1、 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的 . 1. 设集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， A=1， 3， 5， B=3， 4， 5，则 CU（ A B） =（ ） A.2， 6 B.3， 6 C.1， 3， 4， 5 D.1， 2， 4， 6 解析：集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， A=1， 3， 5， B=3， 4， 5， 则 A B=1， 3， 4， 5. CU(A B)=2， 6. 答案： A. 2. 若复数 21z i ，其中 i 为
2、虚数单位，则 z =( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析： 2 1 2 12 11211 iizii ii ， z =1-i， 答案： B 3. 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 (单位：小时 )，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5， 30，样本数据分组为 17.5， 20)， 20， 22.5)， 22.5， 25)，25， 27.5)， 27.5， 30.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ( ) A.56 B.60 C.120 D.140 解析：自习时间不少于 22.5 小时的频率
3、为： (0.16+0.08+0.04) 2.5=0.7， 故自习时间不少于 22.5 小时的频率为： 0.7 200=140， 答案： D 4. 若变量 x， y 满足 22 3 90xyxyx，则 x2+y2的最大值是 ( ) A.4 B.9 C.10 D.12 解析：由约束条件 22 3 90xyxyx作出可行域如图， A(0， -3)， C(0， 2)， |OA| |OC|， 联立 22 3 9xyxy，解得 B(3， -1). 22 223 1 1 0OB ， x2+y2的最大值是 10. 答案： C. 5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示 .则该几何体的体积为 (
4、) A. 1233B. 2133C. 2136D. 216 解析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为 1，可得 2R= 2 . 故 R= 22，故半球的体积为： 32223 2 6， 棱锥的底面面积为： 1，高为 1， 故棱锥的体积 13V， 故组合体的体积为： 2136， 答案： C 6. 已知直线 a， b 分别在两个不同的平面，内 .则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 当“直线 a 和直线
5、b 相交”时，“平面和平面相交”成立， 当“平面和平面相交”时，“直线 a 和直线 b 相交”不一定成立， 故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件， 答案： A 7. 已知圆 M： x2+y2-2ay=0(a 0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22 ，则圆 M 与圆 N：(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解析：圆的标准方程为 M： x2+(y-a)2=a2 (a 0)， 则圆心为 (0， a)，半径 R=a， 圆心到直线 x+y=0 的距离2ad ， 圆 M： x2+y2-2ay=0(a 0)截直
6、线 x+y=0 所得线段的长度是 22 ， 222 2 22 2 2 2 2aaR d a ， 即 2 22a ，即 a2=4， a=2， 则圆心为 M(0， 2)，半径 R=2， 圆 N： (x-1)2+(y-1)2=1 的圆心为 N(1， 1)，半径 r=1， 则 221 1 2MN ， R+r=3， R-r=1， R-r MN R+r， 即两个圆相交 . 答案： B 8. ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知 b=c， a2=2b2(1-sinA)，则 A=( ) A.34B.3C.4D.6解析： b=c， a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2c
7、osA=2b2(1-cosA)， a2=2b2(1-sinA)， 1-cosA=1-sinA， 则 sinA=cosA，即 tanA=1， 即 A=4， 答案： C 9. 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x 0 时， f(x)=x3-1；当 -1 x 1 时， f(-x)=-f(x)；当 x 12时，1122f x f x （ ） （ ）.则 f(6)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析：当 x 12时， 1122f x f x （ ） （ ）， 当 x 12时， f(x+1)=f(x)，即周期为 1. f(6)=f(1)， 当 -1 x 1 时， f(-x)=-f(x)，
