1、河南省专升本考试高等数学模拟 12 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.下列各对函数互为反函数的是_ Ay=sinx，y=tanx By=ex，y=lnx Cy=arctanx，y=arccotx D （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 f(x)=10 -x cosx 在区间0，+)是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.单调函数D.有界函数3.设函数 y=f(e x )的定义域为0，1，则函数 y=f(x)的定义域为_（分数：2.00）A.(0.1B.1，eC.(1，e)D.(0，e)4.当 x0 时与 e
2、-tanx -1 比较是同阶而非等价无穷小的为_ A-sinx Bx 2 C （分数：2.00）A.B.C.D.5. （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列极限存在的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点8.方程 x4-x-1=0 在下列区间中至少一实根的是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.9.函数 f(x)具有 2016 阶导数，且 则 f (2016) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.10.函数 y=f(x)由方程 xy+lnx=1 确
3、定，则该曲线在点(1，1)处的切线方程为_（分数：2.00）A.y+2x-3=0B.y+2x+3=0C.2y+x-3=0D.2y+z+3=011.若 f(x)是可导的偶函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定12.y=x 4 +4x 取得极值时的点的坐标是_（分数：2.00）A.(0，0)B.(0，2)C.(-1，-3)D.(1，5)13.若 f(x)在点 x=a 的邻域内有定义，且 （分数：2.00）A.f(x)在点 a 的邻域内单调增加B.f(x)在点 a 的邻域内单调减少C.f(a)为函数 f(x)的极大值D.f(a)为函数 f(x)
4、极小值14.设函数 f(x)在开区间(a，b)内有 f“(x)0 且 f“(x)0，则函数 y=f(x)在区间(a，b)内_（分数：2.00）A.单调增加，图形是凹的B.单调增加，图形是凸的C.单调减少，图形是凹的D.单调减少，图形是凸的15.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条16.若 f(x)有原函数 e x ，则xf(x)dx=_ A.ex(1-x)+C B.-ex(1-x)+C C.ex(1+x)+C D.-ex(1+x)+C（分数：2.00）A.B.C.D.17.设 （分数：2.00）A.B.C.D.18.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2
5、.00）A.B.C.D.19.设 f(x)在0，2上连续，令 t=2x，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形的面积可表示为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.下列微分方程中是一阶线性方程的是_ A.y“=ex B.y“+x2y=cosx C.y“=xey D.y2y“=x（分数：2.00）A.B.C.D.22.微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.23.已知|a|=1，|b|=5，ab=5，则|a+b|=_（分数：2.00）A.36B.25C.6D.2624.设函数 且函数 可导则 _
6、A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 z=x 3 -3x+y 2 ，则它在点(1，0)处_（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.不取得极值D.不能确定是否取极值26.设区域 D：x 2 +y 2 4a 2 ，若 则 a=_ A B3 C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.设 更换积分次序后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0，则 等于_ A0 B1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：
7、2.00）A.B.C.D.30.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 则 （分数：2.00）32.极限 （分数：2.00）33.已知极限 （分数：2.00）34.已知 x-e x cosy=0，则 dy= 1 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.若 （分数：2.00）37.设 f(x，y)=x 2 y+xy 2 ，则在点(1，-1)处的梯度为 1 （分数：2.00）38.坐标平面 yOz 上的曲线 z=2y 2 绕 z 轴旋转一周所成的曲面在空间直角坐标系内的方程为 1 （分数：2.00）3
8、9.微分方程 （分数：2.00）40.若数项级数 收敛，则 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.已知 确定 y 是 x 的函数，求 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.设 求 （分数：5.00）_45.化一般平面方程 3x-4y+z-5=0 为点法式和截距式 （分数：5.00）_46.设 z=f(x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：5.00）_47.计算 其中 D 是由 （分数：5.00）_48.求微分方程 y“-4y“+13y=0 满足初始条件 y| x=0 =0，y“| x=
