1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 )数学理 一、选择题 1.已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=y|y=3x-2， x A，则 A B=( ) A.1 B.4 C.1， 3 D.1， 4 解析 ：把 x=1， 2， 3， 4分别代入 y=3x-2得： y=1， 4， 7， 10，即 B=1， 4， 7， 10， A=1， 2， 3， 4， A B=1， 4. 答案 ： D. 2.设变量 x， y满足约束条件 202 3 6 03 2 9 0xyxyxy ，则目标函数 z=2x+5y的最小值为 ( ) A.-4 B.6 C.10 D.17 解析 ： 作出不等式组 202 3
2、 6 03 2 9 0xyxyxy ，表示的可行域， 如 图中三角形的区域， 作出直线 l0： 2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线 l0，可得经过点 (3， 0)时， z=2x+5y取得最小值 6. 答案 ： B. 3.在 ABC中，若 AB= 13 ， BC=3， C=120，则 AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ：在 ABC中，若 AB= 13 ， BC=3， C=120， AB2=BC2+AC2-2AC BCcosC， 可得： 13=9+AC2+3AC，解得 AC=1或 AC=-4(舍去 ). 答案 ： A. 4.阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S的值为
3、( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 ：第一次判断后：不满足条件， S=2 4=8， n=2， i 4， 第二次判断不满足条件 n 3： 第三次判断满足条件： S 6，此时计算 S=8-6=2， n=3， 第四次判断 n 3不满足条件， 第五次判断 S 6不满足条件， S=4.n=4， 第六次判断满足条件 n 3，故输出 S=4. 答案 ： B. 5.设 an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“ q 0”是“对任意的正整数 n， a2n-1+a2n 0”的 ( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ： an是首项为正数的等比数
4、列，公比为 q， 若“ q 0”是“对任意的正整数 n， a2n-1+a2n 0”不一定成立， 例如：当首项为 2， q=-12时，各项为 2， -1， 12， -14，此时 2+(-1)=1 0， 12+(-14)=14 0； 而“对任意的正整数 n， a2n-1+a2n 0”，前提是“ q 0”， 则“ q 0”是“对任意的正整数 n， a2n-1+a2n 0”的必要而不充分条件 . 答案 ： C. 6.已知双曲线 2224xyb =1(b 0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A， B， C， D四点，四边形 ABCD的面积为 2b，则双曲线的方程为
5、 ( ) A. 22344xy=1 B. 22443xy=1 C. 2244xy=1 D. 224 12xy=1 解析：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为 y=2bx， 设 A(x，2bx)，则四边形 ABCD的面积为 2b， 2x bx=2b， x= 1 将 A(1，2b)代入 x2+y2=4，可得 1+ 24b=4， b2=12，双曲线的方程为 224 12xy=1. 答案 ： D. 7.已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、 E 分别是边 AB、 BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 AF
6、BC 的值为 ( ) A.-58B.18C.14D.118解析：如图， D、 E分别是边 AB、 BC的中点，且 DE=2EF， 1322A F B C A D D F B C B A D E B C = 1 3 1 3 32 4 2 4 4B A A C B C B A B C B A B C = 25 3 5 34 4 4 4B A B C B C B A B C B C = 253c o s 6 0 144B A B C = 5 1 3 1114 2 4 8 . 答案 ： B. 8.已知函数 f(x)= 2 4 3 3 0l o g 1 1 0x a x a xa x x ， ， ，(a
7、 0，且 a 1)在 R上单调递减，且关于 x的方程 |f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则 a的取值范围是 ( ) A.(0， 23 B.23， 34 C.13， 23 34 D.13， 23) 34 解析： y=loga(x+1)+在 0， + )递减，则 0 a 1， 函数 f(x)在 R上单调递减，则： 23402010 4 3 0 3 l o g 0 1 1 ,aaaaa ， ， 解得13 a 34 ； 由图象可知，在 0， + )上， |f(x)|=2-x有且仅有一个解， 故在 (-， 0)上， |f(x)|=2-x同样有且仅有一个解， 当 3a 2即 a 23时，联立
