1、 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1. 设 x R，则不等式 |x-3| 1的解集为 . 解析： x R，不等式 |x-3| 1， -1 x-3 1， 解得 2 x 4. 不等式 |x-3| 1的解集为 (2， 4). 答案： (2， 4). 2. 设 z= 32ii，其中 i 为虚数单位，则 Imz= . 解析： Z= 223 2 3 2 3 2 231i i i i ii i ， Imz=-3 答案： -3 3. 已知平行直线
2、l1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0，则 l1， l2的距离 . 解析：平行直线 l1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0，则 l1， l2的距离：221 1 ? 2 5 ?52 1 ? . 答案： 2 5?5. 4. 某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72， 1.78， 1.75， 1.80， 1.69， 1.77，则这组数据的中位数是 （米） 解析： 6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72， 1.78， 1.75， 1.80， 1.69， 1.77， 从小到大排列为： 1.69， 1.72， 1.75， 1.77， 1.78， 1.80，
3、 位于中间的两个数值为 1.75， 1.77， 这组数据的中位数是： 1.75+1.772=1.76（米） 答案： 1.76 5. 已知点 (3， 9)在函数 f(x)=1+ax的图象上，则 f(x)的反函数 f-1(x)= . 解析：点 (3， 9)在函数 f(x)=1+ax的图象上， 9=1+a3，解得 a=2. f(x)=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2(y-1)， (y 1). 把 x与 y互换可得： f(x)的反函数 f-1(x)=log2(x-1). 答案： log2(x-1)， (x 1). 6. 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为
4、 3， BD1 与底面所成角的大小为 arctan 23 ，则该正四棱柱的高等于 . 解析：正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的侧棱 D1D底面 ABCD， D1BD 为直线 BD1与底面 ABCD 所成的角， tan D1BD=23， 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 的边长为 3， BD=32， 正四棱柱的高 = 23 2 = 2 23， 答案： 22 7. 方程 3sinx=1+cos2x在区间 0， 2 上的解为 . 解析：方程 3sinx=1+cos2x，可得 3sinx=2-2sin2x， 即 2sin2x+3sinx-2=0.可得 sinx=-2， (
5、舍去 )sinx=12， x 0， 2 解得 x=6或 56. 答案：6或 56. 8. 在 3 2 nxx的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数项等于 . 解析：在 3 2 nxx的二项式中，所有的二项式系数之和为 256， 2n=256，解得 n=8， 83 2xx中， 848 31 8 83 (2 2) rr rr r rrT C C xxx ， 当 8403 r ，即 r=2 时，常数项为 2 2382 1 1 2TC . 答案： 112. 9. 已知 ABC的三边长分别为 3， 5， 7，则该三角形的外接圆半径等于 . 解析：可设 ABC的三边分别为 a=3， b=5，
6、c=7， 由余弦定理可得， cosC= 2 2 2 9 2 5 4 9 12 2 3 5 2a b cab ， 可得 sinC= 2 1 3 ?1 142c o s C ， 可得该三角形的外接圆半径为 7 7 3 ?233?22cs in C . 答案： 7 3?3. 10. 设 a 0， b 0，若关于 x， y 的方程组 11ax yx by无解，则 a+b 的取值范围为 . 解析：关于 x， y 的方程组 11ax yx by无解， 直线 ax+y=1 与 x+by=1 平行， a 0， b 0， 1111a b ， 即 a 1， b 1，且 ab=1，则 1ba， 则 a+b=a+1a
7、， 则设 f（ a） =a+1a，（ a 0 且 a 1）， 则函数的导数 222111 afa aa （ ） ， 当 0 a 1 时， f（ a） = 221aa 0，此时函数为减函数，此时 f（ a） f（ 1） =2， 当 a 1 时， f（ a） = 221aa 0，此时函数为增函数， f（ a） f（ 1） =2， 综上 f（ a） 2， 即 a+b 的取值范围是（ 2， +）， 答案：（ 2， +） 11. 无穷数列 an由 k个不同的数组成， Sn为 an的前 n项和，若对任意 n N*， Sn 2， 3，则 k的最大值为 . 解析：对任意 n N*， Sn 2， 3，可得 当
8、n=1时， a1=S1=2或 3； 若 n=2，由 S2 2， 3，可得数列的前两项为 2， 0；或 2， 1；或 3， 0；或 3， -1； 若 n=3，由 S3 2， 3，可得数列的前三项为 2， 0， 0；或 2， 0， 1； 或 2， 1， 0；或 2， 1， -1；或 3， 0， 0；或 3， 0， -1；或 3， 1， 0；或 3， 1， -1； 若 n=4，由 S3 2， 3，可得数列的前四项为 2， 0， 0， 0；或 2， 0， 0， 1； 或 2， 0， 1， 0；或 2， 0， 1， -1；或 2， 1， 0， 0；或 2， 1， 0， -1； 或 2， 1， -1， 0
