1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 （ 上海卷 ） 数学文 一、填空题 (本大题共 14题，每小题 4分，共 56 分 ). 1. 设 x R，则不等式 |x-3| 1的解集为 _. 解析： x R，不等式 |x-3| 1， -1 x-3 1， 解得 2 x 4. 不等式 |x-3| 1的解集为 (2， 4). 答案： (2， 4). 2. 设 z=32ii，其中 i为虚数单位，则 z的虚部等于 _. 解析： z= 3232 32iii ii i i ，则 z的虚部为 -3. 答案： -3. 3. 已知平行直线 l1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0，则 l1， l2的距离
2、_. 解析：平行直线 l1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0，则 l1， l2的距离：221 1 ? 2 5 ?52 1 ? . 答案： 2 5?5. 4. 某次体检， 5位同学的身高 (单位：米 )分别为 1.72， 1.78， 1.80， 1.69， 1.76.则这组数据的中位数是 _(米 ). 解析：将 5位同学的身高按照从小到大进行排列为 1.69， 1.72， 1.76， 1.78， 1.80. 则位于中间的数为 1.76，即中位数为 1.76. 答案： 1.76. 5. 若函数 f(x)=4sinx+acosx 的最大值为 5，则常数 a=_. 解析：由于函数 f(x
3、)=4sinx+acosx= 216 a sin(x+ )，其中， cos =2416 a， sin=216aa， 故 f(x)的最大值为 216 a =5， a= 3. 答案： 3. 6. 已知点 (3， 9)在函数 f(x)=1+ax的图象上，则 f(x)的反函数 f-1(x)=_. 解析：点 (3， 9)在函数 f(x)=1+ax的图象上， 9=1+a3，解得 a=2. f(x)=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2(y-1)， (y 1). 把 x与 y互换可得： f(x)的反函数 f-1(x)=log2(x-1). 答案： log2(x-1)， (x 1). 7. 若 x，
4、 y满足 001xyyx ，则 x-2y的最大值为 _. 解析：画出可行域 (如图 )，设 z=x-2y y=12x-12z， 由图可知， 当直线 l经过点 A(0， 1)时， z最大，且最大值为 zmax=0-2 1=-2. 答案： -2. 8. 方程 3sinx=1+cos2x在区间 0， 2 上的解为 _. 解析：方程 3sinx=1+cos2x，可得 3sinx=2-2sin2x， 即 2sin2x+3sinx-2=0.可得 sinx=-2， (舍去 )sinx=12， x 0， 2 解得 x=6或 56. 答案：6或 56. 9. 在 3 2 nxx的二项式中，所有的二项式系数之和为
5、 256，则常数项等于 _. 解析：在 3 2 nxx的二项式中，所有的二项式系数之和为 256， 2n=256，解得 n=8， 83 2xx中， 848 31 8 83 (2 2) rr rr r rrT C C xxx ， 当 8403 r ，即 r=2 时，常数项为 2 2382 1 1 2TC . 答案： 112. 10. 已知 ABC的三边长分别为 3， 5， 7，则该三角形的外接圆半径等于 _. 解析：可设 ABC的三边分别为 a=3， b=5， c=7， 由余弦定理可得， cosC= 2 2 2 9 2 5 4 9 12 2 3 5 2a b cab ， 可得 sinC= 2 1
6、 3 ?1 142c o s C ， 可得该三角形的外接圆半径为 7 7 3 ?233?22cs in C . 答案： 7 3?3. 11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 _. 解析：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为 24C，乙同学的选法种数为 24C， 则两同学的选法种数为 24C 24C种 . 两同学相同的选法种数为 24C. 由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为2 244224416C CCC . 答案： 16. 12. 如图，已知点 O(0， 0)， A(1， 0)， B(0， -1)，
7、 P是曲线 y= 21 x 上一个动点，则 OP BA的取值范围是 _. 解析：设 OP =(x， y)，则 OP =(x， 21 x )， 由 A(1， 0)， B(0， -1)，得： BA =(1， 1)， OP BA =x+ 21 x ， 令 x=sin， 则 OP BA =sin +cos = 2 sin( +4)， 故 OP BA 的范围是 - 2 ， 2 . 答案： - 2 ， 2 . 13. 设 a 0， b 0.若关于 x， y的方程组 =1=1ax yx by无解，则 a+b的取值范围是 _. 解析：关于 x， y的方程组 =1=1ax yx by无解， 直线 ax+y-1=