8、|x2+(4a-3)+3a|=2-x， 则 =(4a-2)2-4(3a-2)=0，解得 a=34或 1(舍去 )， 当 1 3a 2时，由图象可知，符合条件， 综上： a的取值范围为 13， 23 34. 答案 ： C. 二、填空题 9. 已知 a， b R， i是虚数单位，若 (1+i)(1-bi)=a，则 ab的值为 . 解析： (1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a， a， b R， 110bab，解得： 21ab， ab=2. 答案 ： 2 10.(x2-1x)8的展开式中 x7的系数为 (用数字作答 ) 解析 ： Tr+1=8rC(x2)8-r(-1x)r=(-1)r8rC
9、x16-3r， 令 16-3r=7，解得 r=3. (x2-1x)8的展开式中 x7的系数为 (-1)3 38C=-56. 答案： -56. 11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示 (单位： m)，则该四棱锥的体积为 m3. 解析 ：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 棱锥的底面是底为 2，高为 1的平行四边形，故底面面积 S=2 1=2m2， 棱锥的高 h=3m，故体积 V=13Sh=2m3， 答案： 2 12.如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E， BE=2AE=2， BD=ED，则线段 CE 的长为 . 解析：如图
10、，过 D作 DH AB于 H， BE=2AE=2， BD=ED， BH=HE=1，则 AH=2， BH=1， DH2=AH BH=2，则 DH= 2 ， 在 Rt DHE中，则 DE= 22 2 1 3D H H E ， 由相交弦定理可得： CE DE=AE EB， CE= 1 2 2 333A E E BDE. 答案： 23313.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，且在区间 (-， 0)上单调递增，若实数 a 满足 f(2|a-1|) f(- 2 )，则 a的取值范围是 . 解析 ： f(x)是定义在 R上的偶函数，且在区间 (-， 0)上单调递增， f(x)在区间 (0， + )上单调
11、递减， 则 f(2|a-1|) f(- 2 )，等价为 f(2|a-1|) f( 2 )， 即 - 2 2|a-1| 2 ，则 |a-1| 12，即 12 a 32. 答案： (12， 32) 14.设抛物线 222x pty pt ， (t为参数， p 0)的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A作 l的垂线，垂足为 B，设 C(72p， 0)， AF与 BC 相交于点 E.若 |CF|=2|AF|，且 ACE的面积为 3 2 ，则 p的值为 . 解析：抛物线 222x pty pt ， (t为参数， p 0)的普通方程为： y2=2px焦点为 F(2p， 0)， 如图：过抛物线上一点
12、A作 l的垂线，垂足为 B，设 C(72p， 0)， AF与 BC 相交于点 E. |CF|=2|AF|， |CF|=3p， |AB|=|AF|=32p， A(p， 2 p)， ACE的面积为 3 2 ， 12AE ABEF CF， 可得 13S AFC=S ACE.即： 11 3 2 3 232 pp ，解得 p= 6 . 答案： 6 . 三、计算题 15.已知函数 f(x)=4tanxsin(2-x)cos(x-3)- 3 . (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 -4，4上的单调性 . 解析： (1)利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函
13、数的辅助角公式进行化简求解即可 . (2)利用三角函数的单调性进行求解即可 . 答案： (1) f(x)=4tanxsin(2-x)cos(x-3)- 3 . x k +2，即函数的定义域为 x|x k +2， k Z， 则 f(x)=4tanxcosx (12cosx+ 32sinx)- 3 =2sinx(12cosx+ 32sinx)- 3 =sinxcosx+ 3 sin2x- 3 =12sin2x+ 32(1-cos2x)- 3 =12sin2x- 32cos2x- 32=sin(2x-3)- 32则函数的周期 T=22=； (2)由 2k -2 2x-3 2k +2， k Z， 得
14、k -12 x k +512， k Z，即函数的增区间为 k -12， k +512， k Z， 当 k=0时，增区间为 -12， 512， k Z， x -4，4，此时 x -12，4， 由 2k +2 2x-3 2k +32， k Z， 得 k +512 x k +1112， k Z，即函数的减区间为 k +512， k +1112， k Z， 当 k=-1时，减区间为 -712， -12， k Z， x -4，4，此时 x -4， -12， 即在区间 -4，4上，函数的减区间为 -4， -12，增区间为 -12，4. 16.某小组共 10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为
