1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷 )数学理 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.设集合 A=x|-2 x 2， Z为整数集，则 A Z中元素的个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 ： A=x|-2 x 2， Z为整数集， A Z=-2， -1， 0， 1， 2，则 A Z中元素的个数是 5. 答案 ： C. 2.设 i为虚数单位，则 (x+i)6的展开式中含 x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 解析 ： (x+i)6的展开式中含
2、 x4的项为 46Cx4 i2=-15x4. 答案 ： A 3.为了得到函数 y=sin(2x-3)的图象，只需把函数 y=sin2x的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动3个单位长度 B.向右平行移动3个单位长度 C.向左平行移动6个单位长度 D.向右平行移动6个单位长度 解析：把函数 y=sin2x 的图象向右平移6个单位长度，可得函数 y=sin2(x-6)=sin(2x-3)的图象 . 答案 ： D. 4.用数字 1， 2， 3， 4， 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( ) A.24 B.48 C.60 D.72 解析：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 1，
3、 3， 5中的一个数，共有 3种排法， 然后还剩 4个数，剩余的 4个数可以在十位到万位 4个位置上全排列，共有 44A=24种排法 . 由分步乘法计数原理得，由 1、 2、 3、 4、 5 组成的无重复数字的五位数中奇数有 3 24=72个 . 答案 ： D 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 .若该公司 2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是 ( ) (参考数据： lg1.12=0.05， lg1.3=0.11， lg2=0.30) A.2018年 B.2019年 C.2
4、020年 D.2021年 解析：设第 n年开始超过 200万元， 则 130 (1+12%)n-2015 200， 化为： (n-2015)lg1.12 lg2-lg1.3， n-2015 0.30 0.110.05=3.8.取 n=2019. 因此开始超过 200万元的年份是 2019年 . 答案 ： B. 6.秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n， x的值分别为 3， 2，则输出 v的值为 ( ) A.9 B.18 C.20 D.35 解析：初始值 n=3， x=2，程序运行过程如下 所示： v=1 i=2 v=12+2=4 i=1 v=42+1=9 i=0 v=92+0=18 i
5、=-1 跳出循环，输出 v的值为 18. 答案 ： B 7.设 p：实数 x， y满足 (x-1)2+(y-1)2 2， q：实数 x， y满足 111yxyxy ，则 p是 q的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ： (x-1)2+(y-1)2 2表示以 (1， 1)为圆心，以 2为半径的圆内区域 (包括边界 )； 满足 111yxyxy ，的可行域如图有阴影部分所示， 故 p是 q的必要不充分条件 . 答案 ： A 8.设 O为坐标原点， P是以 F为焦点的抛物线 y2=2px(p 0)上任意一点， M是线段 PF上的点，且 |P
6、M|=2|MF|，则直线 OM的斜率的最大值为 ( ) A. 33B.23C. 22D.1 解析：由题意可得 F(2p， 0)，设 P( 202yp， y0)， 显然当 y0 0， kOM 0；当 y0 0， kOM 0. 要求 kOM的最大值，设 y0 0， 则 1133O M O F F M O F F P O F O P O F =1233OP OF=( 2063y pp ， 03y) 可得 kOM=0200 00 02232 226322yy py p y ppyp py ， 当且仅当 y02=2p2，取得等号 . 答案 ： C 9.设直线 l1， l2分别是函数 f(x)= ln 0
7、 1ln 1xxxx， ， ，图象上点 P1， P2处的切线， l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1， l2分别与 y轴相交于点 A， B，则 PAB的面积的取值范围是 ( ) A.(0， 1) B.(0， 2) C.(0， + ) D.(1， + ) 解析：设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(0 x1 1 x2)， 当 0 x 1时， f (x)=-1x，当 x 1时， f (x)=1x， l1的斜率 k1=-11x ， l2的斜率 k2=21x ， l1与 l2垂直，且 x2 x1 0， k1 k2=-11x 21x =-1，即 x1x2=1. 直线 l1： y=-11x
8、(x-x1)-lnx1， l2： y=21x (x-x2)+lnx2. 取 x=0分别得到 A(0， 1-lnx1)， B(0， -1+lnx2)， |AB|=|1-lnx1-(-1+lnx2)|=|2-(lnx1+lnx2)|=|2-lnx1x2|=2. 联立两直线方程可得交点 P的横坐标为 x=12122xxxx ， S PAB=12|AB| |xP|=12 212122xxxx =122xx =1121xx. 函数 y=x+1x在 (0， 1)上为减函数，且 0 x1 1， 1 11x x 1+1=2，则 01111xx 12， 01121xx 1. PAB的面积的取值范围是 (0， 1
9、). 答案 ： A. 10.在平面内，定点 A， B， C， D满足 D A D B D C， D A D B D B D C D C D A =-2，动点 P， M满足 |AP|=1， PM MC ，则 |BM |2的最大值是 ( ) A.434B.494C.37 6 34D.37 2 334解析：由 D A D B D C，可得 D为 ABC的外心， 又 D A D B D B D C D C D A ，可得 0D B D A D C ， D C D B D A， 即 0D B A C D C A B ， 即有 DB AC， DC AB，可得 D为 ABC的垂心， 则 D为 ABC的中心，
