1、河南省专升本考试高等数学真题 2009年(1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.下列函数相等的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.下列函数中为奇函数的是_ A Bf(x)=xtanx C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.极限 （分数：2.00）A.1B.-1C.0D.不存在4.当 x0 时，下列无穷小量中与 x等价的是_ A2x 2 -x B （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点6.设函数 f(x)可导，且 （分数
2、：2.00）A.2B.-1C.1D.-27.设函数 f(x)具有四阶导数，且 ，则 f (4) (x)=_ A B C1 D （分数：2.00）A.B.C.D.8.曲线 在对应点 处的法线方程为_ A （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知 de -x f(x)=e x dx，且 f(0)=0，则 f(x)=_ A.e2x+ex B.e2x-ex C.e2x+e-x D.e2x-e-x（分数：2.00）A.B.C.D.10.函数在某点处连续是其在该点处可导的_（分数：2.00）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件11.曲线 y=x 4 -24x 2 +6x的凸区间为_（分数
3、：2.00）A.(-2，2)B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)12.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线13.下列说法正确的是_（分数：2.00）A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点D.以上说法都不对14.设 f(x)在a，b上连续，且不是常数函数，若 f(a)=f(b)，则在(a，b)内_（分数：2.00）A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点 ，使得 f“()=015.若 f(x)的一个原函数是 l
4、nx，则 f“(x)=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.16.若f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2 +C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.下列不等式中不成立的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.下列广义积分中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.方程 x 2 +y 2 =z=0在空间直角坐标系中表示的曲面是_（分数：2.00）A.球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.圆柱面21
5、.设 a=-1，1，2，b=2，0，1则 a与 b的夹角为_ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.直线 （分数：2.00）A.平行但直线不在平面上B.在平面上C.垂直D.相交但不垂直23.设 f(x,y)在点(a，b)处有偏导数，则 （分数：2.00）A.0B.2fx(a，b)C.fx(a，b)D.fy(a，b)24.函数 的全微分 dz=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25. 化为极坐标形式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 L是以 A(-1，0)，B(-3，2)，C(3，0)为顶点的三角形区域的边界，方向为 ABCA
6、，则 L (3x-y)dx+(x-2y)dy=_（分数：2.00）A.-8B.0C.8D.2027.下列微分方程中，可分离变量的方程是_ A B(x 2 +y 2 )dx-2xydy=0 C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.函数 f(x)=ln(1-x)的幂级数展开式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.无法确定二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31.已知 （分数：2.00）32.当 x0 时，f
7、(x)与 1-cosx等价，则 （分数：2.00）33.若 （分数：2.00）34.设函数 （分数：2.00）35.曲线在 （分数：2.00）36.函数 f(x)=x 2 -x-2在区间0，2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的 = 1 （分数：2.00）37.函数 （分数：2.00）38.已知 f(0)=2，f(2)=3，f“(2)=4，则 （分数：2.00）39.设向量 b与 a=1，-2，3共线，且 ab=56，则 b= 1 （分数：2.00）40.设 （分数：2.00）41.函数 f(x，y)=2x 2 +xy-2y 2 的驻点为 1 （分数：2.00）42.设区域 D为 x 2 +y
8、2 9，则 （分数：2.00）43.交换积分次序后， （分数：2.00）44.已知 （分数：2.00）45.已知级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46.求 （分数：5.00）_47.设 y=f(x)是由方程 e xy +ylnx=sin2x确定的隐函数，求 （分数：5.00）_48.已知xf(x)dx=e -2x +C，求 （分数：5.00）_49.求 （分数：5.00）_50.已知 z=e x2+xy-y2 ，求全微分 dz （分数：5.00）_51.求 （分数：5.00）_52.求微分方程 y“-2xy=xe -x2 的通解 （分数：5.00）_53.求幂级