9、0 =3 的特解 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.把函数 f(x)=ln(2-x)展开成 x 的幂级数，并写出收敛域 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求几何体 x 2 +y 2 +4z 2 4 的体积 （分数：7.00）_52.将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大? （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.若 f(x)在0，1上连续，证明 并求 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 12 答案解析(总分：150.00，做题时间：9
10、0 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.下列各对函数互为反函数的是_ Ay=sinx，y=tanx By=ex，y=lnx Cy=arctanx，y=arccotx D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 y=e x 的反函数为 y=lnx，故应选 B2.函数 f(x)=10 -x cosx 在区间0，+)是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.单调函数D.有界函数 解析：解析 因为|f(x)|=10 -x |cosx|10 -x ，当 0x+时，10 -x 1，所以|f(x)|1，即f(x)为有界函数，故应选 D3.设函数 y=f(e x )的定义域为
11、0，1，则函数 y=f(x)的定义域为_（分数：2.00）A.(0.1B.1，e C.(1，e)D.(0，e)解析：解析 因为 y=f(e x )的定义域为0，1，所以 1e x e，即 f(x)的定义域为1，e，故选B4.当 x0 时与 e -tanx -1 比较是同阶而非等价无穷小的为_ A-sinx Bx 2 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 x0 时，e -tanx -1tanx-x，故应选 C5. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 6.下列极限存在的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 A 正确； 故 B 选项极限不存在
12、； 故 C 选项极限不存在； 7.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析 因为 所以 x=0 为函数8.方程 x4-x-1=0 在下列区间中至少一实根的是_ A B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 利用零点定理去验证，只有选项 C 中区间两端点函数值异号，故应选 C9.函数 f(x)具有 2016 阶导数，且 则 f (2016) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 所以 10.函数 y=f(x)由方程 xy+lnx=1 确定，则该曲线在点(1，1)处的切线方程为_（分数
13、：2.00）A.y+2x-3=0 B.y+2x+3=0C.2y+x-3=0D.2y+z+3=0解析：解析 由 xy+lnx=1 得 11.若 f(x)是可导的偶函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.00）A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定解析：解析 因为 f(-x)=f(x)，两边对 x 求导得-f“(-x)=f“(x)即 f“(-x)=-f“(x)，所以 f“(x)为奇函数，故应选 A12.y=x 4 +4x 取得极值时的点的坐标是_（分数：2.00）A.(0，0)B.(0，2)C.(-1，-3) D.(1，5)解析：解析 令 y“=4x 3 +4=0，得 x=-1，y=-
14、3，y“=12x 2 ，y“| x=-1 =120，y 在点(-1，-3)取得极值，故应选 C13.若 f(x)在点 x=a 的邻域内有定义，且 （分数：2.00）A.f(x)在点 a 的邻域内单调增加B.f(x)在点 a 的邻域内单调减少C.f(a)为函数 f(x)的极大值D.f(a)为函数 f(x)极小值 解析：解析 因为14.设函数 f(x)在开区间(a，b)内有 f“(x)0 且 f“(x)0，则函数 y=f(x)在区间(a，b)内_（分数：2.00）A.单调增加，图形是凹的B.单调增加，图形是凸的C.单调减少，图形是凹的D.单调减少，图形是凸的 解析：解析 因为在(a，b)内，f“(
15、x)0，所以 y=f(x)在区间(a，b)上单调减少，f“(x)0，由二阶导数的几何意义知，y=f(x)图形是凸的，故应选 D15.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条 C.2 条D.3 条解析：解析 因为 16.若 f(x)有原函数 e x ，则xf(x)dx=_ A.ex(1-x)+C B.-ex(1-x)+C C.ex(1+x)+C D.-ex(1+x)+C（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)=(e x )“=e x 所以xf(x)dx=xe x dx=xe x -e x dx=xe x -e x +C，故应选 B17.设 （分数：2.00）A.B.C.