10、即 ABC为正三角形 . 由 DA DB =-2，即有 DA DA cos120 =-2，解得 DA =2， ABC的边长为 4cos30 =2 3 ， 以 A为坐标原点， AD 所在直线为 x轴建立直角坐标系 xOy， 可得 B(3， - 3 )， C(3， 3 )， D(2， 0)， 由 |AP |=1，可设 P(cos， sin )， (0 2 )， 由 PM MC ，可得 M为 PC 的中点，即有 M(3 cos2 ， 3 cos2 )， 则 2 223 c o s s i n3 3( ) ( 3 )22BM = 22 3 s i n3 c o s 3 7 6 c o s 6 s i
11、n443 34 = 3 7 1 2 s in ()64， 当 sin( -6)=1，即 =23时，取得最大值，且为 494. 答案 ： B 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分 . 11.cos28-sin28= . 解析： cos28-sin28=cos(28)=cos 242 . 答案： 2212.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2次试验中成功次数 X的均值是 . 解析 ：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功， 这次试验成功的概率 p=1-(12)2=34， 在 2次试验中成功次数 X
12、B(2， 34)， 在 2次试验中成功次数 X的均值 E(X)=2 34=32. 答案： 32. 13.已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 . 解析：三棱锥的四个面都是腰长为 2的等腰三角形， 结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为 2 3 ，高为 1， 棱锥的高为 1，故棱锥的体积 V=13 (12 2 3 1) 1= 33. 答案： 3314.已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f(x)=4x，则 f(-52 )+f(1)= . 解析： f(x)是定义在 R上周期为 2的奇函数
13、， f(-52)=f(-2-12)=f(-12)=-f(12)， x (0， 1)时， f(x)=4x， f(-52)=-2， f(x)是定义在 R上周期为 2的奇函数， f(-1)=f(1)， f(-1)=-f(1)， f(1)=0， f(-52)+f(1)=-2. 答案： -2 15.在平面直角坐标系中，当 P(x， y)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P (22yxy ，22xxy )；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C定义为曲线 C的“伴随曲线” .现有下列命题： 若点 A的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”
14、是点 A； 单位圆的“伴随曲线”是它自身； 若曲线 C关于 x轴对称，则其“伴随曲线” C关于 y轴对称； 一条直线的“伴随曲线”是一条直线 . 其中的真命题是 (写出所有真命题的序列 ). 解析：若点 A(x， y)的“伴随点”是点 A (22yxy ，22xxy )，则点 A (22yxy ，22xxy )的“伴随点”是点 (-x， -y)，故不正确； 由可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确； 若曲线 C 关于 x 轴对称，点 A(x， y)关于 x 轴的对称点为 (x， -y)，“伴随点”是点 A(22yxy ，22xxy )，则其“伴随曲线” C关于 y轴对称，故正确； 设直线方
15、程为 y=kx+b(b 0)，点 A(x， y)的“伴随点”是点 A (m， n)，则 点 A(x， y)的“伴随点”是点 A (22yxy ，22xxy )， nxmy ， x=- bnkn m ，y= bmkn m， m=22yxy ，代入整理可得 22 1km n nb =0表示圆，故不正确 . 答案： . 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x(吨 )，一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x的部
16、分按议价收费 .为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量 (单位：吨 )，将数据按照 0， 0.5)， 0.5， 1)， 4， 4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图 . ( )求直方图中 a的值； ( )设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数，并说明理由； ( )若该市政府希 望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x(吨 )，估计 x的值，并说明理由 . 解析： ( )根据各组的累积频率为 1，构造方程，可得 a值； ( )由图可得月均用水量不低于 3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于 3吨的人数； ( )由图可得
17、月均用水量低于 2.5吨的频率及月均用水量低于 3吨的频率，进而可得 x值 . 答案： ( ) 0.5 (0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1， a=0.3； ( )由图可得月均用水量不低于 3吨的频率为： 0.5 (0.12+0.08+0.04)=0.12， 由 30 0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数约为 3.6万； ( )由图可得月均用水量低于 2.5 吨的频率为： 0.5 (0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.7385%； 月均用水量低于 3吨的频率为： 0.5 (0.08+0.16+0.3+0.4+0.
