1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 )数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 A=x|x2-4x+3 0， B=x|2x-3 0，则 A B=( ) A.(-3， 32) B.(-3， 32) C.(1， 32) D.(32， 3) 解析：集合 A=x|x2-4x+3 0=(1， 3)， B=x|2x-3 0=(32， + )， A B=(32， 3). 答案： D 2. 设 (1+i)x=1+yi，其中 x， y是实数，则 |x+yi|=( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 解析：根据复
2、数相等求出 x， y的值，结合复数的模长公式进行计算即可 . (1+i)x=1+yi， 1xyx，解得 11xy，即 |x+yi|=|1+i|= 2 . 答案： B. 3. 已知等差数列 an前 9项的和为 27， a10=8，则 a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 解析：等差数列 an前 9项的和为 27， 9a5=27， a5=3， 又 a10=8， d=1， a100=a5+95d=98. 答案： C 4. 某公司的班车在 7： 00， 8： 00， 8： 30 发车，小明在 7： 50 至 8： 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时
3、间不超过 10分钟的概率是 ( ) A.13B.12C.23D.34解析：设小明到达时间为 y， 当 y在 7： 50至 8： 00，或 8： 20至 8： 30时， 小明等车时间不超过 10分钟， 故 204 120P . 答案： B 5. 已知方程 22 13xym n m n表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n的取值范围是 ( ) A.(-1， 3) B.(-1， 3 ) C.(0， 3) D.(0， 3 ) 解析：双曲线两焦点间的距离为 4， c=2，可得： 4=(m2+n)+(3m2-n)，解得： m2=1， 方程 22 13xym n m n表示双曲线， (m2+n)
4、(3m2-n) 0，可得： (n+1)(3-n) 0， 解得： -1 n 3，即 n 的取值范围是： (-1， 3). 答案： A. 6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是 283，则它的表面积是 ( ) A.17 B.18 C.20 D.28 解析：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 18后的几何体，如图： 可得： 37 4 2 88 3 3R ， R=2. 它的表面积是： 22347 4 2 2 1 78 . 答案： A. 7. 函数 y=2x2-e|x|在 -2， 2的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析： f(
5、x)=y=2x2-e|x|， f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|， 故函数为偶函数， 当 x= 2时， y=8-e2 (0， 1)，故排除 A， B； 当 x 0， 2时， f(x)=y=2x2-ex， f (x)=4x-ex=0有解， 故函数 y=2x2-e|x|在 0， 2不是单调的，故排除 C. 正确的是 D. 答案： D 8. 若 a b 1， 0 c 1，则 ( ) A.ac bc B.abc bac C.alogbc blogac D.logac logbc 解析 ： a b 1， 0 c 1， 函数 f(x)=xc在 (0， + )上为增函数，故 ac bc，
6、故 A错误； 函数 f(x)=xc-1在 (0， + )上为减函数，故 ac-1 bc-1，故 bac abc，即 abc bac；故 B错误； logac 0，且 logbc 0， logab 1，即 1cacblo g b lo g clo g a lo g c ，即 logac logbc.故 D错误； 0 -logac -logbc，故 -blogac -alogbc，即 blogac alogbc，即 alogbc blogac，故 C 正确 . 答案 ： C 9. 执行如图的程序框图，如果输入的 x=0， y=1， n=1，则输出 x， y的值满足 ( ) A.y=2x B.y=3
7、x C.y=4x D.y=5x 解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x， y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 . 输入 x=0， y=1， n=1， 则 x=0， y=1，不满足 x2+y2 36，故 n=2， 则 x=12， y=2，不满足 x2+y2 36，故 n=3， 则 x=32， y=6，满足 x2+y2 36， 故 y=4x. 答案： C 10. 以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点，交 C的准线于 D、 E两点 .已知 |AB|=4 2 ，|DE|=2 5 ，则 C的焦点到准线的距离为 ( ) A.
