1、河南省专升本考试高等数学真题 2012 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.-4，+)B.(-4，+)C.-4，0)(0，+)D.(-4，0)(0，+)2.下列函数中为偶函数的是_ Ay=x 2 +log 3 (1-x) By=xsinx C （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，下列无穷小量中与 ln(1+2x)等价的是_ Ax B （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.函数 （分数：2.00）A
2、.极限不存在B.间断C.连续但不可导D.连续且可导6.设函数 f(x)=|x|(x)，其中 (x)在 x=0 处连续且 （0）0，则 f“（0）_（分数：2.00）A.不存在B.等于 “（0）C.存在且等于 0D.存在且等于 （0）7.若函数 y=f(u)可导，u=e x ，则 dy=_ A.f“(ex)dx B.f“(ex)d(ex) C.f“(x)exdx D.f(ex)“dex（分数：2.00）A.B.C.D.8.曲线 有水平渐近线的充分条件_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设函数 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.10.曲线 （分数：2.00）A
3、.0B.1C.2D.311.方程 x 3 +3x+c=0(其中 c 为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有_（分数：2.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个12.若 f“(x)连续，则下列等式正确的是_（分数：2.00）A.f(x)dx“=f(x)B.f“(x)dx=f(x)C.df(x)=f(x)D.df(x)dx=f(x)13.如果 f(x)的一个原函数为 x-arcsinx，则f(x)dx=_ A B Cx-arcsinx+C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 f“(x)=1，且 f(0)=1，则f(x)dx=_ Ax+C B Cx 2 +x+C D （分数：2
4、.00）A.B.C.D.15. （分数：2.00）A.B.C.D.16. （分数：2.00）A.B.C.D.17.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.微分方程 （分数：2.00）A.二阶非线性微分方程B.二阶线性微分方程C.一阶非线性微分方程D.一阶线性微分方程19.微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.20.在空间直角坐标系中，若向量 a 与 Ox 轴和 Oz 轴正向的夹角分别为 45和 60，则向量 a 与 Oy 轴正向的夹角为_（分数：2.00）A.30B.60C.45D.60或 12021.直线 （分数：2.00）A.直线在平面内B.平
5、行C.垂直D.相交但不垂直22.下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.23. A0 B C （分数：2.00）A.B.C.D.24.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微是 f(x,y)在该点处两个偏导数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件25.已知 z=x+y+sin(xy)，则 （分数：2.00）A.sin(xy)B.sin(xy)(1+xy)C.cos(xy)-xysin(xy)D.-xycos(xy)26.幂级数 （分数：2.00）A.B.C.D.27.下列级数发散的是
6、_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.若级数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个29.若 L 是曲线 y=x 3 上从点(1，1)到(-1，-1)的一条连续曲线段，则曲线积分 L (e y +y-2)dx+(xe y +x-3y)dy 的值为_ A.e-1+e-4 B.-e-1-e-4 C.-e-1-e+4 D.0（分数：2.00）A.B.C.D.30.设 则交换积分次序后，I 可化为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知 f(x-1)=x 2 -x，则 （分数：2.00）32.
