1、2016年安徽省亳州市蒙城县中考一模试卷数学 一、选择题 (共 10小题，每小题 4分，满分 40 分 ) 1.数轴上表示 -5的点到原点的距离为 ( ) A.5 B.-5 C.15D.-15解析 ：在数轴上，表示数 a的点到原点的距离可表示为 |a|， 数轴上表示 -5的点到原点的距离为 |-5|=5. 答案 ： A. 2.若式子 7x 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ( ) A.x 7 B.x 7 C.x 7 D.x 7 解析 ： 由题意得， x-7 0，解得 x 7. 答案 ： D. 3.下面的计算正确的是 ( ) A.6a-5a=1 B. 36 = 6 C.(12)-1=-2
2、D.2(a+b)=2a+2b 解析： A、 6a-5a=a，故此选项错误； B、 36 =6，故此选项错误； C、 (12)-1=2，故此选项错误； D、 2(a+b)=2a+2b，正确 . 答案 ： D 4.如图所示，直线 a b， B=22， C=50，则 A的度数为 ( ) A.22 B.28 C.32 D.38 解析 ：如图， a b， 1= C=50， 又 1= A+ B， A= 1- B=50 -22 =28 . 答案 ： B. 5.若一个三角形三个内角度数的比为 1： 2： 3，那么这个三角形最小角的正切值为 ( ) A.13B.12C. 33D. 32解析：三角形三个内角度数的
3、比为 1： 2： 3，设三个内角分别为 k、 2k、 3k， k+2k+3k=180，解得 k=30，最小角的正切值 =tan30 = 33. 答案 ： C 6.在围棋盒中有 x颗白色棋子和 y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 25，如再往盒中放进 3 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为 14，则原来盒里有白色棋子 ( ) A.1颗 B.2颗 C.3颗 D.4颗 解析：由题意得25143xxyxxy ，解得 23xy，答案 ： B 7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ( ) A. B. C. D. 解析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看
4、，所得到的图形 . 图，俯视图为三角形，故可排除 A、 B.主视图以及左视图都是矩形，可排除 C. 答案 ： D 8.如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 的长分别为 6cm、 8cm， AE BC 于点 E，则 AE的长是 ( ) A.5 3 cm B.2 5 cm C.485cm D.245cm 解析：四边形 ABCD 是菱形， CO=12AC=3cm， BO=12BD=4cm， AO BO， BC= 22AO BO =5cm， S 菱形 ABCD= 2BDAC= 12 6 8=24cm2， S 菱形 ABCD=BC AE， BC AE=24， AE=245cm. 答案： D
5、9.如图，四边形 ABCD是边长为 1的正方形，四边形 EFGH是边长为 2的正方形，点 D与点 F重合，点 B， D(F)， H 在同一条直线上，将正方形 ABCD沿 F H方向平移至点 B与点 H重合时停止，设点 D、 F之间的距离为 x，正方形 ABCD 与正方形 EFGH重叠部分的面积为 y，则能大致反映 y与 x之间函数关系的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析： DF=x，正方形 ABCD与正方形 EFGH重叠部分的面积为 y. y=12DF2=12x2(0 x 2 )； y=1( 2 x 2 2 )； BH=3 2 -x y=12BH2=12x2-3 2 x+9(2 2
6、x 3 2 ). 综上可知，图象是 B. 答案： B. 10.如图 1，圆上均匀分布着 11个点 A1， A2， A3， A11.从 A1起每隔 k个点顺次连接，当再次与点 A1连接时，我们把所形成的图形称为“ k+1 阶正十一角星”，其中 1 k 8(k 为正整数 ).例如，图 2是“ 2阶正十一角星” .那么当 A1+ A2+ + A11=540时， k的值为 ( ) A.3 B.3或 6 C.2或 6 D.2 解析：如图 2，设圆心为 O，则优角 A10OA3的度数为角 A1的 2倍 . 而优角 A10OA3= A10OA9+ A9OA8+ A8OA7+ + A4OA3， 而每个 AkO
7、Ak-1=36011，所以，优角 A10OA3=7 36011， 由题意， A1即为 2 Ak+1A1A12-k，当 k 6时，可计算得那个优角的度数为 (9-2k) 36011， 因此， (9-2k) 36011=2 54011，解得 k=3， 当 k 6时，优角的度数为 (2k-9) 36011， 因此 (2k-9) 36011=2 54011，解得 k=6. 综上所述， k=3或 6. 答案： B 二、填空题 (共 4小题，每小题 5分，满分 20分 ) 11.已知空气的单位体积质量为 1.24 10-3g/cm3，将 1.24 10-3g/cm3用小数表示为 . 解析： 1.24 10