8、 f(1)=-f(-1)， 当 x 0 时， f(x)=x3-1， f(-1)=-2， f(1)=-f(-1)=2， f(6)=2. 答案： D. 10. 若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质 .下列函数中具有 T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3 解析：函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数 y=f(x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为 -1， 当 y=sinx 时， y =cosx，满足条件； 当 y=lnx 时，
9、y =1x 0 恒成立，不满足条件； 当 y=ex 时， y =ex 0 恒成立，不满足条件； 当 y=x3 时， y =3x2 0 恒成立，不满足条件； 答案： A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11. 执行如图的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为 . 解析：若输入 n 的值为 3， 则第一次循环， 0 2 1 2 1S ， 1 3 不成立， 第二次循环， 2 1 3 2 3 1S ， 2 3 不成立， 第三次循环， 3 1 4 3 4 1 2 1 1S ， 3 3 成立， 程序终止，输出 S=1， 答案： 1 12. 观察下列等式：
10、222 4 123 3 3s i n s i n （ ） （ ）； 2 2 2 22 3 4 4 235 5 5 5 3s i n s i n s i n s i n （ ） （ ） （ ） （ ）； 2 2 2 22 3 6 4 347 7 7 7 3s i n s i n s i n s i n （ ） （ ） （ ） （ ）； 2 2 2 22 3 8 4 459 9 9 9 3s i n s i n s i n s i n （ ） （ ） （ ） （ ）； 照此规律， 2 2 2 22 3 22 1 2 1 2 1 2 1ns i n s i n s i n s i nn n n n
11、（ ） （ ） （ ） （ ）= . 解析： 观察下列等式： 222 4 123 3 3s i n s i n （ ） （ ）； 2 2 2 22 3 4 4 235 5 5 5 3s i n s i n s i n s i n （ ） （ ） （ ） （ ）； 2 2 2 22 3 6 4 347 7 7 7 3s i n s i n s i n s i n （ ） （ ） （ ） （ ）； 2 2 2 22 3 8 4 459 9 9 9 3s i n s i n s i n s i n （ ） （ ） （ ） （ ）； 照此规律， 2 2 2 22 3 2 4 ( 1 )2 1 2 1
12、2 1 2 1 3ns i n s i n s i n s i n n nn n n n （ ） （ ） （ ） （ ）. 答案： 4 ( 1)3nn13. 已知向量 1 1 6 4ab （ ， ） ， （ ， ），若 a ta b（ ） ，则实数 t 的值为 . 解析：向量 1 1 6 4ab （ ， ） ， （ ， ）， ta b =(t+6， -t-4)， a ta b（ ） ， a ta b（ ） =t+6+t+4=0， 解得 t=-5， 答案 ： -5. 14. 已知双曲线 E： 22221yxab(a 0， b 0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB， CD的中点为
13、E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 . 解析： 令 x=c，代入双曲线的方程可得 222 1cbyb aa ， 由题意可设 2 2 2 2b b b bA c B c C c D ca a a a （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）， 由 2|AB|=3|BC|，可得 222 3 2b ca ，即为 2b2=3ac， 由 b2=c2-a2， cea，可得 2e2-3e-2=0， 解得 e=2(负的舍去 ). 答案： 2. 15. 已知函数2 24x x mfxx m x m x m ，（ ）， ，其中 m 0，若存在实数 b，使得关于 x 的
14、方程 f(x)=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 . 解析：当 m 0 时，函数2 24x x mfxx m x m x m ，（ ）， 的图象如下： x m 时， f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2 4m-m2， y 要使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根， 必须 4m-m2 m(m 0)， 即 m2 3m(m 0)， 解得 m 3， m 的取值范围是 (3， + )， 答案： (3， + ). 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16. 某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动 .参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转