7、设函数 （分数：2.00）33.如果函数 f(x)在点 a 处可导且 f(a)为 f(x)的极小值，则 f“(a)= 1 （分数：2.00）34.曲线 y=xe -x 的拐点是 1 （分数：2.00）35.不定积分 （分数：2.00）36.微分方程 （分数：2.00）37.向量 a=1，-1，2在 b=0，3，4上的投影为 1 （分数：2.00）38.设方程 xy+xz+yz=0 所确定的隐函数为 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）39.设积分区域 D 为：x 2 +y 2 4y，则 （分数：2.00）40.若 则正项级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)4
8、1.求极限 （分数：5.00）_42.已知参数方程 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求 （分数：5.00）_45.求微分方程 （分数：5.00）_46.求函数 x(x，y)=y 2 -x 2 +6x-12y+10 的极值 （分数：5.00）_47.求过点 A(2，-3，-1)且与直线 （分数：5.00）_48.求函数 （分数：5.00）_49.计算 （分数：5.00）_50.求幂级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：12.00)51.求函数 在 x0 时的最大值，并从数列 中选出最大的一项(已知 （分数：6.00）_52.过点 M(3，0)作曲
9、线 y=ln(x-3)的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面图形 D试求平面图形 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：8.00)53.证明不等式： （分数：8.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2012 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.-4，+)B.(-4，+)C.-4，0)(0，+) D.(-4，0)(0，+)解析：解析 要使函数有意义，则2.下列函数中为偶函数的是_ Ay=x 2 +log 3 (1-x) By=xsinx C （
10、分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinxx=f(x)，所以 y=xsinx 是偶函数3.当 x0 时，下列无穷小量中与 ln(1+2x)等价的是_ Ax B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于4.设函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点 解析：解析 由于 f(x)在 x=0 处的左右极限均不存在，故 x=0 是 f(x)的第二类间断点5.函数 （分数：2.00）A.极限不存在B.间断C.连续但不可导 D.连续且可导解析：解析 在 x=0 处连续，又 不存在，故6.设函数 f(x)
11、=|x|(x)，其中 (x)在 x=0 处连续且 （0）0，则 f“（0）_（分数：2.00）A.不存在 B.等于 “（0）C.存在且等于 0D.存在且等于 （0）解析：解析 根据已知条件，7.若函数 y=f(u)可导，u=e x ，则 dy=_ A.f“(ex)dx B.f“(ex)d(ex) C.f“(x)exdx D.f(ex)“dex（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由一阶微分形式不变性可知，dy=df(u)=f“(u)du=f“(e x )d(e x )，应选 B8.曲线 有水平渐近线的充分条件_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 当 由此
12、可得 y=0 是9.设函数 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 10.曲线 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 x0 时， 当 x0 时11.方程 x 3 +3x+c=0(其中 c 为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有_（分数：2.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 解析：解析 设 f(x)=x 3 +3x+c，由于 f“(x)=3x 2 +30，故 f(x)在(0，1)内单调递增，在区间(0，1)内 f(x)与 x 轴最多有一个交点，即方程 x 3 +3x+c=0 在(0，1)内最多有一个实根，故应选 D12.若 f“(x)连续
13、，则下列等式正确的是_（分数：2.00）A.f(x)dx“=f(x) B.f“(x)dx=f(x)C.df(x)=f(x)D.df(x)dx=f(x)解析：解析 B，C 两项等式右端缺少常数，D 项 df(x)dx=f(x)dx，故应选 A13.如果 f(x)的一个原函数为 x-arcsinx，则f(x)dx=_ A B Cx-arcsinx+C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意知 f(x)=(x-arcsinx)“，所以f(x)dx=x-arcsinx+C14.设 f“(x)=1，且 f(0)=1，则f(x)dx=_ Ax+C B Cx 2 +x+C D （分数：2
14、.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f“(x)=1，f(0)=1 可知 f(x)=x+1，所以f(x)dx=(x+1)dx=15. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 原式=-cos(sinx) 2 (sinx)“=cos(sinx) 2 cosx，应选 B16. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 17.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 18.微分方程 （分数：2.00）A.二阶非线性微分方程 B.二阶线性微分方程C.一阶非线性微分方程D.一阶线性微分方程解析：解析 由微分方程的概念知应选 A19.微分方程
15、（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 原方程可变为 两边积分得 20.在空间直角坐标系中，若向量 a 与 Ox 轴和 Oz 轴正向的夹角分别为 45和 60，则向量 a 与 Oy 轴正向的夹角为_（分数：2.00）A.30B.60C.45D.60或 120 解析：解析 设所求的夹角为 ，则有 cos 2 +cos 2 45+cos 2 60=1，得 21.直线 （分数：2.00）A.直线在平面内B.平行 C.垂直D.相交但不垂直解析：解析 直线的方向向量为 s=-1，2，3，平面的法向量 n=2，1，0，由于 sn=0，直线上的点(0，1，-2)不在平面上，故直线与平面平行，应选 B