18、52+0.3)=0.88 85%； 则 x=2.5+0.5 0.85 0.730.3 0.5=2.9吨 . 17.在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，且 c o s c o s s i nA B Ca b c. ( )证明： sinAsinB=sinC； ( )若 b2+c2-a2=65bc，求 tanB. 解析： ( )将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明 . ( )由余弦定理求出 A 的余弦函数值，利用 ( )的条件，求解 B的正切函数值即可 . 答案： ( )在 ABC中， c o s c o s s i nA B Ca b c
19、， 由正弦定理得： c o s c o s s i ns i n s i n s i nA B CA B C， s i nc o s s i n c o s s i n 1s i n s i n s i n s i nABA B B AA B A B ， sin(A+B)=sinC.整理可得： sinAsinB=sinC， ( )b2+c2-a2=65bc，由余弦定理可得 cosA=35. sinA= 45， cossi 4n 3AA ， c o s c o s s i ns i n s i n s i nA B CA B C=1， cossi 4n 1BB ， tanB=4. 18.如图，在
20、四棱锥 P-ABCD中， PA CD， AD BC， ADC= PAB=90， BC=CD=12AD. (I)在平面 PAD内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由； ( )若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE所成角的正弦值 . 解析： (I)延长 AB交直线 CD 于点 M，由点 E为 AD的中点，可得 AE=ED=12AD，由 BC=CD=12AD，可得 ED=BC，已知 ED BC.可得四边形 BCDE为平行四边形，即 EB CD.利用线面平行的判定定理证明得直线 CM平面 PBE即可 . (II)如图所示，由 ADC= PAB=90，异面直线
21、 PA 与 CD 所成的角为 90 AB CD=M，可得AP平面 ABCD.由 CD PD， PA AD.因此 PDA是二面角 P-CD-A的平面角，大小为 45 .PA=AD.不妨设 AD=2，则 BC=CD=12AD=1.可得 P(0， 0， 2)， E(0， 1， 0)， C(-1， 2， 0)，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出 . 答案： (I)延长 AB交直线 CD于点 M，点 E为 AD的中点， AE=ED=12AD， BC=CD=12AD， ED=BC， AD BC，即 ED BC.四边形 BCDE为平行四边形，即 EB CD. AB CD=M， M CD，
22、 CM BE， BE 平面 PBE， CM平面 PBE， M AB， AB 平面 PAB， M平面 PAB，故在平面 PAB内可以找到一点 M(M=AB CD)，使得直线 CM平面 PBE. (II)如图所示， ADC= PAB=90，异面直线 PA 与 CD所成的角为 90， AB CD=M， AP平面 ABCD. CD PD， PA AD. 因此 PDA是二面角 P-CD-A的平面角，大小为 45 . PA=AD. 不妨设 AD=2，则 BC=CD=12AD=1. P(0， 0， 2)， E(0， 1， 0)， C(-1， 2， 0)， EC =(-1， 1， 0)， PE =(0， 1，
23、 -2)， AP =(0， 0， 2)， 设平面 PCE的法向量为 n =(x， y， z)，则 00n PEn EC ，可得： 200yzxy ，令 y=2，则 x=2， z=1， n =(2， 2， 1). 设直线 PA与平面 PCE 所成角为，则 sin =|cos AP ， n |= 21392A P nA P n . 19.已知数列 an的首项为 1， Sn为数列 an的前 n项和， Sn+1=qSn+1，其中 q 0， n N*. ( )若 2a2， a3， a2+2成等差数列，求 an的通项公式； ( )设双曲线 222nyxa=1的离心率为 en，且 e2=53，证明： e1+
24、e2+.+en1433nnn . 解析： ( )由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列 an为首项等于 1、公比为 q的等比数列，再根据 2a2， a3， a2+2成等差数列求得公比 q的值，可得 an的通项公式 . ( )利用双曲线的定义和简单性质求得 en= 21na，根据 e2= 25 13 q，求得 q的值，可得 an的解析式，再利用放缩法可得 en= 21na (43)n-1，从而证得不等式成立 . 答案： ( ) Sn+1=qSn+1，当 n 2时， Sn=qSn-1+1 ，两式相加你可得 an+1=q an， 即从第二项开始，数列 an为等比数列，公比为 q. 当 n=1时，数
25、列 an的首项为 1， a1+a2=S2=q a1+1， a2=q=a1 q， 数列 an为等比数列，公比为 q. 2a2， a3， a2+2成等差数列， 2q+q+2=2q2，求得 q=2，或 q=-12. 根据 q 0，故取 q=2， an=2n-1， n N*. ( )设双曲线 222nyxa=1的离心率为 en， en= 2 21 11 n na a . 由于数列 an为首项等于 1、公比为 q的等比数列， e2=53= 22211aq ， q=43， an=(43)n-1， en= 21na= 2 2 2 2 14 4 43 3 31nn n . e1+e2+.+en 1+43+(4
