1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 )数学文 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1.已知集合 A=1， 2， 3， B=y|y=2x-1， x A，则 A B=( ) A.1， 3 B.1， 2 C.2， 3 D.1， 2， 3 解析 ：根据题意，集合 A=1， 2， 3，而 B=y|y=2x-1， x A， 则 B=1， 3， 5，则 A B=1， 3. 答案 ： A. 2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是 13，则甲不输的概率为 ( ) A.56B.25C.16D.13解析：甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件 . 根据互斥
2、事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P=13+12=56. 答案 ： A 3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧 (左 )视图为 ( ) A. B. C. D. 解析： 由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D-AD1C， 棱 CD1在左侧面的投影为 BA1. 答案 ： B 4.已知双曲线 22xyab=1(a 0， b 0)的焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0垂直，则双曲线的方程为 ( ) A. 2 24x y=1 B. 224yx =1 C. 223320 5xy=1 D. 22335 20xy=1 解析
3、：双曲线 22xyab=1(a 0， b 0)的焦距为 2 5 ， c= 5 ， 双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0垂直， 12ba， a=2b， c2=a2+b2， a=2， b=1，双曲线的方程为 224yx =1. 答案 ： A. 5.设 x 0， y R，则“ x y”是“ x |y|”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 设 x 0， y R，当 x=0， y=-1 时，满足 x y 但不满足 x |y|，故由 x 0， y R，则“ x y”推不出“ x |y|”，而“ x |y|” “ x y”， 故“ x y”
4、是“ x |y|”的必要不充分条件 . 答案 ： C. 6.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，且在区间 (-， 0)上单调递增，若实数 a 满足 f(2|a-1|) f(- 2 )，则 a的取值范围是 ( ) A.(-， 12) B.(-， 12) (32， + ) C.(12， 32) D.(32， + ) 解析 ： f(x)是定义在 R上的偶函数，且在区间 (-， 0)上单调递增， f(x)在 (0， + )上单调递减 . 2|a-1| 0， f(- 2 )=f( 2 )， 2|a-1| 2 = 12 . |a-1| 12，解得 12 a 32. 答案 ： C 7.已知 ABC 是边长
5、为 1 的等边三角形，点 D、 E 分别是边 AB、 BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 AF BC 的值为 ( ) A.-58B.18C.14D.118解析：如图， D、 E分别是边 AB、 BC的中点，且 DE=2EF， 1322A F B C A D D F B C B A D E B C = 1 3 1 3 32 4 2 4 4B A A C B C B A B C B A B C = 25 3 5 34 4 4 4B A B C B C B A B C B C = 253c o s 6 0 144B A B C = 5 1 3 1114 2 4 8 .
6、答案 ： B. 8.已知函数 f(x)=sin22x+12sinx -12( 0)， x R，若 f(x)在区间 (， 2 )内没有零点，则的取值范围是 ( ) A.(0， 18 B.(0， 14 58， 1) C.(0， 58 D.(0， 18 14， 58 解析：函数 f(x)=sin22x+12sinx -12= 1 c o s 1 1 2s i n s i n (2 2 2 2 4 )x xx ， 由 f(x)=0，可得 sin( x-4)=0，解得 x= 4k (， 2 )， (18， 14) (58， 54) (98， 94) =(18， 14) (58， + )， f(x)在区间