15、1， 2， 3的人数分别为 3， 3， 4，现从这 10人中随机选出 2人作为该组代表参加座谈会 . (1)设 A为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A发生的概率； (2)设 X为选出的 2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列和数学期望 . 解析： (1)选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 为事件 A，求出选出的 2 人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率 .则 P(A). (2)随机变量 X的可能取值为 0， 1， 2， 3分别求出 P(X=0)， P(X=1)， P(X=2)， P(X=3)的值，由此能求出 X的分布列和 EX. 答案：
16、 (1)从 10人中选出 2人的选法共有 210C=45种， 事件 A：参加次数的和为 4，情况有： 1 人参加 1 次，另 1 人参加 3 次， 2 人都参加 2次； 共有 1 1 23 4 3C C C=15种， 事件 A发生概率： P= 1 1 2 23 4 3 1 0 13C C C C. ( )X的可能取值为 0， 1， 2. P(X=0)= 2 2 2 23 3 4 1 0 415C C C C ， P(X=1)= 1 1 1 13 3 3 4210715C C C CC ， P(X=2)= 1134210415CCC ， X的分布列为： EX= 4 7 40 1 21 5 1 5
17、 1 5 =1. 17.如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G为 AB的中点， AB=BE=2. (1)求证： EG平面 ADF； (2)求二面角 O-EF-C的正弦值； (3)设 H为线段 AF上的点，且 AH=23HF，求直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值 . 解析： (1)取 AD的中点 I，连接 FI，证明四边形 EFIG 是平行四边形，可得 EG FI，利用线面平行的判定定理证明： EG平面 ADF； (2)建立如图所示的坐标系 O-xyz，求出平面 OEF 的法向量，平面 OEF 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二
18、面角 O-EF-C的正弦值； (3)求出 BH =(-325， 2 ， 45)，利用向量的夹角公式求出直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值 . 答案： (1)取 AD的中点 I，连接 FI， 矩形 OBEF， EF OB， EF=OB， G， I是中点， GI BD， GI=12BD. O是正方形 ABCD的中心， OB=12BD. EF GI， EF=GI， 四边形 EFIG是平行四边形， EG FI， EG-平面 ADF， FI-平面 ADF， EG平面 ADF. (2)建立如图所示的坐标系 O-xyz，则 B(0， - 2 ， 0)， C( 2 ， 0， 0)， E(0， - 2 ，
19、2)，F(0， 0， 2)， 设平面 CEF的法向量为 m =(x， y， z)，则 202 2 0yxz ，取 m =( 2 ， 0， 1) OC平面 OEF，平面 OEF的法向量为 n =(1， 0， 0)， |cos m ， n |= 63， 二面角 O-EF-C的正弦值为 263133 ； (3)AH=23HF， 25AH AF=(225， 0， 45). 设 H(a， b， c)，则 AH =(a+ 2 ， b， c)=(225， 0， 45). a=-325， b=0， c=45， BH=(-325， 2 ， 45)， 直线 BH和平面 CEF 所成角的正弦值 =|cos BH ，
20、 n |=64755212 2 135. 18. 已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 n N+， bn是 an和 an+1的等比中项 . (1)设 cn= 221nnbb ， n N+，求证：数列 cn是等差数列； (2)设 a1=d， Tn= 2211n kkbk ， n N*，求证：21112ni kTd . 解析： (1)根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列 cn的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可 . (2)求出 Tn= 2211n kkbk 的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可 . 答案 ： (1) an是各
21、项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 n N+， bn是 an和 an+1的等比中项 . cn= 221nnbb =an+1an+2-anan+1=2dan+1， cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2为定值； 数列 cn是等差数列； (2)Tn= 2211n kkbk =c1+c3+ +c2n-1=nc1+ 12nn 4d2=nc1+2n(n-1)d2， n N*， 由已知 c1=b22-b12=a2a3-a1a2=2da2=2d(a1+d)=4d2， 将 c1=4d2，代入得 Tn=n(n+1)d2， 2 2 2 2111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1