26、3)2+ +(43)n-1=11 43314343nnnn ，原不等式得证 . 20.已知椭圆 E： 22xyab=1(a b 0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3个顶点，直线 l： y=-x+3与椭圆 E有且只有一个公共点 T. ( )求椭圆 E的方程及点 T的坐标； ( )设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、 B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数，使得 |PT|2= |PA| |PB|，并求的值 . 解析： ( )根据椭圆的短轴端点 C与左右焦点 F1、 F2构成等腰直角三角形，结合直线 l与椭圆 E只有一个交点， 利用判别式 =0
27、，即可求出椭圆 E的方程和点 T的坐标； ( )设出点 P的坐标，根据 l OT写出 l的参数方程，代人椭圆 E的方程中，整理得出方程， 再根据参数的几何意义求出 |PT|2、 |PA|和 |PB|，由 |PT|2= |PA| |PB|求出的值 . 答案： ( )设短轴一端点为 C(0， b)，左右焦点分别为 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，其中 c 0，则 c2+b2=a2； 由题意， F1F2C为直角三角形， |F1F2|2=|F1C|2+|F2C|2，解得 b=c= 22a，椭圆 E的方程为 222xybb=1； 代人直线 l： y=-x+3，可得 3x2-12x+18-2b2=
28、0， 又直线 l与椭圆 E只有一个交点，则 =122-4 3(18-2b2)=0，解得 b2=3， 椭圆 E的方程为 2263xy=1； 由 b2=3，解得 x=2，则 y=-x+3=1，所以点 T的坐标为 (2， 1)； ( )设 P(x0， 3-x0)在 l上，由 kOT=12， l平行 OT， 得 l的参数方程为 0023x x ty x t ，代人椭圆 E中，得 (x0+2t)2+2(3-x0+t)2=6，整理得 2t2+4t+x02-4x0+4=0； 设两根为 tA， tB，则有 tA tB= 20 22x ； 而 |PT|2=( 22002 3 1xx )2=2(x0-2)2， |
29、PA|= 220 0 0 02 3 3AAx t x x t x =| 5 tA|， |PB|= 0 0 0 02 3 3BBx t x x t x =| 5 tB|， 且 |PT|2= |PA| |PB|， = 2PTPA PB= 20202245 522xx ，即存在满足题意的值 . 21.设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R. ( )讨论 f(x)的单调性； ( )确定 a 的所有可能取值，使得 f(x) 1x-e1-x在区间 (1， + )内恒成立 (e=2.718为自然对数的底数 ). 解析： (I)利用导数的运算法则得出 f (x)，通过对 a分类讨论，利用一元二次方
30、程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性； ( )令 g(x)=f(x)-1x-e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a，可得 g(1)=0，从而 g (1) 0，解得 a 12， 当 a 12时， F (x)= 3112 3 31 2 22 xxxxa e ex x x ，可得 F (x)在 a 12 时恒大于 0，即 F(x)在 x (1， + )单调递增 .由 F(x) F(1)=2a-1 0，可得 g(x)也在 x (1， + )单调递增，进而利用 g(x) g(1)=0，可得 g(x)在 x (1， + )上恒大于 0，综合可得 a所有可能取值 . 答案： ( )由题意， f
31、(x)= 21 2 12 axaxxx， x 0， 当 a 0时， 2ax2-1 0， f (x) 0， f(x)在 (0， + )上单调递减 . 当 a 0时， f (x)=11222a x xaax ，当 x (0， 12a)时， f (x) 0， 当 x ( 12a， + )时， f (x) 0， 故 f(x)在 (0， 12a)上单调递减，在 ( 12a， + )上单调递增 . ( )原不等式等价于 f(x)-1x+e1-x 0在 x (1.+ )上恒成立， 一方面，令 g(x)=f(x)-1x+e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a， 只需 g(x)在 x (1.+ )上恒大于
32、 0即可， 又 g(1)=0，故 g (x)在 x=1处必大于等于 0. 令 F(x)=g (x)=2ax-1x+21x -e1-x， g (1) 0，可得 a12 . 另一方面，当 a 12时， F (x)= 31 1 12 3 2 3 31 2 1 2 221 x x xxxa e e ex x x x x ， x (1， + )，故 x3+x-2 0，又 e1-x 0，故 F (x)在 a 12时恒大于 0. 当 a 12时， F(x)在 x (1， + )单调递增 . F(x) F(1)=2a-1 0，故 g(x)也在 x (1， + )单调递增 . g(x) g(1)=0，即 g(x)在 x (1， + )上恒大于 0. 综上， a 12.