8、-3g/cm3用小数表示为： 0.00124. 答案 ： 0.00124 12.分解因式： m3-4m2+4m= . 解析： m3-4m2+4m=m(m2-4m+4)=m(m-2)2. 答案： m(m-2)2. 13.若 a+b=5， ab=6，则 a-b= . 解析： (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4 6=1，则 a-b= 1. 答案： 1. 14.如图， O 的半径为 2，弦 BC=2 3 ，点 A 是优弧 BC 上一动点 (不包括端点 )， ABC 的高 BD、 CE相交于点 F，连结 ED.下列四个结论： A始终为 60； 当 ABC=45时， AE=EF； 当 ABC为锐
9、角三角形时， ED= 3 ； 线段 ED的垂直平分线必平分弦 BC. 其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上 ) 解析：延长 CO 交 O于点 G，如图 1. 则有 BGC= BAC. CG 为 O 的直径， CBG=90 . sin BGC= 2 3423BCCG . BGC=60 .BAC=60 .故正确 . 如图 2， ABC=45， CE AB，即 BEC=90， ECB=45 = EBC. EB=EC. CE AB， BD AC， BEC= BDC=90 . EBF+ EFB=90， DFC+ DCF=90 . EFB= DFC， EBF= DCF. 在 BEF和 CEA
10、中，90F B E A C EB E C EB E F C E A ， BEF CEA. AE=EF.故正确 . 如图 2， AEC= ADB=90， A= A， AEC ADB. AE ACAD AB. A= A， AED ACB. ED AEBC AC. cosA=AEAC=cos60 =12， EDBC=12. ED=12BC= 3 . 故正确 . 取 BC 中点 H，连接 EH、 DH，如图 3、图 4. BEC= CDB=90，点 H为 BC 的中点， EH=DH=12BC.点 H在线段 DE的垂直平分线上， 即线段 ED的垂直平分线平分弦 BC.故正确 . 答案： . 三、解答题
11、(共 2小题，满分 16分 ) 15.计算： 10 3 2 2 6 3 23 2 7 1 . 解析： 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简求出答案 . 答案 ： 10 3 2 2 6 3 23 2 7 1 =1-3+ 2 -1+2 3 + 3 - 2 =3 3 -3. 16.解不等式组112 13xx ，请结合题意，完成本题解答 . (1)解不等式，得 ； (2)解不等式，得 ； (3)把不等式组的解集在数轴上表示出来 . 解析： (1)一次项系数化成 1即可求得； (2)移项、合并同类项、系数化成 1即可求解； (3)把 (1)和 (2)中求得的不等式的解集在数
12、轴上表示出来即可 . 答案： (1)系数化成 1 得 x 2，故答案是： x 2； (2)移项，得 -x -3-1， 合并同类项，得 -x -4， 系数化成 1得 x 4. 故答案是： x 4. (3)在数轴上表示出来为： 四、解答题 (共 2小题，满分 16分 ) 17.在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区 900米长的污水管道改造任务 .工程队在改造完 360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了 20%，结果共用 27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 解析：首先设原来每天改造管道 x 米，则引进新设备前工程队每天改造管道 (1+20%)x
13、米，由题意得等量关系：原来改造 360 米管道所用时间 +引进了新设备改造 540 米所用时间 =27天，根据等量关系列出方程，再解即可 . 答案：设原来每天改造管道 x米，由题意得： 3 6 0 9 0 0 3 6 0 271 2 0 %xx，解得： x=30， 经检验： x=30是原分式方程的解， 答：引进新设备前工程队每天改造管道 30 米 . 18.如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标为 A(1， -4)， B(3， -3)， C(1， -1).(每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形 ) (1)将 ABC沿 y轴方向向上平移 5个单位，画出平移后得到的 A1B1C1；
