1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷 )数学文 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.设 i为虚数单位，则复数 (1+i)2=( ) A.0 B.2 C.2i D.2+2i 解析 ： (1+i)2=1+i2+2i=1-1+2i=2i. 答案 ： C. 2.设集合 A=x|1 x 5， Z为整数集，则集合 A Z中元素的个数是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析 ： 集合 A=x|1 x 5， Z为整数集，则集合 A Z=1， 2， 3， 4， 5.集合 A Z中元素的个数是 5. 答案
2、： B. 3.抛物线 y2=4x的焦点坐标是 ( ) A.(0， 2) B.(0， 1) C.(2， 0) D.(1， 0) 解析 ： 抛物线 y2=4x的焦点坐标是 (1， 0). 答案 ： D 4.为了得到函数 y=sin(x+3)的图象，只需把函数 y=sinx的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动3个单位长度 B.向右平行移动3个单位长度 C.向上平行移动3个单位长度 D.向下平行移动3个单位长度 解析 ：由已知中平移前函数解析式为 y=sinx， 平移后函数解析式为： y=sin(x+3)，可得平移量为向左平行移动3个单位长度 . 答案 ： A 5.设 p：实数 x， y满足 x
3、 1且 y 1， q：实数 x， y满足 x+y 2，则 p是 q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 x 1且 y 1，可得： x+y 2，反之不成立：例如取 x=3， y=12. p是 q的充分不必要条件 . 答案 ： A 6.已知 a为函数 f(x)=x3-12x的极小值点，则 a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 解析： f (x)=3x2-12； x -2时， f (x) 0， -2 x 2时， f (x) 0， x 2时， f (x) 0； x=2是 f(x)的极小值点； 又 a为 f(x)的极小值点， a=
4、2. 答案 ： D 7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 .若该公司 2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是 ( )(参考数据： lg1.12=0.05， lg1.3=0.11， lg2=0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 解析 ：设第 n年开始超过 200万元， 则 130 (1+12%)n-2015 200， 化为： (n-2015)lg1.12 lg2-lg1.3， n-2015 0.30 0.110.05=3.8. 取 n=201
5、9. 因此开始超过 200万元的年份是 2019年 . 答案 ： B. 8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州 (现四川省安岳县 )人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法 .如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n， x的值分别为 3， 2，则输出 v的值为 ( ) A.35 B.20 C.18 D.9 解析 ： 输入的 x=2， n=3， 故 v=1， i=2，满足进行循环的条件， v=4， i=1， 满足进行循环的条件， v=9， i=0， 满足进行循环的条件， v=18， i=-1 不满足进行循环的条件， 故输出的 v
6、值为： 18. 答案 ： C 9.已知正三角形 ABC的边长为 2 3 ，平面 ABC内的动点 P， M满足 |AP |=1， PM MC ，则 |BM |2的最大值是 ( ) A.434B.494C.37 64 3D.37 24 33解析：如图所示，建立直角坐标系 . B(0， 0)， C(2 3 ， 0)， A( 3 ， 3). M满足 |AP |=1， 点 M的轨迹方程为： (x- 3 )2+(y-3)2=1， 令 x= 3 +cos， y=3+sin， 0， 2 ). 又 PM MC ，则 M(31322cos， 31+22sin )， |BM |2=(31322cos )2+(31+
7、22sin )2=374+3sin( +3) 494. |BM |2的最大值是 494. 答案 ： B 10.设直线 l1， l2分别是函数 f(x)= ln 0 1ln 1xxxx， ， ，图象上点 P1， P2处的切线， l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1， l2分别与 y 轴相交于点 A， B，则 PAB的面积的取值范围是 ( ) A.(0， 1) B.(0， 2) C.(0， + ) D.(1， + ) 解析：设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(0 x1 1 x2)， 当 0 x 1时， f (x)=-1x，当 x 1时， f (x)=1x， l1的斜率 k1=-11