8、0与直线 x+by-1=0平行， -a=-1b，且 1b 1. 即 a=1b且 b 1. a 0， b 0. a+b=b+1b 2. 答案： (2， + ). 14. 无穷数列 an由 k 个不同的数组成， Sn为 an的前 n项和，若对任意 n N*， Sn 2， 3，则 k的最大值为 _. 解析：对任意 n N*， Sn 2， 3，可得 当 n=1时， a1=S1=2或 3； 若 n=2，由 S2 2， 3，可得数列的前两项为 2， 0；或 2， 1；或 3， 0；或 3， -1； 若 n=3，由 S3 2， 3，可得数列的前三项为 2， 0， 0；或 2， 0， 1； 或 2， 1， 0
9、；或 2， 1， -1；或 3， 0， 0；或 3， 0， -1；或 3， 1， 0；或 3， 1， -1； 若 n=4，由 S3 2， 3，可得数列的前四项为 2， 0， 0， 0；或 2， 0， 0， 1； 或 2， 0， 1， 0；或 2， 0， 1， -1；或 2， 1， 0， 0；或 2， 1， 0， -1； 或 2， 1， -1， 0；或 2， 1， -1， 1；或 3， 0， 0， 0；或 3， 0， 0， -1； 或 3， 0， -1， 0；或 3， 0， -1， 1；或 3， -1， 0， 0；或 3， -1， 0， 1； 或 3， -1， 1， 0；或 3， -1， 1，
10、-1； 即有 n 4后一项都为 0或 1或 -1，则 k的最大个数为 4， 不同的四个数均为 2， 0， 1， -1，或 3， 0， 1， -1. 答案： 4. 二、选择题 (本大题共有 4 题，满分 20 分，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分 ). 15. 设 a R，则“ a 1”是“ a2 1”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析：由 a2 1得 a 1或 a -1， 即“ a 1”是“ a2 1”的充分不必要条件 . 答案： A. 16. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E、 F 分别
11、为 BC、 BB1 的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 ( ) A.直线 AA1 B.直线 A1B1 C.直线 A1D1 D.直线 B1C1 解析：根据异面直线的概念可看出直线 AA1， A1B1， A1D1都和直线 EF 为异面直线； B1C1和 EF在同一平面内，且这两直线不平行； 直线 B1C1和直线 EF相交，即选项 D正确 . 答案： D. 17. 设 a R， b 0， 2 )，若对任意实数 x 都有 sin(3x-3)=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对 (a， b)的对数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：对于任意实数 x都有 sin(3x-3)=si
12、n(ax+b)， 则函数的周期相同，若 a=3， 此时 sin(3x-3)=sin(3x+b)， 此时 b=-3+2 =53， 若 a=-3，则方程等价为 sin(3x-3)=sin(-3x+b)=-sin(3x-b)=sin(3x-b+ )， 则 -3-b+，则 b=23， 综上满足条件的有序实数组 (a， b)为 (3， 53)， (-3， 23)， 共有 2组 . 答案： B. 18. 设 f(x)、 g(x)、 h(x)是定义域为 R的三个函数，对于命题：若 f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则 f(x)、 g(x)、 h(x)均是增函数；若 f(
13、x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以 T为周期的函数，则 f(x)、 g(x)、 h(x)均是以 T为周期的函数，下列判断正确的是 ( ) A.和均为真命题 B.和均为假命题 C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为真命题 解析：对于，举反例说明： f(x)=2x， g(x)=-x， h(x)=3x； f(x)+g(x)=x， f(x)+h(x)=5x， g(x)+h(x)=2x都是定义域 R上的增函数，但 g(x)=-x不是增函数，所以是假命题； 对于， f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T) ， f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T) ，h(x)+
