1、 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1. 若复数 z 满足 2 3 2z z i ，其中 i 为虚数单位，则 z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 解析：复数 z 满足 2 3 2z z i ， 设 z=a+bi， 可得： 2a+2bi+a-bi=3-2i. 解得 a=1， b=-2. z=1-2i. 答案： B. 2. 设集合 A=y|y=2x， x R， B=x|x2-1 0，则 A B=( ) A.(-1， 1) B.
2、(0， 1) C.(-1， + ) D.(0， + ) 解析： A=y|y=2x， x R=(0， + )， B=x|x2-1 0=(-1， 1)， A B=(0， + ) (-1， 1)=(-1， + ). 答案： C. 3. 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 (单位：小时 )，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5， 30，样本数据分组为 17.5， 20)， 20， 22.5)， 22.5， 25)，25， 27.5)， 27.5， 30.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ( ) A.56 B.60 C.120
3、 D.140 解析：自习时间不少于 22.5 小时的频率为： (0.16+0.08+0.04) 2.5=0.7， 故自习时间不少于 22.5 小时的频率为： 0.7 200=140， 答案： D 4. 若变量 x， y 满足 22 3 90xyxyx，则 x2+y2的最大值是 ( ) A.4 B.9 C.10 D.12 解析：由约束条件 22 3 90xyxyx作出可行域如图， A(0， -3)， C(0， 2)， |OA| |OC|， 联立 22 3 9xyxy，解得 B(3， -1). 22 223 1 1 0OB ， x2+y2的最大值是 10. 答案： C. 5. 一个由半球和四棱锥组
4、成的几何体，其三视图如图所示 .则该几何体的体积为 ( ) A. 1233B. 2133C. 2136D. 216 解析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为 1，可得 2R= 2 . 故 R= 22，故半球的体积为： 32223 2 6， 棱锥的底面面积为： 1，高为 1， 故棱锥的体积 13V， 故组合体的体积为： 2136， 答案： C 6. 已知直线 a， b 分别在两个不同的平面，内 .则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
5、D.既不充分也不必要条件 解析：当“直线 a 和直线 b 相交”时，“平面和平面相交”成立， 当“平面和平面相交”时，“直线 a 和直线 b 相交”不一定成立， 故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件， 答案： A 7. 函数 33f x s i n x c o s x c o s x s i n x （ ） （ ） （ ）的最小正周期是 ( ) A.2B. C.32D.2 解析： 函 数 3 3 2 2 2 26 6 3f x s i n x c o s x c o s x s i n x s i n x c o s x s i n x （ ） （ ） （ ）
6、（ ） （ ） （ ）， T=， 答案： B 8. 已知非零向量 mn， 满足 43mn ， 13cos m n ， .若 n tm n（ ） ，则实数 t 的值为( ) A.4 B.-4 C.94D.-94解析： 43mn ， 13cos m n ， ， n tm n（ ） ， 222 1 134 tn t m n t m n n t m n n n （ ） （ ）=0， 解得： t=-4， 答案： B. 9. 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x 0 时， f(x)=x3-1；当 -1 x 1 时， f(-x)=-f(x)；当 x 12时，1122f x f x （ ） （ ）.则 f
7、(6)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析：当 x 12时， 1122f x f x （ ） （ ）， 当 x 12时， f(x+1)=f(x)，即周期为 1. f(6)=f(1)， 当 -1 x 1 时， f(-x)=-f(x)， f(1)=-f(-1)， 当 x 0 时， f(x)=x3-1， f(-1)=-2， f(1)=-f(-1)=2， f(6)=2. 答案： D. 10. 若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质 .下列函数中具有 T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex
8、 D.y=x3 解析：函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数 y=f(x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为 -1， 当 y=sinx 时， y =cosx，满足条件； 当 y=lnx 时， y =1x 0 恒成立，不满足条件； 当 y=ex 时， y =ex 0 恒成立，不满足条件； 当 y=x3 时， y =3x2 0 恒成立，不满足条件； 答案： A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11. 执行如图的程序框图，若输入的 a， b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为 . 解析：输入的 a， b