8、x ， l2的斜率 k2=21x ， l1与 l2垂直，且 x2 x1 0， k1 k2=-11x 21x =-1，即 x1x2=1. 直线 l1： y=-11x (x-x1)-lnx1， l2： y=21x (x-x2)+lnx2. 取 x=0分别得到 A(0， 1-lnx1)， B(0， -1+lnx2)， |AB|=|1-lnx1-(-1+lnx2)|=|2-(lnx1+lnx2)|=|2-lnx1x2|=2. 联立两直线方程可得交点 P的横坐标为 x=12122xxxx ， S PAB=12|AB| |xP|=12 212122xxxx =122xx =1121xx. 函数 y=x+1
9、x在 (0， 1)上为减函数，且 0 x1 1， 1 11x x 1+1=2，则 01111xx 12， 01121xx 1. PAB的面积的取值范围是 (0， 1). 答案 ： A. 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 25 分 . 11.sin750= . 解析 ： sin750 =sin(2 360 +30 )=sin30 =12. 答案： 12. 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 . 解析 ： 由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积 S=13 2 3 1= 3 ，棱锥的高为 h=1，棱锥的体积 V=13Sh=13 3 1= 33. 答案
10、： 33. 13.从 2， 3， 8， 9中任取两个不同的数字，分别记为 a， b，则 logab为整数的概率是 . 解析：从 2， 3， 8， 9 中任取两个不同的数字，分别记为 a， b， 基本事件总数 n= 24A=12， logab为整数满足的基本事件个数为 (2， 8)， (3， 9)，共 2个， logab为整数的概率 p= 2112 6. 答案： 16. 14.若函数 f(x)是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f(x)=4x，则 f(-52 )+f(2)= . 解析： 函数 f(x)是定义 R上的周期为 2的奇函数，当 0 x 1时， f(x)=4x，
11、f(2)=f(0)=0， f(-52)=f(-52+2)=f(-12)=-f(12)=- 124 =- 4 =-2， 则 f(-52)+f(2)=-2+0=-2. 答案： -2. 15.在平面直角坐标系中，当 P(x， y)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P (22yxy ，22xxy )，当 P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： -若点 A的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”是点 A. -单元圆上的“伴随点”还在单位圆上 . -若两点关于 x轴对称，则他们的“伴随点”关于 y轴对称 若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线 . 其中的真命题是 . 解析：设
12、A(0， 1)，则 A的“伴随点”为 A (1， 0)， 而 A (1， 0)的“伴随点”为 (0， -1)，不是 A，故错误， 若点在单位圆上，则 x2+y2=1， 即 P(x， y)不是原点时，定义 P的“伴随点”为 P(y， -x)， 满足 y2+(-x)2=1，即 P也在单位圆上，故正确， 若两点关于 x轴对称，设 P(x， y)，对称点为 Q(x， -y)， 则 Q(x， -y)的“伴随点”为 Q (22yxy ，22xxy )， 则 Q (22yxy ，22xxy )与 P (22yxy ，22xxy )关于 y轴对称，故正确， (-1， 1)， (0， 1)， (1， 1)三点在
13、直线 y=1上， (-1， 1)的“伴随点”为 ( 111， 111)，即 (12， 12)， (0， 1)的“伴随点”为 (1， 0)， (1， 1的“伴随点”为 ( 111， - 111)，即 (12， -12)， 则 (12， 12)， (1， 0)， (12， -12)三点不在同一直线上，故错误 . 答案： 三、解答题 (共 6小题，满分 75分 ) 16.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量 (单位：吨 )，将数据按照 0， 0.5)，0.5， 1)， 4， 4.5分成 9组，制成了如图所
14、示的频率分布直方图 . (I)求直方图中的 a值； (II)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数 .说明理由； ( )估计居民月均用水量的中位数 . 解析： (I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出 9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为 1求出 a的值； (II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于 3 吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解 . ( )根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值 . 答案： (I) 1=(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04) 0