14、g(x)=h(x+T)+g(x+T)， 前两式作差可得： g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x+T)，结合第三式可得： g(x)=g(x+T)， h(x)=h(x+T)， 同理可得： f(x)=f(x+T)，所以是真命题 . 答案： D. 三、简答题：本大题共 5题，满分 74分 19. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部 )绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 56，长为3，其中 B1与 C在平面 AA1O1O的同侧 . (1)求圆柱的体积与侧面积； (2)求异面直线 O1B1与 OC所成的角的大小 . 解析： (1)直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可 . (2)
15、设点 B1在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，即可求解所求角的大小 . 答案： (1)将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部 )绕 OO1旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为： 12 1= . 侧面积为： 2 1=2 . (2)设点 B1在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1， OB，则 OB O1B， AOB=3，异面直线 O1B1与 OC所成的角的大小就是 COB， 大小为： 56 3 2 . 20. 有一块正方形 EFGH， EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F点或河边运走 .于是，菜地分别为两个区域 S1和 S2，其中 S1中的蔬菜运到河边较近， S2中的蔬菜运到 F 点
16、较近，而菜地内 S1和 S2的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O为 EF 的中点，点 F的坐标为 (1， 0)，如图 (1)求菜地内的分界线 C的方程； (2)菜农从蔬菜运量估计出 S1面积是 S2面积的两倍，由此得到 S1面积的经验值为 83.设 M 是C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于 S1面积的“经验值” . 解析： (1)设分界线上任意一点为 (x， y)，根据条件建立方程关系进行求解即可 . (2)设 M(x0， y0)，则 y0=1，分别求出
17、对应矩形面积，五边形 FOMGH的面积，进行比较即可 . 答案： (1)设分界线上任意一点 为 (x， y)，由题意得 |x+1|= 2 21xy ，得 y=2 x ，(0 x 1)， (2)设 M(x0， y0)，则 y0=1， 200144yx ， 设所表述的矩形面积为 S3，则 S3=2 (14+1)=2 5542， 设五边形 EMOGH的面积为 S4，则 S4=S3-S OMP+S MGN= 5 1 1 1 3 1 1112 2 4 2 4 4 ， S1-S3=8 5 13 2 6， S4-S1=1 1 8 1 14 3 1 2 6 ， 五边形 EMOGH的面积更接近 S1的面积 .
18、21. 双曲线 222 1yx b(b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B两点 . (1)若 l的倾斜角为2， F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设 b= 3 ，若 l的斜率存在，且 |AB|=4，求 l的斜率 . 解析： (1)由题意求出 A 点纵坐标，由 F1AB 是等边三角形，可得 tan AF1F2=tan226 21bb ，从而求得 b值，则双曲线的渐近线方程可求； (2)写出直线 l 的方程 y-0=k(x-2)，即 y=kx-2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得 k值 . 答案： (1)若 l的倾斜角为2， F
19、1AB是等边三角形， 把 x=c= 21 b 代入双曲线的方程可得点 A的纵坐标为 b2， 由 tan AF1F2=tan 22363 21bb ，求得 b2=2， b= 2 ， 故双曲线的渐近线方程为 y= bx= 2 x， 即双曲线的渐近线方程为 y= 2 x. (2)设 b= 3 ，则双曲线为 22 13yx ， F2(2， 0)， 若 l的斜率存在，设 l 的斜率为 k，则 l的方程为 y-0=k(x-2)，即 y=kx-2k， 联立 22213y kx kyx ，可得 (3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0， 由直线与双曲线有两个交点，则 3-k2 0，即 k 3 . =36(1