9、 的值分别为 0 和 9， i=1. 第一次执行循环体后： a=1， b=8，不满足条件 a b，故 i=2； 第二次执行循环体后： a=3， b=6，不满足条件 a b，故 i=3； 第三次执行循环体后： a=6， b=3，满足条件 a b， 故输出的 i 值为： 3， 答案： 3 12. 若251ax x（ ）的展开式中 x5 的系数是 -80，则实数 a= . 解析：251ax x（ ）的展开式的通项公式 5102 5 5 21 5 51r rr r r rrT C a x C a xx （ ）， 令 5102r=5，解得 r=2. 251ax x（ ）的展开式中 x5的系数是 -80
10、235 80Ca， 得 a=-2. 答案： -2 13. 已知双曲线 E： 22221yxab(a 0， b 0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB， CD的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 . 解析： 令 x=c，代入双曲线的方程可得 222 1cbyb aa ， 由题意可设 2 2 2 2b b b bA c B c C c D ca a a a （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）， 由 2|AB|=3|BC|，可得 222 3 2b ca ，即为 2b2=3ac， 由 b2=c2-a2， cea，可得 2e2-3
11、e-2=0， 解得 e=2(负的舍去 ). 答案： 2. 14. 在 -1， 1上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx与圆 (x-5)2+y2=9 相交”发生的概率为 . 解析：圆 (x-5)2+y2=9 的圆心为 (5， 0)，半径为 3. 圆心到直线 y=kx 的距离为251kk ， 要使直线 y=kx 与圆 (x-5)2+y2=9 相交，则251kk 3，解得 3344k . 在区间 -1， 1上随机取一个数 k，使直线 y=kx与圆 (x-5)2+y2=9相交相交的概率为 333441 1 4 . 答案： 34. 15. 已知函数2 24x x mfxx m x m x m ，（
12、 ）， ，其中 m 0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 . 解析：当 m 0 时，函数2 24x x mfxx m x m x m ，（ ）， 的图象如下： x m 时， f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2 4m-m2， y 要使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根， 必须 4m-m2 m(m 0)， 即 m2 3m(m 0)， 解得 m 3， m 的取值范围是 (3， + )， 答案： (3， + ). 三、解答题 ,：本大题共 6 小题，共 75 分 . 16. 在 ABC 中，角 A， B， C 的
13、对边分别为 a， b， c，已知 2 t a n A t a n Bt a n A t a n Bc o s B c o s A （ ）. ( )证明： a+b=2c； ( )求 cosC 的最小值 . 解析： ( )由切化弦公式 s in A s in Bta n A ta n Bc o s A c o s B ， ，带入 2 t a n A t a n Bt a n A t a n Bc o s B c o s A （ ）并整理可得 2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出 a+b
14、=2c； ( )根据 a+b=2c，两边平方便可得出 a2+b2+2ab=4c2，从而得出 a2+b2=4c2-2ab，并由不等式a2+b2 2ab 得出 c2 ab，也就得到了 2 1cab，这样由余弦定理便可得出 23 12 ccosC ab ，从而得出 cosC 的范围，进而便可得出 cosC 的最小值 . 答案： ( )证明：由 2 t a n A t a n Bt a n A t a n Bc o s B c o s A （ ）得： 2 s i n A s i n B s i n A s i n Bc o s A c o s B c o s A c o s B c o s A c o
15、 s B； 两边同乘以 cosAcosB 得， 2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB； 2sin(A+B)=sinA+sinB； 即 sinA+sinB=2sinC(1)； 根据正弦定理， 2a b c Rs in A s in B s in C ； 2 2 2a b cs i n A s i n B s i n CR R R ， ， ，带入 (1)得： 22 2 2a b cR R ； a+b=2c； ( )a+b=2c； (a+b)2=a2+b2+2ab=4c2； a2+b2=4c2-2ab，且 4c2 4ab，当且仅当 a=b 时取等号； 又 a， b 0； 2
16、1cab； 由余弦定理， 2 2 2 2 23 2 3 112 2 2 2a b c c a b cc o s C a b a b a b ； cosC 的最小值为 12. 17. 在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面圆 O的直径， FB 是圆台的一条母线 . (I)已知 G， H 分别为 EC， FB 的中点，求证： GH平面 ABC； ( )已知 1 232E F F B A C ， AB=BC，求二面角 F-BC-A 的余弦值 . 解析： ( )取 FC 中点 Q，连结 GQ、 QH，推导出平面 GQH平面 ABC，由此能证明 GH平面 ABC. ( )由