15、.5，整理可得： 2=1.4+2a， 解得： a=0.3. (II)估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数为 3.6万，理由如下： 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 3 吨的频率为 (0.12+0.08+0.04)0.5=0.12， 又样本容量 =30万， 则样本中月均用水量不低于 3吨的户数为 30 0.12=3.6万 . ( )根据频率分布直方图，得； 0.08 0.5+0.16 0.5+0.30 0.5+0.42 0.5=0.48 0.5， 0.48+0.5 0.52=0.74 0.5， 中位数应在 (2， 2.5组内，设出未知数 x， 令 0.08 0.5+0.16 0
16、.5+0.30 0.5+0.42 0.5+0.52 x=0.5，解得 x=0.038； 中位数是 2+0.06=2.038. 17.如图，在四棱锥 P-ABCD中， PA CD， AD BC， ADC= PAB=90， BC=CD=12AD. (I)在平面 PAD内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由； (II)证明：平面 PAB平面 PBD. 解析： (I)M为 PD的中点，直线 CM平面 PAB.取 AD的中点 E，连接 CM， ME， CE，则 ME PA，证明平面 CME平面 PAB，即可证明直线 CM平面 PAB； (II)证明： BD平面 PAB，即可证明平面 PAB
17、平面 PBD. 答案： (I)M为 PD 的中点，直线 CM平面 PAB. 取 AD的中点 E，连接 CM， ME， CE，则 ME PA， ME 平面 PAB， PA 平面 PAB， ME平面 PAB. AD BC， BC=AE， ABCE是平行四边形， CE AB. CE 平面 PAB， AB 平面 PAB， CE平面 PAB. ME CE=E，平面 CME平面 PAB， CM 平面 CME， CM平面 PAB； (II) PA CD， PAB=90， AB 与 CD 相交， PA平面 ABCD， BD 平面 ABCD， PA BD， 由 (I)及 BC=CD=12AD，可得 BAD= B
18、DA=45， ABD=90， BD AB， PA AB=A， BD平面 PAB， BD 平面 PBD，平面 PAB平面 PBD. 18.在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，且 c o s c o s s inA B Ca b c. ( )证明： sinAsinB=sinC； ( )若 b2+c2-a2=65bc，求 tanB. 解析： ( )将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明 . ( )由余弦定理求出 A 的余弦函数值，利用 ( )的条件，求解 B的正切函数值即可 . 答案： ( )在 ABC中， c o s c o s s inA
19、 B Ca b c， 由正弦定理得： c o s c o s s ins in s in s inA B CA B C， s i nc o s s i n c o s s i n 1s i n s i n s i n s i nABA B B AA B A B ， sin(A+B)=sinC. 整理可得： sinAsinB=sinC， ( )b2+c2-a2=65bc，由余弦定理可得 cosA=35. sinA= 45， cossi 4n 3AA ， c o s c o s s ins in s in s inA B CA B C=1， cossi 4n 1BB ， tanB=4. 19.已知
20、数列 an的首项为 1， Sn为数列 an的前 n项和， Sn+1=qSn+1，其中 q 0， n N+ ( )若 a2， a3， a2+a3成等差数列，求数列 an的通项公式； ( )设双曲线 x2- 22nya=1的离心率为 en，且 e2=2，求 e12+e22+ +en2. 解析： ( )根据题意，由数列的递推公式可得 a2与 a3的值，又由 a2， a3， a2+a3成等差数列，可得 2a3=a2+(a2+a3)，代入 a2与 a3的值可得 q2=2q，解可得 q的值，进而可得 Sn+1=2Sn+1，进而可得 Sn=2Sn-1+1，将两式相减可得 an=2an-1，即可得数列 an是
21、以 1 为首项，公比为 2 的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案； ( )根据题意 Sn+1=qSn+1，同理有 Sn=qSn-1+1，将两式相减可得 an=qan-1，分析可得 an=qn-1；又由双曲线 x2- 22nya=1的离心率为 en，且 e2=2，分析可得 e2= 221 a=2， 解可得 a2的值，由 an=qn-1可得 q的值，进而可得数列 an的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得 en2=1+an2=1+3n-1，运用分组求和法计算可得答案 . 答案： ( )根据题意，数列 an的首项为 1，即 a1=1， 又由 Sn+1=qSn+1，则 S2=qa1+1，则 a
22、2=q， 又有 S3=qS2+1，则有 a3=q2， 若 a2， a3， a2+a3成等差数列，即 2a3=a2+(a2+a3)， 则可得 q2=2q， (q 0)，解可得 q=2，则有 Sn+1=2Sn+1 ， 进而有 Sn=2Sn-1+1 ， -可得 an=2an-1， 则数列 an是以 1为首项，公比为 2的等比数列，则 an=1 2n-1=2n-1； ( )根据题意，有 Sn+1=qSn+1， 同理可得 Sn=qSn-1+1， -可得： an=qan-1， 又由 q 0，则数列 an是以 1 为首项，公比为 q的等比数列，则 an=1 qn-1=qn-1； 若 e2=2，则 e2= 2