9、数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为 64m 2 的条件下，问增加的三面墙长各多少时，其总长最小 （分数：7.00）_55.设 D是由曲线 y=f(x)与直线 y=0，y=3 围成的区域，再中 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.设 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2009年(1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.下列函数相等的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D
10、. 解析：解析 由函数相等的定义知 D正确2.下列函数中为奇函数的是_ A Bf(x)=xtanx C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 C，有 3.极限 （分数：2.00）A.1B.-1C.0D.不存在 解析：解析 因此极限不存在4.当 x0 时，下列无穷小量中与 x等价的是_ A2x 2 -x B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意可知，5.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.无穷间断点解析：解析 由于6.设函数 f(x)可导，且 （分数：2.00）A.2B.-1C.1D.-2 解析：解析 7.设函数 f(x)具有四
11、阶导数，且 ，则 f (4) (x)=_ A B C1 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为8.曲线 在对应点 处的法线方程为_ A （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 x“(t)=-sint，y“(t)=2cos2t，所以 因此法线方程为 9.已知 de -x f(x)=e x dx，且 f(0)=0，则 f(x)=_ A.e2x+ex B.e2x-ex C.e2x+e-x D.e2x-e-x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对等式两边积分，得de -x f(x)=e x dx，即 e -x f(x)=e x +C， 所以 f(x)=e 2
12、x +Ce x 因为 f(0)=0，所以=1+C，即 C=-1，因此 f(x)=e 2x -e x .故选 B10.函数在某点处连续是其在该点处可导的_（分数：2.00）A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件解析：解析 根据可导与连续的关系知选 A11.曲线 y=x 4 -24x 2 +6x的凸区间为_（分数：2.00）A.(-2，2) B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)解析：解析 因为 y=x 4 -24x 2 +6x，所以 y“=4x 3 -48x+6，y“=12x 2 -48， 由 12x 2 -480，得-2x2，因此曲线的凸区间为(-2，2)12.曲线 （分数
13、：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线解析：解析 故曲线13.下列说法正确的是_（分数：2.00）A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点 D.以上说法都不对解析：解析 由极值的第二判定定理，知 C正确14.设 f(x)在a，b上连续，且不是常数函数，若 f(a)=f(b)，则在(a，b)内_（分数：2.00）A.必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点 ，使得 f“()=0解析：解析 根据有界性与最大值最小值定理，知 A选项正确
14、15.若 f(x)的一个原函数是 lnx，则 f“(x)=_ A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 所以16.若f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2 +C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意知，因为f(x)dx=x 2 +C， 17.下列不等式中不成立的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于 D，应有18. A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 19.下列广义积分中收敛的是_ A B C D （分数：
15、2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 C选项， 20.方程 x 2 +y 2 =z=0在空间直角坐标系中表示的曲面是_（分数：2.00）A.球面B.圆锥面C.旋转抛物面 D.圆柱面解析：解析 由旋转抛物面的定义知选 C21.设 a=-1，1，2，b=2，0，1则 a与 b的夹角为_ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 ab=-12+10+21=0 所以 a与 b的夹角为 22.直线 （分数：2.00）A.平行但直线不在平面上 B.在平面上C.垂直D.相交但不垂直解析：解析 因为直线 l的方向向量 n=-2，-7，3，平面的法向量为 s=4，-2，-2 则
16、sn=-24+(-7)(-2)+3(-2)=0 又点(-3，-4，0)不在平面上，所以直线与平面平行23.设 f(x,y)在点(a，b)处有偏导数，则 （分数：2.00）A.0B.2fx(a，b) C.fx(a，b)D.fy(a，b)解析：解析 由题意，知24.函数 的全微分 dz=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 25. 化为极坐标形式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 x=rcos，y=rsin，可知： ，0ra，故化为极坐标形式为 26.设 L是以 A(-1，0)，B(-3，2)，C(3，0)为顶点的三角形区域的边界