14、(2)将 ABC绕点 O顺时针旋转 90，画出旋转后得到的 A2B2C2，并直接写出点 A旋转到点A2所经过的路径长 . 解析： (1)根据网格结构找出点 A、 B、 C 平移后的对应点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可； (2)根据网格结构找出点 A、 B、 CABC 绕点 O 顺时针旋转 90后的对应点 A2、 B2、 C2的位置，然后顺次连接即可，再利用勾股定理列式求出 OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解 . 答案： (1)如图， A1B1C1即为所求； (2)如图， A2B2C2即为所求； 由勾股定理得， OA= 221 4 17 ， 点 A旋转到点 A2所经过的路径长
15、为： 9 0 1 7 1 71 8 0 2 . 五、解答题 (共 2小题，满分 20分 ) 19.如图，轮船从 B 处以每小时 60 海里的速度沿南偏东 20方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A位于南偏东 50方向上，轮船航行 40分钟到达 C处，在 C处观测灯塔 A位于北偏东 10方向上，求 C处与灯塔 A的距离 . 解析：作 AM BC于 M.由题意得， DBC=20， DBA=50， BC=60 4060=40海里， NCA=10，则 ABC= ABD- CBD=30 .由 BD CN，得出 BCN= DBC=20，那么 ACB= ACN+BCN=30 = ABC，根据等角对等边得出 A
16、B=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到 CM=12BC=20海里 .然后在直角 ACM中，利用余弦函数的定义得出 AC=cosCMACM，代入数据计算即可 . 答案：如图，作 AM BC于 M. 由题意得， DBC=20， DBA=50， BC=60 1060=40(海里 )， NCA=10， 则 ABC= ABD- CBD=50 -20 =30 . BD CN， BCN= DBC=20， ACB= ACN+ BCN=10 +20 =30， ACB= ABC=30， AB=AC， AM BC于 M， CM=12BC=20(海里 ). 在直角 ACM中， AMC=90， ACM=30， AC=
17、 2 0 4 0 3c o s 332CMA C M (海里 ). 答： C处与灯塔 A的距离是 40 33海里 . 20.如图，已知点 A(1， 2)是正比例函数 y1=kx(k 0)与反比例函数 y2=mx(m 0)的一个交点 . (1)求正比例函数及反比例函数的表达式； (2)根据图象直接回答：在第一象限内，当 x取何值时， y1 y2？ 解析： (1)利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可； (2)利用函数图象，结合交点左侧时 y1 y2. 答案： (1)将点 A(1， 2)代入正比例函数 y1=kx(k 0)与反比例函数 y2=mx(m 0)得， 2=k， m=1 2=2，
18、 故 y1=2x(k 0)，反比例函数 y2=2x； (2)如图所示：当 0 x 1时， y1 y2. 六、解答题 (共 1小题，满分 12分 ) 21.中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50分 .为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的成绩 (成绩 x取整数，总分 100分 )作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 请根据所给信息，解答下列问题： (1)a= ， b= ； (2)请补全频数分布直方图； (3)这次比赛成绩的中位数会落
19、在 分数段； (4)若成绩在 90分以上 (包括 90分 )的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000名学生中成绩“优”等约有多少人？ 解析： (1)根据第一组的频数是 10，频率是 0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得 a的值，用第三组频数除以数据总数可得 b的值； (2)根据 (1)的计算结果即可补全频数分布直方图； (3)根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据 (或中间两数据的平均数 )即为中位数； (4)利用总数 3000乘以“优”等学生的所占的频率即可 . 答案： (1)样本容量是： 10 0.05=200， a=200 0.30
20、=60， b=30 200=0.15. (2)补全频数分布直方图，如下： (3)一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100个与第 101个数据都落在第四个分数段， 所以这次比赛成绩的中位数会落在 80 x 90分数段； (4)3000 0.40=1200(人 ). 即该校参加这次比赛的 3000名学生中成绩“优”等的大约有 1200人 . 故答案为 60， 0.15； 80 x 90； 1200. 七、解答题 (共 1小题，满分 12分 ) 22.如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=4cm， BC=3cm.动点 M， N从点 C同时出发，均以每秒 1cm的速度分别