7、 (， 2 )内没有零点， (0， 18 14， 58. 答案 ： D 二、填空题本大题 6小题，每题 5分，共 30分 9.i是虚数单位，复数 z满足 (1+i)z=2，则 z的实部为 . 解析 ：由 (1+i)z=2，得 z= 2 1 2 121 1 1 2iii i i =1-i， z的实部为 1. 答案： 1. 10.已知函数 f(x)=(2x+1)ex， f (x)为 f(x)的导函数，则 f (0)的值为 . 解析 ： f(x)=(2x+1)ex， f (x)=2ex+(2x+1)ex， f (0)=2e0+(2 0+1)e0=2+1=3. 答案： 3. 11.阅读如图所示的程序框
8、图，运行相应的程序，则输出 S的值为 . 解析 ：第一次循环： S=8， n=2； 第二次循环： S=2， n=3； 第三次循环： S=4， n=4， 结束循环，输出 S=4. 答案： 4. 12.已知圆 C的圆心在 x轴正半轴上，点 (0， 5 )圆 C上，且圆心到直线 2x-y=0的距离为 455，则圆 C的方程为 . 解析：由题意设圆的方程为 (x-a)2+y2=r2(a 0)， 由点 M(0， 5 )在圆上，且圆心到直线 2x-y=0的距离为 455， 得2252 4555ara ，解得 a=2， r=3.圆 C的方程为： (x-2)2+y2=9. 答案： (x-2)2+y2=9. 1
9、3.如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E， BE=2AE=2， BD=ED，则线段 CE 的长为 . 解析：如图， 过 D作 DH AB于 H， BE=2AE=2， BD=ED， BH=HE=1，则 AH=2， BH=1， DH2=AH-BH=2，则 DH= 2 ， 在 Rt DHE中，则 DE=DH2+HE2=2+1=3， 由相交弦定理可得： CE DE=AE EB， CE= AE EBDE=123 =333 . 答案： 33314.已知函数 2 4 3 3 0l o g 1 1 0 ,f x x a x a xa x x （ ） ， ，(a 0，且 a 1)在 R上单
10、调递减，且关于x的方程 |f(x)|=2-3x恰有两个不相等的实数解，则 a的取值范围是 . 解析： f(x)是 R上的单调递减函数， y=x2+(4a-3)x+3a在 (- .， 0)上单调递减， y=loga(x+1)+1 在 (0， + )上单调递减， 且 f(x)在 (-， 0)上的最小值大于或等于 f(0). 34020131aaa ， ，解得 13 a 34.作出 y=|f(x)|和 y=2-3x的函数草图如图所示： |f(x)|=2-3x恰有两个不相等的实数解， 3a 2，即 a 23.综上， 13 a 23. 答案 ： 13， 23). 三、解答题：本大题共 6小题， 80分
11、15.在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 asin2B= 3 bsinA. (1)求 B； (2)已知 cosA=13，求 sinC的值 . 解析： (1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB； (2)求出 sinA，利用两角和的正弦函数公式计算 . 答案： (1) asin2B= 3 bsinA， 2sinAsinBcosB= 3 sinBsinA， cosB= 32， B=6. (2) cosA=13， sinA=223， sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 2 2 3 1 1 2 6 13 2 2 3 6 . 16. 某
12、化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A， B， C三种主要原料，生产 1扯皮甲种肥料和生产 1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示： 现有 A种原料 200吨， B种原料 360吨， C种原料 300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料 .已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车品乙种肥料，产生的利润为 3万元、分别用 x， y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 . (1)用 x， y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润 . 解析： (1)根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域； (2)令利润 z=2x+3
13、y，则 y= 233zx，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优解 . 答案： (1)x， y满足的条件关系式为：4 5 2 0 08 5 3 6 03 1 0 3 0 000xyxyxyxy ，作出平面区域如图所示： (2)设利润为 z万元，则 z=2x+3y. y= 233zx. 当直线 y= 233zx经过点 B时，截距3z最大，即 z最大 . 解方程组 4 5 2 0 03 1 0 3 0 0xy，得 B(20， 24). z的最大值为 2 20+3 24=112. 答：当生产甲种肥料 20吨，乙种肥料 24吨时，利润最大，最大利润为 112万元 . 17.如图，四边形 ABCD