23、21 a=2，解可得 a2= 3 ， 则 a2=q= 3 ，即 q= 3 ， an=1 qn-1=qn-1=( 3 )n-1，则 en2=1+an2=1+3n-1， 故 e12+e22+ +en2=n+(1+3+32+ +3n-1)= 312nn . 20.已知椭圆 E： 22xyab=1(a b 0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P( 3 ， 12)在椭圆 E上 . ( )求椭圆 E的方程； ( )设不过原点 O且斜率为 12的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 A， B，线段 AB的中点为 M，直线 OM 与椭圆 E交于 C， D，证明： |MA| |MB|=|MC|
24、|MD|. 解析： ( )由题意可得 a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得 a， b得答案； ( )设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及 AB 中点坐标，得到 OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出 C， D的坐标，把 |MA| |MB|化为 12|AB|2，再由两点间的距离公式求得 |MC| |MD|的值得答案 . 答案： ( )如图， 由题意可得 2 2 22223 1 4 1aba b cab ，解得 2241ab ，椭圆 E的方程为 24x+y2=1； ( )证明：设 AB 所在直线方程为 y=12x+m， 联立221214y x mx y ，得 x2+2mx
25、+2m2-2=0. =4m2-4(2m2-2)=8-4m2 0，即 - 2 m 2 . 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)， 则 x1+x2=-2m， x1x2=2m2-2， |AB|= 2 2 2 21 2 1 2 1 21 4 4 4 2 2 1 0 51 5 54 4 4x x x x x x m m m . x0=-m， y0=12x0+m=2m，即 M(-m，2m)， 则 OM所在直线方程为 y=-12x， 联立221214yxx y ，得222xy ，或2 .22xy ， C(- 2 ， 22)， D( 2 ， - 22). 则 |MC| |MD|=
26、 222222222 2mmmm = 22 2 2 25 5 5 5 5 5 5 5 5 5224 2 2 4 2 2 2 4 2 4m m m m m m . 而 |MA| |MB|=(12|AB|)2=14(10-5m2)=5524m. |MA| |MB|=|MC| |MD|. 21.设函数 f(x)=ax2-a-lnx， g(x)=1xexe ，其中 a R， e=2.718为自然对数的底数 . ( )讨论 f(x)的单调性； ( )证明：当 x 1时， g(x) 0； ( )确定 a的所有可能取值，使得 f(x) g(x)在区间 (1， + )内恒成立 . 解析： ( )求导数，分类讨
27、论，即可讨论 f(x)的单调性； ( )要证 g(x) 0(x 1)，即 1xexe 0，即证 1xexe ，也就是证 xe ex ； ( )由 f(x) g(x)，得 ax2-a-lnx-1x+e1-x 0，设 t(x)=ax2-a-lnx-1x+e1-x，由题意知， t(x) 0在 (1， + )内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定 a的取值范围 . 答案： ( )由 f(x)=ax2-a-lnx，得 f (x)=2ax- 21 2 1axxx(x 0)， 当 a 0时， f (x) 0在 (0， + )成立，则 f(x)为 (0， + )上的减函数； 当 a 0时，由 f (x)=0，
28、得 x= 1222aaa ， 当 x (0， 22aa)时， f (x) 0，当 x ( 22aa， + )时， f (x) 0， 则 f(x)在 (0， 22aa)上为减函数，在 ( 22aa， + )上为增函数； 综上，当 a 0 时， f(x)为 (0， + )上的减函数，当 a 0 时， f(x)在 (0， 22aa)上为减函数，在 ( 22aa， + )上为增函数； ( )证明：要证 g(x) 0(x 1)，即 1xexe 0， 即证 1xexe ，也就是证 xe ex ， 令 h(x)= xex，则 h (x)= 21xexx ， h(x)在 (1， + )上单调递增，则 h(x)
29、min=h(1)=e， 即当 x 1时， h(x) e，当 x 1时， g(x) 0； ( )由 f(x) g(x)，得 ax2-a-lnx-1x+e1-x 0， 设 t(x)=ax2-a-lnx-1x+e1-x， 由题意知， t(x) 0在 (1， + )内恒成立， t(1)=0， 有 t (x)=2ax-1x+21x -e1-x=2ax+21 xx -e1-x 0在 (1， + )内恒成立， 令 (x)=2ax+21 xx -e1-x，则 (x)=2a+21x -32x +e1-x=2a+32xx +e1-x， 当 x 2时， (x) 0， 令 h(x)=32xx ， h (x)=426xx，函数在 1， 2)上单调递增， h(x)min=h(1)=-1. 又 2a 1， e1-x 0， 1 x 2， (x) 0， 综上所述， x 1， (x) 0， (x)在区间 (1， + )单调递增， t (x) t (1) 0，即 t(x)在区间 (1， + )单调递增， a 12.