22、 1 12 1 2 2 2 3() 2 1 2nnikkT d k k d k k d k d . 即不等式21112ni kTd 成立 . 19.设椭圆 222 3xya =1(a 3 )的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1 1 3 eO F O A F A，其中O为原点， e为椭圆的离心率 . (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A的直线 l与椭圆交于点 B(B不在 x轴上 )，垂直于 l的直线与 l交于点 M，与 y轴于点 H，若 BF HF，且 MOA MAO，求直线 l的斜率的取值范围 . 解析： (1)由题意画出图形，把 |OF|、 |OA|、 |FA|代入 1 1 3 eO F
23、 O A F A，转化为关于 a的方程，解方程求得 a 值，则椭圆方程可求； (2)由已知设直线 l的方程为 y=k(x-2)， (k 0)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B的坐标，再写出 MH所在直线方程，求出 H的坐标，由 BF HF，得 BF HF =(1-x1， -y1) (1， -yH)=0，整理得到 M的坐标与 k的关系，由 MOA MAO，得到 x0 1，转化为关于 k的等式求得 k的值 . 答案： (1)由 1 1 3 eO F O A F A，得22 233113 3aaaa aa， 即 222 23 3 3 3 3a a aaa
24、 a a a ， aa2-(a2-3)=3a(a2-3)，解得 a=2.椭圆方程为 2243xy=1. (2)由已知设直线 l的方程为 y=k(x-2)， (k 0)， 设 B(x1， y1)， M(x0， k(x0-2)， MOA MAO， x0 1，再设 H(0， yH)， 联立 222143y k xxy ，得 (3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0. =(-16k2)2-4(3+4k2)(16k2-12)=144 0. 由根与系数的关系得 2x1= 2216 1234k k ， x1= 228634k k ， y1=k(x1-2)=21234kk ， MH所在直线方程为 y
25、-k(x0-2)=-1k(x-x0)， 令 x=0，得 yH=(k+1k)x0-2k， BF HF， BF HF =(1-x1， -y1) (1， -yH)=0， 即 1-x1+y1yH= 2228 6 1 21 3 4 3 4kkkk(k+1k )x0-2k=0， 整理得： x0= 229 2012 1kk 1，即 8k2 3. k - 64或 k 64. 20.设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b， x R，其中 a， b R. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)存在极值点 x0，且 f(x1)=f(x0)，其中 x1 x0，求证： x1+2x0=3； (3)设 a 0
26、，函数 g(x)=|f(x)|，求证： g(x)在区间 0， 2上的最大值不小于 14. 解析： (1)求出 f(x)的导数，讨论 a 0 时， f (x) 0， f(x)在 R 上递增；当 a 0 时，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间； (2)f (x0)=0，可得 3(x0-1)2=a，分别计算 f(x0)， f(3-2x0)，化简整理即可得证； (3)要证 g(x)在区间 0， 2上的最大值不小于 14，即证在 0， 2上存在 x1， x2，使得 g(x1)-g(x2) 12.讨论当 a 3时，当 0 a 3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证 . 答案： (1)函
27、数 f(x)=(x-1)3-ax-b的导数为 f (x)=3(x-1)2-a， 当 a 0时， f (x) 0， f(x)在 R上递增； 当 a 0时，当 x 1+3a 或 x 1-3a 时， f (x) 0， 当 1-3a x 1+3a ， f (x) 0， 可得 f(x)的增区间为 (-， 1-3a )， (1+3a ， + )，减区间为 (1-3a ， 1+3a )； (2)证明： f (x0)=0，可得 3(x0-1)2=a， 由 f(x0)=(x0-1)3-3x0(x0-1)2-b=(x0-1)2(-2x0-1)-b， f(3-2x0)=(2-2x0)3-3(3-2x0)(x0-1)
28、2-b =(x0-1)2(8-8x0-9+6x0)-b=(x0-1)2(-2x0-1)-b， 即为 f(3-2x0)=f(x0)=f(x1)，即有 3-2x0=x1，即为 x1+2x0=3. (3)证明：要证 g(x)在区间 0， 2上的最大值不小于 14， 即证在 0， 2上存在 x1， x2，使得 g(x1)-g(x2) 12. 当 a 3时， f(x)在 0， 2递减， f(2)=1-2a-b， f(0)=-1-b， f(0)-f(2)=2a-2 4 12，递减，成立； 当 0 a 3时， 3 2113 3 3( ) ( ) ( 3 3 3 3 3)a a a a a a a af a b a a b a b ， 3113 3 3( 3 3 3) ( ) 3() 3a a a a a a a af a b a a b a b ， f(2)=1-2a-b， f(0)=-1-b， f(2)-f(0)=2-2a， 若 0 a 34时， f(2)-f(0)=2-2a 12成立； 若 a 43时， 1( ) ( ) 41213 3 3 3a a a aff 成立 . 综上可得， g(x)在区间 0， 2上的最大值不小于 14.