21、沿 CA、 CB 向终点 A， B移动，同时动点 P从点 B出发，以每秒 2cm的速度沿 BA向终点 A移动，连接 PM， PN，设移动时间为 t(单位：秒， 0 t 2.5). (1)当 t为何值时，以 A， P， M为顶点的三角形与 ABC相似？ (2)是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最小值？若存在，求 S的最小值；若不存在，请说明理由 . 解析：根据勾股定理求得 AB=5cm. (1)分类讨论： AMP ABC 和 APM ABC 两种情况 .利用相似三角形的对应边成比例来求 t的值； (2)如图，过点 P 作 PH BC 于点 H，构造平行线 PH AC，由平行线分
22、线段成比例求得以 t表示的 PH的值；然后根据“ S=S ABC-S BPH”列出 S与 t的关系式 S=54(t-32)2+215(0 t 2.5)，则由二次函数最值的求法即可得到 S的最小值 . 答案：如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=4cm， BC=3cm. 根据勾股定理，得 22AC BC =5cm. (1)以 A， P， M为顶点的三角形与 ABC相似，分两种情况： 当 AMP ABC时， AP AMAC AB，即 5 2 445tt，解得 t=32； 当 APM ABC时， AMAC=APAB，即 4 5 245tt， 解得 t=0(不合题意，舍去 )； 综上所述，当
23、 t=32时，以 A、 P、 M为顶点的三角形与 ABC相似； (2)存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最小值 .理由如下： 假设存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最小值 . 如图，过点 P作 PH BC于点 H.则 PH AC， PH BPAC BA，即 245PH t， PH=85t， S=S ABC-S BPN， =12 3 4-12 (3-t) 85t， =45(t-32)2+215(0 t 2.5). 45 0， S有最小值 . 当 t=32时， S 最小值 =215. 答：当 t=32时，四边形 APNC的面积 S有最小值，其最小值是 215. 八、解答
24、题 (共 1小题，满分 14分 ) 23.已知，点 P是 Rt ABC斜边 AB上一动点 (不与 A、 B重合 )，分别过 A、 B向直线 CP作垂线，垂足分别为 E、 F、 Q为斜边 AB的中点 . (1)如图 1，当点 P 与点 Q 重合时， AE 与 BF 的位置关系是 ， QE 与 QF 的数量关系是 ； (2)如图 2，当点 P在线段 AB 上不与点 Q重合时，试判断 QE与 QF的数量关系，并给予证明； (3)如图 3，当点 P 在线段 BA(或 AB)的延长线上时，此时 (2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 . 解析： (1)根据 AAS推出 AEQ BFQ，推出 AE=
25、BF即可； (2)延长 EQ交 BF 于 D，求出 AEQ BDQ，根据全等三角形的性质得出 EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可； (3)延 长 EQ交 FB 于 D，求出 AEQ BDQ，根据全等三角形的性质得出 EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可 . 答案： (1)如图 1， 当点 P与点 Q重合时， AE与 BF的位置关系是 AE BF， QE与 QF 的数量关系是 AE=BF， 理由是： Q为 AB的中点， AQ=BQ， AE CQ， BF CQ， AE BF， AEQ= BFQ=90， 在 AEQ和 BFQ中 ， A Q E B Q FA E Q B F
26、QA Q B Q ， AEQ BFQ， QE=QF， (2)QE=QF，证明：延长 EQ交 BF于 D， 由 (1)知： AE BF， AEQ= BDQ， 在 AEQ和 BDQ中 ， A Q E B Q DA E Q B D QA Q B Q ， AEQ BDQ， EQ=DQ， BFE=90， QE=QF. (3)当点 P在线段 BA(或 AB)的延长线上时，此时 (2)中的结论成立， 证明：延长 EQ交 FB于 D，如图 3， 由 (1)知： AE BF， AEQ= BDQ， 在 AEQ和 BDQ中 ， A Q E B Q DA E Q B D QA Q B Q ， AEQ BDQ， EQ=DQ， BFE=90， QE=QF.