17、 AB=BC，知 BO AC，以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OO为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F-BC-A 的余弦值 . 答案： ( )取 FC 中点 Q，连结 GQ、 QH， G、 H 为 EC、 FB 的中点， 11/ / / /22G Q E F Q H B C， 又 1/ / / /2E F B O G Q B O， 平面 GQH平面 ABC， GH 面 GQH， GH平面 ABC. 解： ( ) AB=BC， BO AC， 又 OO面 ABC， 以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OO为 z 轴，建立空间直角
18、坐标系， 则 2 3 0 0 2 3 0 0 0 2 3 0 0 0 3 0 3 3A C B O F（ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ）， 2 3 3 3 2 3 2 3 0F C C B （ ， ， ） ， （ ， ， ）， 由题意可知面 ABC 的法向量为 OO =(0， 0， 3)， 设 n =(x0， y0， z0)为面 FCB 的法向量， 则 00n FCn CB ，即 0 0 0002 3 3 3 02 3 2 3 0x y zxy ， 取 x0=1，则 3113n （ ， ， ）， |7| 7O O nc o s O O
19、 n O O n ， . 二面角 F-BC-A 的平面角是锐角， 二面角 F-BC-A 的余弦值为 77. 18. 已知数列 an的前 n 项和 Sn=3n2+8n， bn是等差数列，且 an=bn+bn+1. ( )求数列 bn的通项公式； ( )令 112nnn nnacb ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. 解析： ( )求出数列 an的通项公式，再求数列 bn的通项公式； ( )求出数列 cn的通项，利用错位相减法求数列 cn的前 n 项和 Tn. 答案： ( )Sn=3n2+8n， n 2 时， an=Sn-Sn-1=6n+5， n=1 时， a1=S1=11， an=6n+5；
20、an=bn+bn+1， an-1=bn-1+bn， an-an-1=bn+1-bn-1. 2d=6， d=3， a1=b1+b2， 11=2b1+3， b1=4， bn=4+3(n-1)=3n+1； ( ) 111 6 66 1 22 3 3nnn nnnancnbn （ ）， Tn=62 2+3 22+ +(n+1) 2n， 2Tn=62 22+3 23+ +n 2n+(n+1) 2n+1， - 可得 -Tn=62 2+22+23+ +2n-(n+1) 2n+1=12+6 2 1 212n-6(n+1) 2n+1=(-6n) 2n+1=-3n 2n+2， Tn=3n 2n+2. 19. 甲、
21、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分 .已知甲每轮猜对的概率是 34，乙每轮猜对的概率是 23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响 .各轮结果亦互不影响 .假设“星队”参加两轮活动，求： (I)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (II)“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX. 解析： (I)“星队”至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 2
22、 个”三个基本事件，进而可得答案； (II)由已知可得：“星队”两轮得分之和为 X 可能为： 0， 1， 2， 3， 4， 6，进而得到 X 的分布列和数学期望 . 答案： (I)“星队”至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”，“甲猜对 2 个，乙猜对 2 个”三个基本事件， 故概率 2 2 2 211223 3 3 32 2 2 2 1 1 1 2114 4 3 4 3 3 4 3 6 4 4 3P C C ， (II)“星队”两轮得分之和为 X 可能为： 0， 1， 2， 3， 4， 6， 则 223 210 1 14 3 1 4 4
23、PX （ ）， 223 3 3 1 02 2 21 2 1 1 1 1 4 4 3 4 3 3 1 4 4PX （ ） ， 3 3 3 3 3 3 3 3 2 52 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 14 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 1 4 4PX （ ） ， 332 2 1 23 2 1 1 4 3 4 3 1 4 4PX （ ） ， 223 3 3 6 02 2 24 2 1 14 4 3 3 3 4 1 4 4PX （ ） 223 3 626 4 3 1 4 4PX （ ） 故 X 的分布列如下图所示： X 0 1 2 3 4 6
24、P 1144 10144 25144 12144 60144 36144 数学期望 1 0 2 5 6 0 3 6 5 5 2 2 31 1 20 1 2 3 4 61 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 6EX . 20. 已知221xf x a x ln x x （ ） （ ）， a R. (I)讨论 f(x)的单调性； (II)当 a=1 时，证明 f(x) f (x)+32对于任意的 x 1， 2成立 . 解析： ( )求出原函数的导函数，然后对 a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性； ( )构造函数 F(x)=f(x)