9、；或 2， 1， -1， 1；或 3， 0， 0， 0；或 3， 0， 0， -1； 或 3， 0， -1， 0；或 3， 0， -1， 1；或 3， -1， 0， 0；或 3， -1， 0， 1； 或 3， -1， 1， 0；或 3， -1， 1， -1； 即有 n 4后一项都为 0或 1或 -1，则 k的最大个数为 4， 不同的四个数均为 2， 0， 1， -1，或 3， 0， 1， -1. 答案： 4. 12. 在平面直角坐标系中，已知 A（ 1， 0）， B（ 0， -1）， P 是曲线 21yx上一个动点，则 BP BA 的取值范围是 . 解析：在平面直角坐标系中， A（ 1， 0）
10、， B（ 0， -1）， P 是曲线 21yx上一个动点， 设 P（ cos， sin）， 0， ， BA =（ 1， 1）， BP =（ cos， sin +1）， 1 2 1)4(B P B A c o s s i n s i n ， BP BA 的取值范围是 0， 1+ 2 答案： 0， 1+ 2 13. 设 a， b R， c 0， 2），若对于任意实数 x 都有 2sin（ 3x-3） =asin（ bx+c），则满足条件的有序实数组（ a， b， c）的组数为 . 解析：对于任意实数 x 都有 2sin（ 3x-3） =asin（ bx+c）， 必有 |a|=2， 若 a=2，则方
11、程等价为 sin（ 3x-3） =sin（ bx+c）， 则函数的周期相同，若 b=3，此时 C=53， 若 b=-3，则 C= 43， 若 a=-2，则方程等价为 sin（ 3x-3） =-sin（ bx+c） =sin（ -bx-c）， 若 b=-3，则 C=3，若 b=3，则 C=23， 综上满足条件的有序实数组（ a， b， c）为（ 2， 3， 53），（ 2， -3， 43），（ -2， -3，3），（ -2， 3， 23）， 共有 4 组， 答案： 4 14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， O 为正八 边形 A1A2 A8 的中心， A1（ 1， 0）任取不同的两点 Ai
12、， Aj，点 P 满足 0ijO P O A O A ，则点 P 落在第一象限的概率是 . 解析：从正八边形 A1A2 A8 的八个顶点中任取两个，基本事件总数为 28 28C 满足 0ijO P O A O A ，且点 P 落在第一象限，对应的 Ai， Aj，为： （ A4， A7），（ A5， A8），（ A5， A6），（ A6， A7），（ A5， A7）共 5 种取法 点 P 落在第一象限的概率是 528P， 答案： 528 二、选择题（ 5 4=20 分） 15. 设 a R，则“ a 1”是“ a2 1”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充
13、分也非必要条件 解析：由 a2 1得 a 1或 a -1， 即“ a 1”是“ a2 1”的充分不必要条件 . 答案： A. 16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ） A. =6+5cos B. =6+5sin C. =6-5cos D. =6-5sin 解析：由图形可知： -2时，取得最大值， 只有 D 满足上述条件 答案： D 17. 已知无穷等比数列 an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且nnlim S S ，下列条件中，使得2Sn S（ n N*）恒成立的是（ ） A a1 0， 0.6 q 0.7 B a1 0， -0.7 q -0.6 C a1 0， 0.7 q
14、 0.8 D a1 0， -0.8 q -0.7 解析： 1 1111nnnnaq aS S l i m Sqq ， -1 q 1， 2Sn S， a1(2qn-1) 0， 若 a1 0，则 12nq，故 A 与 C 不可能成立； 若 a1 0，则 12nq，故 B 成立， D 不成立 答案： B 18. 设 f（ x）、 g（ x）、 h（ x）是定义域为 R 的三个函数，对于命题： f（ x） +g（ x）、 f（ x）+h（ x）、 g（ x） +h（ x）均为增函数，则 f（ x）、 g（ x）、 h（ x）中至少有一个增函数；若 f（ x） +g（ x）、 f（ x） +h（ x）、
15、 g（ x） +h（ x）均是以 T 为周期的函数，则 f（ x）、 g（ x）、 h（ x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A和均为真命题 B和均为假命题 C为真命题，为假命题 D为假命题，为真命题 解析：不成立可举反例： 2 3 02 1 0. 3 0 13 1 2 021xxx x x xf x g x x x h xx x x xxx ， ，（ ） （ ） ， ， （ ）， ， ， f（ x） +g（ x） =f（ x+T） +g（ x+T）， f（ x） +h（ x） =f（ x+T） +h（ x+T）， h（ x） +g（ x） =h（ x+T） +g（ x+T）
