1、河南省专升本考试高等数学模拟 4 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设 f(x)的定义域为-2，2)，则 f(3x+1)的定义域为_ A-5，7) B C （分数：2.00）A.B.C.D.2.下列函数与函数 y=x+1 相同的是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则复合函数 fg(x)为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数4.极限 则 a 的值是_ A1 B C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.5.设当 x0 时，f(x
2、)与 g(x)均为 x 的同阶无穷小量，则下列命题正确的是_ Af(x)+g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Bf(x)-g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Cf(x)g(x)一定是 x 的高阶无穷小 D （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列极限存在的为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.点 x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点8.极限 的值是_ A1 B2 C-2 D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=1，则 _ A （分数：2.00）A.B.C.D.10.设函数
3、y=y(x)由参数方程 确定，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=-1，b=2D.a=2，b=-112.下列函数中，在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的是_ Alnlnx Blnx C （分数：2.00）A.B.C.D.13.设函数 f(x)有连续的二阶导数，且 （分数：2.00）A.f(0)是函数的极小值B.f(0)是函数的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线的拐点14.曲线 y=x 4 -24x 2 +6x 的凸区间为_（分数
4、：2.00）A.(-2，2)B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)15.曲线 （分数：2.00）A.x=0B.x=1C.x=2，x=0D.x=216.设 f(x)是可导函数，则(f(x)dx)“=_（分数：2.00）Af(x)B.f(x)+CC.f“(x)D.f“(x)+C17.若 f(x)为奇函数，则它的一个原函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.不确定18.设 则 I 的取值范围为_ A0I1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.若函数 f(x)满足 则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.设曲线 y=f(x)
5、在a，b上连续，则由曲线 y=-f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴围成的图形的面积A=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.微分方程(e x+y -e x )dx-(e y -e x+y )dy=0 是_（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性非齐次微分方程D.一阶线性齐次微分方程22.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2=C B.y+x=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分数：2.00）A.B.C.D.23.已知|a|=1，|b|=5，且 ab=3，则|ab|=_ A4 B （分数：2.00）A
6、.B.C.D.24.函数 的全微分 dz=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.若 f x (x 0 ，y 0 )=0，f y (x 0 ，y 0 )=0，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处_（分数：2.00）A.有极值B.无极值C.不一定有极值D.有极大值26.如果区域 D 被分成两个子区域 D 1 和 D 2 ，且 则 （分数：2.00）A.6B.5C.4D.127. 变换积分次序为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.若 L 是 x 2 +y 2 =2 上从点(1，-1)到点(1，1)的一段弧，则 _ A B C （分数：2.00）A
7、.B.C.D.29.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.若级数 都发散，则下列表述正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x)=4x+1，则 ff(x)-1= 1 （分数：2.00）32.若函数 （分数：2.00）33.已知 （分数：2.00）34.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+2016)，则 f“(0)= 1 （分数：2.00）35.设 f(lnx)=xln(1+x)，则f(x)dx= 1 （分数：2.00）36. （分数：2.00）37.设 （分数：2
8、.00）38.已知 a=-1，1，2，b=3，0，4，则 a 在 b 上的投影为 1 （分数：2.00）39.微分方程 y“-2y“+y=0 的通解为 1 （分数：2.00）40.函数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41. （分数：5.00）_42.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，求 （分数：5.00）_43. （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.求过点(1，2，-5)且与直线 （分数：5.00）_46.设 其中 f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_47.求 （分数：5.00）_48.求微分方程(x 2 +1)
9、y“+2xy-cosx=0 的通解 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.将函数 f(x)=lgx 展开成(x-1)的幂级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.平面图形由抛物线 y 2 =2x 与经过点 （分数：7.00）_52.某公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 100 元时，就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费 200 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明： 并计
10、算 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 4 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设 f(x)的定义域为-2，2)，则 f(3x+1)的定义域为_ A-5，7) B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(x)的定义域为-2，2)得-23x+12，从而 所以 f(3x+1)的定义域为2.下列函数与函数 y=x+1 相同的是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 从定义域与对应法则考虑，两者都一致是同一函数，只有选项 D 符合，故应选 D3.设函数 f(x)为奇函数，g(x)为
11、偶函数，则复合函数 fg(x)为_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 4.极限 则 a 的值是_ A1 B C2 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 5.设当 x0 时，f(x)与 g(x)均为 x 的同阶无穷小量，则下列命题正确的是_ Af(x)+g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Bf(x)-g(x)一定是 x 的高阶无穷小 Cf(x)g(x)一定是 x 的高阶无穷小 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 6.下列极限存在的为_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为7.点 x=0 是
12、函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点 解析：解析 x=0 是间断点且8.极限 的值是_ A1 B2 C-2 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.设 f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=1，则 _ A （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 10.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 11.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1 B.a=1，b=2C.a=-1，b=2D.a=2，b=-1解析：解析 因为 所以 b=1. 又因为 12.下列函数中，
