析：20.判定级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1，又 收敛，故级数 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.曲线 y 2 与直线 ya(0a1)及 1 围成两个平面图形，求当 a 为何值时，两个平面图形绕 轴旋转一周所得的两个旋转体的体积之和最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2 a 得曲线 y 2 与直线 ya 的交点横坐标 1 0， 2 a，所以 则 V(a) 0， 得 a ，且 V( )20，所以，当 a )解析：22.证明方程 ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()ln ，显然 f()在e，e 3 上连续， f(e) 0， f(e 3 )lne 3 3e 2 2 6e 2 0， 由零点定理得，在(e，e 3 )内至少存在一个根 ，使得 f()0 又 f() ，在(e，e 3 )内 f()0，所以 f()在(e,e 3 )内单调减少 综上所述，方程 ln )解析：