16、， 前两式作差可得： g（ x） -h（ x） =g（ x+T） -h（ x+T），结合第三式可得： g（ x） =g（ x+T）， h（ x） =h（ x+T），同理可得： f（ x） =f（ x+T），因此正确 答案： D 三、解答题（ 74 分） 19. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 23， A1B1长为3，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧 （ 1）求三棱锥 C-O1A1B1 的体积； （ 2）求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小 解析：（ 1）连结 O1B1，推导出 O1A1B1 为正三角形，从
17、而 S O1A1B1= 34，由此能求出三棱锥C-O1A1B1 的体积 （ 2）设点 B1 在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，则 BB1 AA1， BB1C 为直线 B1C 与 AA1所成角（或补角），由此能求出直线 B1C 与 AA1 所成角大小 答案：（ 1）连结 O1B1，则 O1A1B1= A1O1B1=3， O1A1B1 为正三角形， S O1A1B1= 34， 1 1 1 1 1 11133 1 2C O A B O A BV O O S （ 2）设点 B1 在下底面圆周的射影为 B，连结 BB1，则 BB1 AA1， BB1C 为直线 B1C 与 AA1 所成角（或补角），
18、 BB1=AA1=1， 连结 BC、 BO、 OC， 1 1 1 23 3 3A O B A O B A O C B O C ， ， BOC 为正三角形， BC=BO=1， tan BB1C=45， 直线 B1C 与 AA1所成角大小为 45 20. 有一块正方形 EFGH， EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F点或河边运走 .于是，菜地分别为两个区域 S1和 S2，其中 S1中的蔬菜运到河边较近， S2中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S1和 S2的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O为 EF 的中点，点 F的坐标为 (1， 0)，如图
19、 (1)求菜地内的分界线 C的方程； (2)菜农从蔬菜运量估计出 S1面积是 S2面积的两倍，由此得到 S1面积的经验值为 83.设 M 是C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于 S1面积的“经验值” . 解析： (1)设分界线上任意一点为 (x， y)，根据条件建立方程关系进行求解即可 . (2)设 M(x0， y0)，则 y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形 FOMGH的面积，进行比较即可 . 答案： (1)设分界线上任意一点为 (x， y)，由题意得 |x+1|= 2 21xy ，得 y=2 x
20、，(0 x 1)， (2)设 M(x0， y0)，则 y0=1， 200144yx ， 设所表述的矩形面积为 S3，则 S3=2 (14+1)=2 5542， 设五边形 EMOGH的面积为 S4，则 S4=S3-S OMP+S MGN= 5 1 1 1 3 1 1112 2 4 2 4 4 ， S1-S3=8 5 13 2 6， S4-S1=1 1 8 1 14 3 1 2 6 ， 五边形 EMOGH的面积更接近 S1的面积 . 21. 双曲线 222 1yx b(b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B两点 . (1) 直线 l的倾斜角为2， F1A
21、B是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设 b= 3 ，若 l的斜率存在， 且11 0F A F B A B（ ）， 求 l的斜率 . 解析： （ 1）利用直线的倾斜角，求出 AB，利用三角形是正三角形，求解 b，即可得到双曲线方程 （ 2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出 A、 B坐标，利用向量的数量积为 0，即可求值直线的斜率 答案： （ 1）双曲线 222 1yx b（ b 0）的左、右焦点分别为 F1， F2， a=1， c2=1+b2， 直线 l过 F2且与双曲线交于 A， B两点， 直线 l的倾斜角为2， F1AB 是等边三角形， 可得： A（ c， b2），可得： 23
22、 222 bc ， 3b4=4（ a2+b2）， 即 3b4-4b2-4=0， b 0，解得 b2=2 所求双曲线方程为： 22 12yx ， 其渐近线方程为 y= 2 x （ 2） b= 3 ，双曲线 22 13yx ，可得 F1（ -2， 0）， F2（ 2， 0） 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），直线的斜率为：2121yykxx， 直线 l的方程为： y=k（ x-2）， 由题意可得： 22213y kx kyx ，消去 y可得：（ 3-k2） x2+4k2x-4k2-3=0， =36（ 1+k2） 0， 可得 212 24 3kxx k ， 则 21 2 1 2 22
23、4 1 244 33kky y k x x k kk （ ） （ ） 1 1 12F A x y（ ， ）， 1 2 22F B x y（ ， ）， 11 0F A F B A B（ ）可得：（ x1+x2+4， y1+y2） （ x1-x2， y1-y2） =0， 可得 x1+x2+4+（ y1+y2） k=0， 得 2224 1 24033kk kkk 可得： 2 35k ， 解得 k= 155 l的斜率为： 155 22. 已知 a R，函数2 1f x lo g ax（ ） （ ） （ 1）当 a=5 时，解不等式 f（ x） 0； （ 2）若关于 x 的方程 f（ x） -log2（