20、+k2) 0. x1+x2= 224 3kk ， x1 x2= 22433kk . |AB|= 21 k |x1-x2|= 221 2 1 21? 4k x x x x= 222222 4 4 34431 3kkkkk ， 化简可得， 5k4+42k2-27=0，解得 k2=35， 求得 k= 155. l的斜率为 155. 22. 对于无穷数列 an与 bn，记 A=x|x=an， n N*， B=x|x=bn， n N*，若同时满足条件： an， bn均单调递增； A B= 且 A B=N*，则称 an与 bn是无穷互补数列 . (1)若 an=2n-1， bn=4n-2，判断 an与 b
21、n是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若 an=2n且 an与 bn是无穷互补数列，求数量 bn的前 16项的和； (3)若 an与 bn是无穷互补数列， an为等差数列且 a16=36，求 an与 bn的通项公式 . 解析： (1)an与 bn不是无穷互补数列 .由 4 A， 4 B， 4 A B=N*，即可判断； (2)由 an=2n，可得 a4=16， a5=32，再由新定义可得 b16=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和； (3)运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于 1，可得 d=1或 2，讨论 d=1， 2求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通
22、项公式 . 答案： (1)an与 bn不是无穷互补数列 . 理由：由 an=2n-1， bn=4n-2，可得 4 A， 4 B， 即有 4 A B=N*，即有 an与 bn不是无穷互补数列； (2)由 an=2n，可得 a4=16， a5=32， 由 an与 bn是无穷互补数列，可得 b16=16+4=20， 即有数列 bn的前 16 项的和为 (1+2+3+ +20)-(2+4+8+16)=1 202 20-30=180； (3)设 an为公差为 d(d为正整数 )的等差数列且 a16=36，则 a1+15d=36， 由 a1=36-15d 1，可得 d=1 或 2， 若 d=1，则 a1=
23、21， an=n+20， bn=n(1 n 20)， 与 an与 bn是无穷互补数列矛盾，舍去； 若 d=2，则 a1=6， an=2n+4， bn= 52 5 5nn ， . 综上可得， an=2n+4， bn= 52 5 5nn ， . 23. 已知 a R，函数 f(x)=log2(1x+a). (1)当 a=1时，解不等式 f(x) 1； (2)若关于 x的方程 f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素，求 a的值； (3)设 a 0，若对任意 t 12， 1，函数 f(x)在区间 t， t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a的取值范围 . 解析： (1)当 a=1时
24、，不等式 f(x) 1化为： log2(1x+1) 1，因此 1x+1 2，解出并且验证即可得出 . (2)方程 f(x)+log2(x2)=0 即 log2(1x+a)+log2(x2)=0， (1x+a)x2=1，化为： ax2+x-1=0，对 a分类讨论解出即可得出 . (3)a 0，对任意 t 12， 1，函数 f(x)在区间 t， t+1上单调递减，由题意可得 log2(1t+a)-log2( 11t+a) 1，因此 1 1 11ta tt a t 2，化为： a21 ttt =g(t)， t 12 ， 1，利用导数研究函数的单调性即可得出 . 答案： (1)当 a=1时，不等式 f
25、(x) 1化为： log2(1x+1) 1， 1x+1 2，化为： 1x 1，解得 0 x 1， 经过验证满足条件，因此不等式的解集为： (0， 1). (2)方程 f(x)+log2(x2)=0即 log2(1x+a)+log2(x2)=0， (1x+a)x2=1，化为： ax2+x-1=0， 若 a=0，化为 x-1=0，解得 x=1，经过验证满足：关于 x的方程 f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素 1. 若 a 0，令 =1+4a=0，解得 a=-14，解得 x=2.经过验证满足：关于 x的方程 f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素 1. 综上可得： a=0或 -14. (3)a 0，对任意 t 12， 1，函数 f(x)在区间 t， t+1上单调递减 ， log2(1t+a)-log2( 11t+a) 1， 1 1 11ta tt a t 2， 化为： a21 ttt =g(t)， t 12 ， 1， g (t)= 2222 2 2222 221 121221 211421 2 10t t t t tttt t t t t t = =， g(t)在 t 12， 1上单调递减， t=12时， g(t)取得最大值， g(12)=23. a 23. a的取值范围是 23， + ).