15、盘停止转动时，记录指针所指区域中的数 .记两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下： 若 xy 3，则奖励玩具一个； 若 xy 8，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶 . 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动 . ( )求小亮获得玩具的概率； ( )请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 . 解析： ( )确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率； ( )求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结 论 . 答案： ( )两次记录的数为 (1， 1)， (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (2， 2)， (2， 3)， (
16、2， 4)， (3， 4)，(2， 1)， (3， 1)， (4， 1)， (3， 2)， (3， 3)， (4， 2)， (4， 3)， (4， 4)，共 16 个， 满足 xy 3，有 (1， 1)， (1， 2)， (1， 3)， (2， 1)， (3， 1)，共 5 个， 小亮获得玩具的概率为 516； ( )满足 xy 8， (2， 4)， (3， 4)， (4， 2)， (4， 3)， (3， 3)， (4， 4)共 6 个，小亮获得水杯的概率为 616； 小亮获得饮料的概率为 5 6 511 6 1 6 1 6 ， 小亮获得水杯大于获得饮料的概率 . 17. 设 f(x)= 22
17、3 s i n x s i n x s i n x c o s x （ ） （ ）. ( )求 f(x)的单调递增区间； ( )把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )，再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数 y=g(x)的图象，求 g(6)的值 . 解析： ( )利用三角恒等变换化简 f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间 . ( )利用函数 y=Asin( x+ )的图象变换规律，求得 g(x)的解析式，从而求得 g(6)的值 . 答案： ( ) f(x)= 223 s i n x s i n x s i n x c o s x （
18、 ） （ ）=2 122 3 1 2 2 3 1 22c o s xs i n x s i n x s i n x = 2 3 2 3 1 2 2 3 13s i n x c o s x s i n x （ ）， 令 2 2 22 3 2k x k ，求得 51 2 1 2k x k ， 可得函数的增区间为 5 1 2 1 2kk， k Z. ( )把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )，可得2 3 13y s in x （ ）的图象； 再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数 2 3 1y g x s i n x （ ） 的图象， 2 3 1 366g
19、s i n （ ）. 18. 在如图所示的几何体中， D 是 AC 的中点， EF DB. ( )已知 AB=BC， AE=EC，求证： AC FB； ( )已知 G， H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证： GH平面 ABC. 解析： ( )由条件利用等腰三角形的性质，证得 BD AC， ED AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得 AC平面 EFBD，从而证得 AC FB. ( )再取 CF的中点 O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG平面 ABC， OH平面 ABC，可得平面 OGH平面 ABC，从而证 得 GH平面 ABC. 答案： ( )证明：如图所示， D 是 AC 的中
20、点， AB=BC， AE=EC， BAC、 EAC 都是等腰三角形， BD AC， ED AC. EF DB， E、 F、 B、 D 四点共面，这样， AC 垂直于平面 EFBD 内的两条相交直线 ED、 BD， AC平面 EFBD. 显然， FB 平面 EFBD， AC FB. ( )已知 G， H 分别是 EC 和 FB 的中点，再取 CF 的中点 O，则 OG EF， OG BD， OG BD，而 BD 平面 ABC， OG平面 ABC. 同理， OH BC，而 BC 平面 ABC， OH平面 ABC. OG OH=O，平面 OGH平面 ABC， GH平面 ABC. 19. 已知数列 a
21、n的前 n 项和 Sn=3n2+8n， bn是等差数列，且 an=bn+bn+1. ( )求数列 bn的通项公式； ( )令 112nnn nnacb ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. 解析： ( )求出数列 an的通项公式，再求数列 bn的通项公式； ( )求出数列 cn的通项，利用错位相减法求数列 cn的前 n 项和 Tn. 答案： ( )Sn=3n2+8n， n 2 时， an=Sn-Sn-1=6n+5， n=1 时， a1=S1=11， an=6n+5； an=bn+bn+1， an-1=bn-1+bn， an-an-1=bn+1-bn-1. 2d=6， d=3， a1=b1+b2