24、 a-4） x+2a-5=0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围 （ 3）设 a 0，若对任意 t 12， 1，函数 f（ x）在区间 t， t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围 解析：（ 1）当 a=5 时，解导数不等式即可 （ 2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论 a 的取值范围进行求解即可 （ 3）根据条件得到 f（ t） -f（ t+1） 1，恒成立，利用换元法进 行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可 答案：（ 1）当 a=5 时，2 1 5f x lo g x（ ） （ ）， 由 f（ x） 0；得2 1 5log x （ ） 0
25、， 即 1x+5 1，则 1x -4，则 1 4 140xxx ，即 x 0 或 x -14， 即不等式的解集为 x|x 0 或 x -14 （ 2）由 f（ x） -log2（ a-4） x+2a-5=0 得 log2（ 1x+a） -log2（ a-4） x+2a-5=0 即 log2（ 1x+a） =log2（ a-4） x+2a-5， 即 1x+a=（ a-4） x+2a-5 0， 则（ a-4） x2+（ a-5） x-1=0， 即（ x+1） （ a-4） x-1=0， 当 a=4 时，方程的解为 x=-1，代入，成立 当 a=3 时，方程的解为 x=-1，代入，成立 当 a 4
26、且 a 3 时，方程的解为 x=-1 或 14x a ， 若 x=-1 是方程的解，则 1x+a=a-1 0，即 a 1， 若 14x a 是方程的解，则 1x+a=2a-4 0，即 a 2， 则要使方程有且仅有一个解，则 1 a 2 综上，若方程 f（ x） -log2（ a-4） x+2a-5=0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是 1 a 2，或 a=3 或 a=4 （ 3）函数 f（ x）在区间 t， t+1上单调递减， 由题意得 f（ t） -f（ t+1） 1， 即2211 11l o g a l o tgat （ ） （ ）， 即 1121ttaa （ ），即 1 2
27、111tt t ta t （ ）设 1-t=r，则 0 r 12， 21 321 21 rrrr rttt r （ ）， 当 r=0 时，2 32rrr=0， 当 0 r 12时，21=232 3rrr rr ， y=r+2r在（ 0， 2 ）上递减， 2 1 9422r r ， 21 1 2=29 332 332rrr rr ， 实数 a 的取值范围是 a 23 23. 若无穷数列 an满足：只要 ap=aq（ p， q N*），必有 ap+1=aq+1，则称 an具有性质 P （ 1）若 an具有性质 P，且 a1=1， a2=2， a4=3， a5=2， a6+a7+a8=21，求 a3
28、； （ 2）若无穷数列 bn是等差数列，无穷数列 cn是公比为正数的等比数列， b1=c5=1； b5=c1=81，an=bn+cn，判断 an是否具有性质 P，并说明理由； （ 3）设 bn是无穷数列，已知 an+1=bn+sinan（ n N*），求证：“对任意 a1， an都具有性质 P”的充要条件为“ bn是常数列” 解析：（ 1）利用已知条件通过 a2=a5=2，推出 a3=a6， a4=a7，转化求解 a3 即可 （ 2）设无穷数列 bn的公差为： d，无穷数列 cn的公比为 q，则 q 0，利用条件求出， d 与q，求出 bn， cn 得到 an的表达式，推出 a2 a6，说明
29、an不具有性质 P （ 3）充分性：若 bn是常数列，设 bn=C，通过 an+1=C+sinan，证明 ap+1=aq+1，得到 an具有性质 P 必要性：若对于任 意 a1， an具有性质 P，得到 a2=b1+sina1，设函数 f（ x） =x-b1， g（ x） =sinx，说明 bn+1=bn，即可说明 bn是常数列 答案：（ 1） a2=a5=2， a3=a6， a4=a7=3， a5=a8=2， a6=21-a7-a8=16， a3=16 （ 2）设无穷数列 bn的公差为： d，无穷数列 cn的公比为 q，则 q 0， b5-b1=4d=80， d=20， bn=20n-19，
30、451181c qc ， q=13， 513nnc 512 0 1 93nn n na b c n a1=a5=82， 而 a2=21+27=48，6 1 3 0 4101 33a a1=a5，但是 a2 a6， an不具有性质 P （ 3）充分性：若 bn是常数列， 设 bn=C，则 an+1=C+sinan， 若存在 p， q 使得 ap=aq，则 ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1， 故 an具有性质 P 必要性：若对于任意 a1， an具有性质 P， 则 a2=b1+sina1， 设函数 f（ x） =x-b1， g（ x） =sinx， 由 f（ x）， g（ x）图象可得，对于任意的 b1，二者图象必有一个交点， 一定能找到一个 a1，使得 a1-b1=sina1， a2=b1+sina1=a1， an=an+1， 故 bn+1=an+2-sinan+1=an+1-sinan=bn， bn是常数列