14、 是平行四边形，平面 AED平面 ABNCD， EF AB， AB=2， BC=EF=1， AE=6 ， BAD=60， G 为 BC的中点 . (1)求证： FG平面 BED； (2)求证：平面 BED平面 AED； (3)求直线 EF与平面 BED所成角的正弦值 . 解析： (1)利用中位线定理，和平行公理得到四边形 OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明； (2)根据余弦定理求出 BD= 3 ，继而得到 BD AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明； (3)先判断出直线 EF与平面 BED 所成的角即为直线 AB与平面 BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求
15、出答案 . 答案： (1)BD 的中点为 O，连接 OE， OG，在 BCD 中， G是 BC的中点， OG DC，且 OG=12DC=1， 又 EF AB， AB DC， EF OG，且 EF=0G， 即四边形 OGEF是平行四边形， FG OE， FG 平面 BED， OE 平面 BED， FG平面 BED； (2)在 ABD中， AD=1， AB=2， BAD=60， 由余弦定理可得 BD= 3 ，仅而 ADB=90，即 BD AD， 又平面 AED平面 ABCD， BD 平面 ABCD，平面 AED平面 ABCD=AD， BD平面 AED， BD 平面 BED，平面 BED平面 AED
16、. ( ) EF AB，直线 EF与平面 BED所成的角即为直线 AB 与平面 BED所形成的角， 过点 A作 AH DH 于点 H，连接 BH， 又平面 BED平面 AED=ED， 由 (2)知 AH平面 BED，直线 AB 与平面 BED所成的为 ABH， 在 ADE， AD=1， DE=3， AE= 6 ，由余弦定理得 cos ADE=23， sin ADE= 53， AH=AD 53， 在 Rt AHB中， sin ABH= 56AHAB，直线 EF 与平面 BED所成角的正弦值 56. 18.已知 an是等比数列，前 n项和为 Sn(n N*)，且1 2 31 1 2a a a， S
17、6=63. (1)求 an的通项公式； (2)若对任意的 n N*， bn是 log2an和 log2an+1的等差中项，求数列 (-1)nbn2的前 2n项和 . 解析： (1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q，利用求和公式解出 a1，得出通项公式； (2)利用对数的运算性质求出 bn，使用分项求和法和平方差公式计算 . 答案： (1)设 an的公比为 q，则21 1 11 1 2a a q a q ，即2121 qq ，解得 q=2或 q=-1. 若 q=-1，则 S6=0，与 S6=63矛盾，不符和题意 . q=2， S6= 61 1212a =63， a1=1. an=2n-1
18、. (2) bn是 log2an和 log2an+1的等差中项， bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n-1+log22n)=n-12. bn+1-bn=1. bn是以 12为首项，以 1为公差的等差数列 . 设 (-1)nbn2的前 n项和为 Tn，则 Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+ +(-b2n-12+b2n2) =b1+b2+b3+b4+b 2n-1+b2n = 12 112222222nnbbnn =2n2. 19.设椭圆 222 3xya =1(a 3 )的右焦点为 F，右顶点为 A，已知 1 1 3 eO F O A F A，其中O为原
19、点， e为椭圆的离心率 . (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A的直线 l 与椭圆交于 B(B不在 x轴上 )，垂直于 l的直线与 l交于点 M，与 y轴交于点 H，若 BF HF，且 MOA= MAO，求直线 l的斜率 . 解析： (1)由题意画出图形，把 |OF|、 |OA|、 |FA|代入 1 1 3 eO F O A F A，转化为关于 a的方程，解方程求得 a 值，则椭圆方程可求； (2)由已知设直线 l的方程为 y=k(x-2)， (k 0)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B的坐标，再写出 MH所在直线方程，求出 H的坐标，由 BF
20、HF，得 BF HF =(1-x1， -y1) (1， -yH)=0，整理得到 M的坐标与 k的关系，由 MOA= MAO，得到 x0=1，转化为关于 k的等式求得 k的值 . 答案： (1)由 1 1 3 eO F O A F A，得22 233113 3aaaa aa， 即 222 23 3 3 3 3a a aaa a a a ， aa2-(a2-3)=3a(a2-3)，解得 a=2.椭圆方程为 2243xy=1. (2)由已知设直线 l的方程为 y=k(x-2)， (k 0)， 设 B(x1， y1)， M(x0， k(x0-2)， MOA= MAO， x0=1，再设 H(0， yH)