22、， 11=2b1+3， b1=4， bn=4+3(n-1)=3n+1； ( ) 111 6 66 1 22 3 3nnn nnnancnbn （ ）， Tn=62 2+3 22+ +(n+1) 2n， 2Tn=62 22+3 23+ +n 2n+(n+1) 2n+1， - 可得 -Tn=62 2+22+23+ +2n-(n+1) 2n+1=12+6 2 1 212n-6(n+1) 2n+1=(-6n) 2n+1=-3n 2n+2， Tn=3n 2n+2. 20. 设 f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x， a R. ( )令 g(x)=f (x)，求 g(x)的单调区间； ( )已知 f
23、(x)在 x=1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 . 解析： ( )先求出 g(x)=f (x)的解析式，然后求函数的导数 g (x)，利用函数单调性和导数之间的关系即可求 g(x)的单调区间； ( )分别讨论 a 的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论 . 答案： ( ) f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x， g(x)=f (x)=lnx-2ax+2a， x 0， 121 2 axg x axx （ ） ， 当 a 0， g (x) 0 恒成立，即可 g(x)的单调增区间是 (0， + )； 当 a 0，当 12x a时， g (x) 0，函数为减函数， 当 0
24、x 12a， g (x) 0，函数为增函数， 当 a 0 时， g(x)的单调增区间是 (0， + )； 当 a 0 时， g(x)的单调增区间是 (0， 12a)，单调减区间是 ( 12a， + )； ( ) f(x)在 x=1 处取得极大值， f (1)=0， 当 a 0 时， f (x)单调递增， 则当 0 x 1 时， f (x) 0， f(x)单调递减， 当 x 1 时， f (x) 0， f(x)单调递增， f(x)在 x=1 处取得极小值，不合题意， 当 0 a 12时， 12a 1，由 (1)知， f(x)在 (0， 12a)内单调递增， 当 0 x 1 时， f (x) 0，
25、当 1 x 12a时， f (x) 0， f(x)在 (0， 1)内单调递减，在 (1， 12a)内单调递增，即 f(x)在 x=1 处取得极小值，不合题意 . 当 a=12时， 12a=1， f (x)在 (0， 1)内单调递增，在 (1， + )上单调递减， 则当 x 0 时， f (x) 0， f(x)单调递减，不合题意 . 当 a 12时， 0 12a 1， 当 12a x 1 时， f (x) 0， f(x)单调递增，当 x 1 时， f (x) 0， f(x)单调递减， 当 x=1 时， f(x)取得极大值，满足条件 . 综上实数 a 的取值范围是 a 12. 21. 已知椭圆 C
26、： 22221yxab(a b 0)的长轴长为 4，焦距为 22. ( )求椭圆 C 的方程； ( )过动点 M(0， m)(m 0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A， P(P 在第一象限 )，且 M 是线段 PN 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B. ( )设直线 PM， QM 的斜率分别为 k， k，证明 kk为定值； ( )求直线 AB 的斜率的最小值 . 解析： ( )利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆 C 的方程； ( )( )设出 N 的坐标，求出 PQ 坐标，求出直线的斜率，即可推出结果 ( )求出直线 PM，
27、QM 的方程，然后求解 B， A 坐标，利用 AB 的斜率求解最小值 . 答案： ( )椭圆 C： 22221yxab(a b 0)的长轴长为 4，焦距为 22.可得 a=2， c= 2 ，b= 2 ， 可得椭圆 C 的方程： 22 142yx ； ( )过动点 M(0， m)(m 0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A， P(P 在第一象限 )，设 N(-t， 0)t 0， M 是线段 PN 的中点，则 P(t， 2m)，过点 P 作 x 轴 的垂线交 C 于另一点 Q， Q(t， -2m)， ( )证明：设直线 PM， QM 的斜率分别为 k， k， 2 2 300m m m m
28、m mkkt t t t ， 33mktkmt .为定值； ( )由题意可得 22 221144 2 2tm mt ， QM 的方程为： y=-3kx+m， PN 的方程为： y=kx+m， 联立 22 142yxy kx m ，可得： x2+2(kx+m)2=4， 即： (1+2k2)x2+4mkx+2m2-4=0 可得 22002 2 2 22 1 2 1BBmmxymk x k x ， 同理解得 220221 8 1Amxkx， 220621 8 1Akmymkx， 2 2 2 22 2 2 20 0 02 2 2 2 3 2 22 1 1 8 1 1 8 1 2 1BAm m k mxxk x k x k k x ， 2 2 2 22 2 2 20 0 02 2 6 2 8 6 1 22 1 1 8 1 1 8 1 2 1BAm k m k k my y m mk x k x k k x （ ）， 261 11644BAAB yy kkkx x k k ，由 m 0， x0 0，可知 k 0， 所以 16 2 6kk，当且仅当 66k时取等号 . 此时26648mm ，即 147m，符合题意 . 所以，直线 AB 的斜率的最小值为： 62.