16、 D.解析：解析 18.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 19.设 f(x)在0，2上连续，令 t=2x，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 20.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形的面积可表示为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴有且仅有三个交点 x=0，1，2， 且当 0x1 时 y0；当 1x2 时 y0； 即可知曲线与 32 轴所围图形的面积为 21.下列微分方程中是一阶线性方程的是_ A.y“=ex B.y
17、“+x2y=cosx C.y“=xey D.y2y“=x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 选项 A 是二阶，选项 C 含 e y ，选项 D 含 y 2 y“均不符合定义，只有选项 B 是一阶线性方程故应选 B22.微分方程 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 对本题可采用验证排除法，首先 B 与 C 选项中含任意常数 C，不正确，其次对 D 项两边求微分与方程不符合，也错误，故应选 A23.已知|a|=1，|b|=5，ab=5，则|a+b|=_（分数：2.00）A.36B.25C.6 D.26解析：解析 |a+b| 2 =(a+b)(a+b)=|a| 2 +2ab+
18、|b| 2 =1 2 +25+5 2 =36，所以|a+b|=6，故应选C24.设函数 且函数 可导则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 25.设 z=x 3 -3x+y 2 ，则它在点(1，0)处_（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值 C.不取得极值D.不能确定是否取极值解析：解析 点(1，0)是函数的驻点，而有 26.设区域 D：x 2 +y 2 4a 2 ，若 则 a=_ A B3 C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 根据二重积分的几何意义可知 表示以 2a 为半径的球体的体积的一半，即27.设 更换积分次序后，I=_ A
19、B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 积分区域 所以交换积分次序 28.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0，则 等于_ A0 B1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为与积分路径无关，所以可取积分路径为折线(0，0)(0，1)(1，1)， 29.若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 根据无穷级数的运算性质可以断定30.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 是 p=2 的 p-级数，所以级数二、填空题(
20、总题数：10，分数：20.00)31.设 则 （分数：2.00）解析：3 解析 设 1-2x=t 则 32.极限 （分数：2.00）解析：0解析 33.已知极限 （分数：2.00）解析：4解析 由题可知当 x1 时分子的极限为 0，故34.已知 x-e x cosy=0，则 dy= 1 （分数：2.00）解析： 解析 对方程 x-e x cosy=0 两边同求微分得 dx-e x cosydx+e x (-siny)dy=0， dx-(e x cosydx-e x sinydy)=0. 整理得 35. （分数：2.00）解析：-arctan(cosx)+C解析 36.若 （分数：2.00）解析
21、： 解析 由 得 所以 37.设 f(x，y)=x 2 y+xy 2 ，则在点(1，-1)处的梯度为 1 （分数：2.00）解析：-1，-1 解析 因为 f x (x，y)=2xy+y 2 ，f y (x，y)=x 2 +2xy， f x (1，-1)=-1，f y (1，-1)=-1. 所以所求梯度为 gradf(1，-1)=-1，-138.坐标平面 yOz 上的曲线 z=2y 2 绕 z 轴旋转一周所成的曲面在空间直角坐标系内的方程为 1 （分数：2.00）解析：z=2x 2 +2y 2 解析 绕 z 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为 39.微分方程 （分数：2.00）解析： 解析 由 得
22、两边积分，得 即 40.若数项级数 收敛，则 （分数：2.00）解析：0解析 因为收敛 ，所以三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.已知 确定 y 是 x 的函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程两边对 x 求导，得 整理，得 x+yy“=xy“-y， 从而 所以 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.设 求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：被积函数为分段函数，运用分段积分法 45.化一般平面方程 3x-4y+z-5=0 为点法式和截距式 （分数：5.00）_正确答案：()解析：
23、因为平面方程为 3x-4y+z-5=0，所以，平面的法向量为 n=3，-4，1 显然，平面过点 P 0 (0，0，5)， 所以平面的点法式方程为 3(x-0)-4(y-0)+1(z-5)=0， 平面的截距式方程为 46.设 z=f(x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 u=x 2 +y 2 ，则 z=f(u)， 47.计算 其中 D 是由 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示， 由 解得交点为 A(1，1) 则区域 D 表示为 48.求微分方程 y“-4y“+13y=0 满足初始条件 y| x=0 =0，y“| x=0
24、 =3 的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：特征方程为 r 2 -4r+13=0， 解得特征根为 r 1，2 =23i， 故方程的通解为 y=e 2x (C 1 cos3x+C 2 sin3x)， 且有 y“=e 2x (2C 1 +3C 2 )cos3x+(2C 2 -3C 1 )sin3x， 代入初始条件得 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 2x-1=t，级数化为 这是不缺项的标准幂级数 收敛半径 当 时，级数化为 都是收敛的 故幂级数 的收敛域为 令 可得 所以原级数 的收敛域为 50.把函数 f(x)=ln(2-x)展开成 x 的幂级数，并写出收敛
25、域 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 又 所以 f(x)展开成 x 的幂级数为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求几何体 x 2 +y 2 +4z 2 4 的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：设 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，则几何体可看作以 D 为底， 以 为曲顶的曲顶柱体积的两倍 所以所求几何体的体积为 52.将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设矩形的一边长为 x，则另一边长为 p-x， 设矩形绕长为 p-x 的一边旋转，则圆柱体的体积为 V=x 2 (p-x)，(0xp) V“=2x(p-x)-x 2 =x(2p-3x)， 令 V“=0，解得驻点为 由于驻点唯一，且圆柱体一定存在最大体积，所以当矩形的边长为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.若 f(x)在0，1上连续，证明 并求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 因 f(x)在0，1上连续，从而定积分存在，