25、-f (x)，令 g(x)=x-lnx，233 12 1hx x xx （ ）.则 F(x)=f(x)-f(x)=g(x)+h(x)，利用导数分别求 g(x)与 h(x)的最小值得到 F(x) 32恒成立 .由此可得 f(x) f (x)+32 对于任意的 x 1， 2成立 . 答案：由221xf x a x ln x x （ ） （ ）， 得 242 2 1 211 x x xf x a xx （ ） （ ） = 2323 3 3122 2 2 2 x a xa x a x a x a x xx x x x (x 0). 若 a 0，则 ax2-2 0 恒成立， 当 x (0， 1)时， f
26、 (x) 0， f(x)为增函数， 当 x (1， + )时， f (x) 0， f(x)为减函数； 当 a 0，若 0 a 2，当 x (0， 1)和 ( 2aa， + )时， f (x) 0， f(x)为增函数， 当 x (1， 2aa)时， f (x) 0， f(x)为减函数； 若 a=2， f (x) 0 恒成立， f(x)在 (0， + )上为增函数； 若 a 2，当 x (0， 2aa)和 (1， + )时， f (x) 0， f(x)为增函数， 当 x ( 2aa， 1)时， f (x) 0， f(x)为减函数； ( )解： a=1， 令 F(x)=f(x)-f (x)= 2 2
27、 3 2 332 1 2 1 2 1 211x l n x x l n xx x xx x x x x . 令 g(x)=x-lnx，233 12 1hx x xx （ ）. 则 F(x)=f(x)-f (x)=g(x)+h(x)， 由 1 0xgxx，可得 g(x) g(1)=1，当且仅当 x=1 时取等号； 又 243 2 6xxhx x ， 设 (x)= 23 2 6xx ，则 (x)在 1， 2上单调递减， 且 (1)=1， (2)=-10， 在 1， 2上存在 x0，使得 x (1， x0) 时 (x0) 0， x (x0， 2)时， (x0) 0， 函数 h(x)在 (1， x0)
28、上单调递增；在 (x0， 2)上单调递减， 由于 h(1)=1， h(2)= 12，因此 h(x) h(2)= 12，当且仅当 x=2 取等号， f(x)-f (x)=g(x)+h(x) g(1)+h(2)= 32， F(x) 32恒成立 . 即 f(x) f (x)+ 32对于任意的 x 1， 2成立 . 21. 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 22221yxab(a b 0)的离心率是 32 ，抛物线 E： x2=2y的焦点 F 是 C 的一个顶点 . (I)求椭圆 C 的方程； ( )设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点
29、A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证：点 M 在定直线上； (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1， PDM 的面积为 S2，求12SS 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标 . 解析： (I)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的 a， b， c 的关系，解得 a，b，进而得到椭圆的方程； ( )(i)设 P(x0， y0)，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点 D 的坐标，求得 OD 的方程，再令 x=x0，可得 y= 14.进而得到定直线； (ii)由
30、直线 l 的方程为 y=x0x-y0，令 x=0，可得 G(0， -y0)，运用三角形的面积公式，可得001 0 0 0 2 02041 1 1 12 2 2 2 14xyS F G x x y S P M xx （ ） ，化简整理，再 1+2x02=t(t 1)，整理可得 t 的二次方程，进而得到最大值及此时 P 的坐标 . 答案： (I)由题意可得 32ce a，抛物线 E： x2=2y 的焦点 F 为 (0， 12)， 即有 b=12， a2-c2=14， 解得 a=1， c= 32， 可得椭圆的方程为 x2+4y2=1； ( )(i)证明：设 P(x0， y0)，可得 x02=2y0，
31、 由 212yx的导数为 y =x，即有切线的斜率为 x0， 则切线的方程为 y-y0=x0(x-x0)， 可化为 y=x0x-y0，代入椭圆方程， 可得 (1+4x02)x2-8x0y0x+4y02-1=0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 可得0012 20814xyxxx，即有中点0 0 0220041 4 1 4x y yDxx（ ， ）， 直线 OD 的方程为014yxx ，可令 x=x0，可得 y=-14 . 即有点 M 在定直线 y=-14上； (ii)直线 l 的方程为 y=x0x-y0，令 x=0，可得 G(0， -y0)， 则 21 0 0 0 0 01 1
32、 1 1 12 2 2 4S F G x x y x x （ ） （ ）； 223 00 0 0 0 0 02 0 0 02 2 20 0 0124 4 41 1 1 12 2 4 81 4 1 4 1 4xx y x x x yS P M x y xx x x （ ）， 则 2200122202 1 1 412xxSS x， 令 1+2x02=t(t 1)，则 122212 1 1 2 2 1 2 12t t ttSS tt = 2 2222 1 91 1 1 12 24tt tttt （ ）， 则当 t=2，即0 22x 时，12SS 取得最大值 94 ， 此时点 P 的坐标为 2 124（ ， ）.