13、在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的是_ Alnlnx Blnx C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 四个选项中只有 B 项满足拉格朗日值定理的两个条件，故应选 B。13.设函数 f(x)有连续的二阶导数，且 （分数：2.00）A.f(0)是函数的极小值 B.f(0)是函数的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线的拐点解析：解析 因为 f(x)具有连续的二阶导数，14.曲线 y=x 4 -24x 2 +6x 的凸区间为_（分数：2.00）A.(-2，2) B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)解析：解析
14、y“=4x 3 -48x+6，y“=12x 2 -48. 令 y“=12x 2 -480，得-2x2，故应选 A15.曲线 （分数：2.00）A.x=0B.x=1C.x=2，x=0 D.x=2解析：解析 因为 16.设 f(x)是可导函数，则(f(x)dx)“=_（分数：2.00）Af(x) B.f(x)+CC.f“(x)D.f“(x)+C解析：解析 因为(f(x)dx)“=f(x)故应选 A17.若 f(x)为奇函数，则它的一个原函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.既奇又偶函数D.不确定解析：解析 18.设 则 I 的取值范围为_ A0I1 B C D （分数：2.00）A.B
15、. C.D.解析：解析 因为 所以19.若函数 f(x)满足 则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令 则 所以 解 则 20.设曲线 y=f(x)在a，b上连续，则由曲线 y=-f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴围成的图形的面积A=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由定积分的几何意义知 C 正确21.微分方程(e x+y -e x )dx-(e y -e x+y )dy=0 是_（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程C.一阶线性非齐次微分方程D.一阶线性齐次微分方程解析：解析 e x
16、(e y -1)dx-e y (1-e x )dy=0，从而 22.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2=C B.y+x=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 可以通过排除验证法确定 A、B、C 均为错误，而将选项 D 的两边对 x 求导后符合方程故应选 D23.已知|a|=1，|b|=5，且 ab=3，则|ab|=_ A4 B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 所以 从而 24.函数 的全微分 dz=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以25.若 f x
17、 (x 0 ，y 0 )=0，f y (x 0 ，y 0 )=0，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处_（分数：2.00）A.有极值B.无极值C.不一定有极值 D.有极大值解析：解析 已知条件仅说明点(x 0 ，y 0 )是驻点，而驻点不一定是极值点，故应选 C26.如果区域 D 被分成两个子区域 D 1 和 D 2 ，且 则 （分数：2.00）A.6 B.5C.4D.1解析：解析 27. 变换积分次序为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域(x，y)|1xe，0ylnx可化为(x，y)|0y1，e y xe， 因此 28.若 L 是 x 2 +y
18、 2 =2 上从点(1，-1)到点(1，1)的一段弧，则 _ A B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 令 则 L 为 t 从 的一段弧 29.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 选项 A 是条件收敛，选项 B 是绝对收敛，而选项 C 与 D 均为发散，故应选 B30.若级数 都发散，则下列表述正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题可通过举反例排除的方法说明 例如 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x)=4x+1，则 ff(x)-1= 1 （分数：2.00
19、）解析：16x+1解析 ff(x)-1=f(4x+1-1)=f(4x)=44x+1=16x+1.32.若函数 （分数：2.00）解析：6 解析 因为 由连续的定义知 33.已知 （分数：2.00）解析：解析 34.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+2016)，则 f“(0)= 1 （分数：2.00）解析：2016!解析 35.设 f(lnx)=xln(1+x)，则f(x)dx= 1 （分数：2.00）解析：(1+e x )ln(1+e x )-e x +C 解析 设 lnx=t，则 x=e t ，f(t)=e t ln(1+e t )， 36. （分数：2.00）解析： 解析 设 x=
20、asint，则 dx=acostdt， 或根据定积分的几何意义可知 37.设 （分数：2.00）解析：解析 38.已知 a=-1，1，2，b=3，0，4，则 a 在 b 上的投影为 1 （分数：2.00）解析：1 解析 a 在 b 上投影为 而 39.微分方程 y“-2y“+y=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=(C 1 +C 2 x)e x (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 特征方程为 r 2 -2r+1=0，解得特征根为 r 1 =r 2 =1， 所以所求通解为 y=(C 1 +C2 x )e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数40.函数 （分数：2.00）解析：解
21、析 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41. （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：43. （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求过点(1，2，-5)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：直线 的方向向量 由题设所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量 s 2 =s 1 =3，1，-5， 那么所求直线方程为 46.设 其中 f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：47.求 （
22、分数：5.00）_正确答案：()解析：在极坐标系下 48.求微分方程(x 2 +1)y“+2xy-cosx=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程可化为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 2x+1=t，级数化为 若级数收敛，则 1，即 t 2 1， 从而-1t1. 所以级数 的收敛区间为(-1，1)，当 t=1 时，级数化为 50.将函数 f(x)=lgx 展开成(x-1)的幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 因为 将上式中 x 换成 x-1，代入 得 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.平面图形由抛物线 y 2 =2x 与
23、经过点 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示， 设切点为(x 0 ，y 0 )，而 2yy“=2，所以切线斜率为 由 解得 从而切线方程为 (1)该平面图形的面积为 (2)所求旋转体的体积为 52.某公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 100 元时，就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费 200 元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设每套公寓租金为 x，所得收入为 y， 又因为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明： 并计算 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 令 x=-t，dx=-dt，当 x=0 时 t=，当 x= 时 t=0， 又定积分与积分变量无关，即 整理得