21、， 联立 222143y k xxy ，得 (3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0. =(-16k2)2-4(3+4k2)(16k2-12)=144 0. 由根与系数的关系得 2x1= 2216 1234k k ， x1= 228634k k ， y1=k(x1-2)=21234kk ， MH所在直线方程为 y-k(x0-2)=-1k(x-x0)， 令 x=0，得 yH=(k+1k)x0-2k， BF HF， BF HF =(1-x1， -y1) (1， -yH)=0， 即 1-x1+y1yH= 2228 6 1 21 3 4 3 4kkkk(k+1k )x0-2k=0， 整理得：
22、 x0= 229 2012 1kk=1，即 8k2=3. k=- 64或 k= 64. 20.设函数 f(x)=x3-ax-b， x R，其中 a， b R. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)存在极值点 x0，且 f(x1)=f(x0)，其中 x1 x0，求证： x1+2x0=0； (3)设 a 0，函数 g(x)=|f(x)|，求证： g(x)在区间 -1， 1上的最大值不小于 14. 解析： (1)求出 f(x)的导数，讨论 a 0时 f (x) 0， f(x)在 R上递增；当 a 0时，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间； (2)由条件判断出 a 0，
23、且 x0 0，由 f (x0)=0求出 x0，分别代入解析式化简 f(x0)， f(-2x0)，化简整理后可得证； (3)设 g(x)在区间 -1， 1上的最大值 M，根据极值点与区间的关系对 a分三种情况讨论，运用 f(x)单调性和前两问的结论，求出 g(x)在区间上的取值范围，利用 a的范围化简整理后求出 M，再利用不等式的性质证明结论成立 . 答案： (1)若 f(x)=x3-ax-b，则 f (x)=3x2-a， 分两种情况讨论： 当 a 0时，有 f (x)=3x2-a 0恒成立， 此时 f(x)的单调递增区间为 (-， + )， 当 a 0时，令 f (x)=3x2-a=0，解得
24、x=- 33a或 x= 33a， 当 x 33a或 x - 33a时， f (x)=3x2-a 0， f(x)为增函数， 当 - 33a x 33a时， f (x)=3x2-a 0， f(x)为减函数， 故 f(x)的增区间为 (-， - 33a)， ( 33a， + )，减区间为 (- 33a， 33a)； (2)若 f(x)存在极值点 x0，则必有 a 0，且 x0 0， 由题意可得， f (x)=3x2-a，则 x02=3a， 进而 f(x0)=x03-ax0-b=-23ax0-b， 又 f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-83x0+2ax0-b=f(x0)， 由题意及 ( )可
25、得：存在唯一的实数 x1，满足 f(x1)=f(x0)，其中 x1 x0， 则有 x1=-2x0，故有 x1+2x0=0； ( )设 g(x)在区间 -1， 1上的最大值 M， maxx， y表示 x、 y两个数的最大值， 下面分三种情况讨论： 当 a 3时， - 33a -1 1 33a， 由 (I)知 f(x)在区间 -1， 1上单调递减， 所以 f(x)在区间 -1， 1上的取值范围是 f(1)， f(-1)， 因此 M=max|f(1)|， |f(-1)|=max|1-a-b|， |-1+a-b| =max|a-1+b|， |a-1-b|= 10a b ba b b ， ， ，所以 M
26、=a-1+|b| 2， 当 34 a 3时， 2 3 3 3 2 3113 3 3 3a a a a ， 由 ( )、 ( )知， f(-1) f(-233a)=f( 33a)， f(1) f(233a)=f(- 33a)， 所以 f(x)在区间 -1， 1上的取值范围是 f( 33a)， f(- 33a)， 因此 M=max|f( 33a)|， |f(- 33a)|=max|- 2 39a ab|， | 2 39a ab| =max| 2 39a ab|， | 2 39a ab|= 2 39a ab 2 3 3 139 4 4 4 ， 当 0 a 34时， -1 -233a 233a 1， 由 ( )、 ( )知， f(-1) f(-233a)=f( 33a)， f(1) f(233a)=f(- 33a)， 所以 f(x)在区间 -1， 1上的取值范围是 f(-1)， f(1)， 因此 M=max|f(-1)|， |f(1)|=max|-1+a-b|， |1-a-b| =max|1-a+b|， |1-a-b|=1-a+|b| 14， 综上所述，当 a 0时， g(x)在区间 -1， 1上的最大值不小于 14.