17、，方向为 ABCA，则 L (3x-y)dx+(x-2y)dy=_（分数：2.00）A.-8 B.0C.8D.20解析：解析 由格林公式，知27.下列微分方程中，可分离变量的方程是_ A B(x 2 +y 2 )dx-2xydy=0 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由可分离变量的方程形式，知选项 C正确28.若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由无穷级数的基本性质知， 收敛必有29.函数 f(x)=ln(1-x)的幂级数展开式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由幂级数展
18、开公式，得 30.级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.无法确定解析：解析 由阿贝尔定理知级数在 x=2处绝对收敛，故选 B二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31.已知 （分数：2.00）解析：解析 由题意可知，32.当 x0 时，f(x)与 1-cosx等价，则 （分数：2.00）解析： 解析 由题意可知，f(x)与 1-cosx等价，则 33.若 （分数：2.00）解析：ln2 解析 因为 34.设函数 （分数：2.00）解析：1解析 因为 f(x)在(-，+)内处处连续，所以35.曲线在 （分数：2.00）解析： 解析 所以 又因为过点(2，2)， 所以
19、切线方程为 36.函数 f(x)=x 2 -x-2在区间0，2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的 = 1 （分数：2.00）解析：1 解析 由拉格朗日中值定理，知 37.函数 （分数：2.00）解析：解析 由题意可知， ，令 f“(x)0，即 解之得38.已知 f(0)=2，f(2)=3，f“(2)=4，则 （分数：2.00）解析：7解析 由题意可知，39.设向量 b与 a=1，-2，3共线，且 ab=56，则 b= 1 （分数：2.00）解析：4a 或4，-8，12 解析 由 a与 b共线，知 b=a，由 ab=aa=14=56， 知 =4，故 b=4a或 b=4，-8，1240.设 （分数
20、：2.00）解析：2(1+2x 2 )e x2+y2 解析 由题意得， 41.函数 f(x，y)=2x 2 +xy-2y 2 的驻点为 1 （分数：2.00）解析：(0，0) 解析 f x (x，y)=4x+y，f y (x，y)=x-4y，令 f x (x，y)=0，f y (x，y)=0，即 42.设区域 D为 x 2 +y 2 9，则 （分数：2.00）解析：0解析 令 x=rcos，y=rsin，知43.交换积分次序后， （分数：2.00）解析： 解析 由 知，积分区域为： 交换积分次序积分区域为： 故原式 44.已知 （分数：2.00）解析： (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析
21、由题知，齐次方程所对应的特征方程为，r 2 -2r-3=0，解得：r 1 =-1，r 2 =3，故对应的齐次方程的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x ， 又知特解为 故通解为 45.已知级数 （分数：2.00）解析：3n 2 -3n+1 解析 当 n2 时，u n =S n -S n-1 =n 3 -(n-1) 3 =3n 2 -3n+1三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 47.设 y=f(x)是由方程 e xy +ylnx=sin2x确定的隐函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 两边同时对
22、x求导，得 则 方法二 令 F(x，y)=e xy +ylnx-sin2x，则 48.已知xf(x)dx=e -2x +C，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 等式两边对 x求导，得 xf(x)=-2e -2x ， 49.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 50.已知 z=e x2+xy-y2 ，求全微分 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由题意得， 51.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由题意可知，积分区域 D为 0y2， 52.求微分方程 y“-2xy=xe -x2 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一
23、 对应的齐次线性微分方程 y“-2xy=0的通解为 y=Ce x2 设 y=u(x)e x2 是原方程的通解， 代入原方程得 u“(x)=xe -2x2 ，则 所以原方程的通解为 ，C 为任意常数 方法二 方程为一阶非齐次线性微分方程，其中 P(x)=-2x，Q(x)=xe -x2 ， 则方程的通解为 53.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 t=x 2 ，则级数为 所以 的收敛半径为 2，则 的收敛半径为 ， 又当 时， 发散， 所以所求幂级数的收敛区间为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为 64m 2 的条件下，问增加的三面墙长各多少时，其总长最小 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 设与已知墙面平行的墙的长度为 xm，则另两面墙的长为 ， 故三面墙的总长为 令 解得唯一驻点 故当 时，l 取值最小， 此时，三面墙的长度分别为 55.设 D是由曲线 y=f(x)与直线 y=0，y=3 围成的区域，再中 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 由题意得五、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 因为 F(x)在a，b上连续，且 所以方程 F(x)=0在(a，b)内有根，又因为