16、22.下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是_ A （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x，z)=0 绕 x 轴旋转一周得到的曲面方程为23. A0 B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 24.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微是 f(x,y)在该点处两个偏导数 （分数：2.00）A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：解析 由二元函数可微与偏导数的关系可知选项 A 正确25.已知 z=x+y+sin(xy)，则 （分数：2.00）A.sin(xy)B.sin(xy)(1+xy)C.cos(xy)
17、-xysin(xy) D.-xycos(xy)解析：解析 因为 26.幂级数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 27.下列级数发散的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 28.若级数 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析 由于29.若 L 是曲线 y=x 3 上从点(1，1)到(-1，-1)的一条连续曲线段，则曲线积分 L (e y +y-2)dx+(xe y +x-3y)dy 的值为_ A.e-1+e-4 B.-e-1-e-4 C.-e-1-e+4 D.0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 P(x，y
18、)=e y +y-2，Q(x，y)=xe y +x-3y， ，故此曲线积分与路径无关，取由点(1，1)经过点(1，-1)到点(-1，-1)折线段上的积分 30.设 则交换积分次序后，I 可化为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 将 x-型区域化为 y-型区域有 D=(x，y)|0x1，0yx 2 (x，y)|1x2，0y2-x=(x，y)|0y1， x2-y，所以改变积分次序后 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知 f(x-1)=x 2 -x，则 （分数：2.00）解析： 解析 由 f(x-1)=(x-1+1) 2 -(x-1+1)，得 f(x
19、)=(x+1) 2 -(x+1)=x 2 +x， 故 32.设函数 （分数：2.00）解析：4 解析 由于 33.如果函数 f(x)在点 a 处可导且 f(a)为 f(x)的极小值，则 f“(a)= 1 （分数：2.00）解析：0解析 由题显然可得 f“(a)=034.曲线 y=xe -x 的拐点是 1 （分数：2.00）解析： 解析 由于 f“=e -x -xe -x ，令 y“=-e -x -e -x +xe -x =0 得 x=2， x2 时 y“0，x2 时 y“0，故 y=xe -x 的拐点为 35.不定积分 （分数：2.00）解析：解析 36.微分方程 （分数：2.00）解析：y=
20、xe -x2 解析 由公式得 y=e -2xdx (C+e -x2 e 2xdx dx)=e -x2 (C+x)， 令 x=0，得 y=C=0，故所求特解为 y=xe -x2 37.向量 a=1，-1，2在 b=0，3，4上的投影为 1 （分数：2.00）解析：1解析 a 在 b 上的投影为38.设方程 xy+xz+yz=0 所确定的隐函数为 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）解析：-1 解析 由 xy+xz+yz=0 得 所以 39.设积分区域 D 为：x 2 +y 2 4y，则 （分数：2.00）解析：4解析 由二重积分的几何意义知 即为积分区域的面积，所以40.若 则正项级数 （分
21、数：2.00）解析：发散解析 具有相同的敛散性，所以三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 42.已知参数方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 则 x=t 2 -1，且 dx=2tdt， 44.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 45.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 原方程的特征方程为 2r 2 +4r+3=0，特征方程的根为 所以原方程的通解为 46.求函数 x(x，y)=y 2 -x 2 +6x-12y+1
22、0 的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由 47.求过点 A(2，-3，-1)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 因为所求直线平行于直线 所以所求直线的方向向量为 又因为直线过点 A(2，-3，-1)，所求的直线方程为 48.求函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 首先求得 z 对 x 和 y 的偏导数， 所以 49.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 将区域 D 转化为极坐标系下的区域 D“，区域 D(如图所示)可以表示为 D“=(r，)|02，r2， 50.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 因为 故收
23、敛半径为 即当-1x-21，即 1x3 时，原级数收敛 当 x=1 时，原级数为 因为 所以收敛， 当 x=3 时，原级数为 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)51.求函数 在 x0 时的最大值，并从数列 中选出最大的一项(已知 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解析 对等式两边取对数得 两边对 x 求导得 即 令 f“(x)=0，解得驻点 x=e 因为在区间(0，e)内 f“(x)0，在区间(e，+)内 f“(x)0，而 f(x)又在区间(0，+)连续，所以 x=e时 f(x)取最大值 由 f(x)在(e，+)上的单调性知 已知 所以 52.过点 M(3，0)作曲线 y=ln(
24、x-3)的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面图形 D试求平面图形 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解析 设切线与曲线的切点为 M 0 (x 0 ，ln(x 0 -3)(如图所示)， 由于 所以切线方程为 ，因为切线经过点 M(3，0)，所以将 M(3，0)代入上式得 x 0 =e+3，从而切线方程为 于是，所求旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：8.00)53.证明不等式： （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 设 f(x)=1nx，易知 f(x)在区间n，m上满足拉格朗日中值定理条件，即，至少存在一点(n，m)，使得 又因为 0nm，故 ，从而有 整理得