8、2 B.4 C.6 D.8 解析：设抛物线为 y2=2px，如图： |AB|=4 2 ， |AM|=2 2 ， |DE|=2 5 ， |DN|= 5 ， |ON|=2p， 22 422Ax pp， |OD|=|OA|， 2216 854pp ， 解得： p=4. C的焦点到准线的距离为： 4. 答案： B. 11. 平面过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCD=m，平面ABB1A1=n，则 m、 n所成角的正弦值为 ( ) A. 32B. 22C. 33D.13解析：如图：平面 CB1D1，平面 ABCD=m，平面 ABB1A1=n， 可知： n CD1
9、， m B1D1， CB1D1是正三角形 .m、 n所成角就是 CD1B1=60 . 则 m、 n所成角的正弦值为： 32. 答案： A. 12. 已知函数 f(x)=sin( x+ )( 0， | |2)，4x 为 f(x)的零点，4x 为y=f(x)图象的对称轴，且 f(x)在 (18， 536)单调，则的最大值为 ( ) A.11 B.9 C.7 D.5 解析： 解法一：4x 为 f(x)的零点，4x 为 y=f(x)图象的对称轴， 2142n T ，即 2 1 242n ， (n N) 即 =2n+1， (n N) 即为正奇数， f(x)在 (18， 536)则 53 6 1 8 1
10、2 2T ， 即 26T ，解得： 12， 当 =11时， 114 k ， k Z， | |2， =4， 此时 f(x)在 (18， 536)不单调，不满足题意； 当 =9 时， 94 k ， k Z， | |2， =4， 此时 f(x)在 (18， 536)单调，满足题意； 故的最大值为 9. 解法二：4x 为 f(x)的零点，4x 为 y=f(x)图象的对称轴， 424kk ， (k Z)， 4 k， 又 | |2， =4， 由解法一可得： =2n+1， (n N) f(x)在 (18， 536)单调， 523 6 2 1 42 11 8 2 1 4knkn ，即 1 21187 2 1
11、172knkn (k， n Z)， 解得： 06514kn ，故 n 的最大值为 4， 故 =2n+1 9. 答案： B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 . 13. 设向量 a =(m， 1)， b =(1， 2)，且 2 2 2a b a b ，则 m= . 解析： 2 2 2a b a b ， 可得 0ab . 向量 a =(m， 1)， b =(1， 2)， 可得 m+2=0，解得 m=-2. 答案： -2. 14. (2x+ x )5的展开式中， x3的系数是 .(用数字填写答案 ) 解析：利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x的指数为 3，求出
12、r，即可求出展开式中 x3的系数 . (2x+ x )5的展开式中，通项公式为： 55 5 21 5 522rrrr r rrT C x x C x ， 令 532r，解得 r=4 x3的系数 452 10C . 答案 ： 10. 15. 设等比数列 an满足 a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1a2 an的最大值为 . 解析：等比数列 an满足 a1+a3=10， a2+a4=5， 可得 q(a1+a3)=5，解得 q=12. a1+q2a1=10，解得 a1=8. 则 a1a2 an=a1n q1+2+3+ +(n-1)= 221 72 38212 2nn n n n nnn ，
13、当 n=3或 4时，表达式取得最大值： 1222 64 . 答案 ： 64. 16. 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 .生产一件产品 A需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用3个工时，生产一件产品 A的利润为 2100元，生产一件产品 B的利润为 900元 .该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600个工时的条件下，生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为 元 . 解析：甲、乙两种两种新型材料，设 A、 B两种产品分别是 x件和 y件，获利为 z元 . 由题意，
14、得 1 .5 0 .5 1 5 00 .3 9 05 3 6 0 0x N y Nxyxyxy ， z=2100x+900y. 不等式组表示的可行域如图： 由题意可得 0.3 905 3 600xyxy，解得： 60100xy， A(60， 100)， 目标函数 z=2100x+900y.经过 A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值： 2100 60+900 100=216000元 . 答案： 216000. 三、解答题：本大题共 5小题，满分 60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 2cosC(acosB+
15、bcosA)=c. ( )求 C. 解析： ( )已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据 sinC不为 0求出 cosC的值，即可确定出出 C的度数 . 答案： ( )已知等式利用正弦定理化简得： 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC， 整理得： 2cosCsin(A+B)=sinC， sinC 0， sin(A+B)=sinC cosC=12， 又 0 C， C=3. ( )若 c= 7 ， ABC 的面积为 332，求 ABC的周长 . 解析： ( )利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出 a+b的值，即可
16、求 ABC的周长 . 答案： ( )由余弦定理得 227 122a b a b ， (a+b)2-3ab=7， 1 3 3 32 4 2S a b s i n C a b ， ab=6， (a+b)2-18=7， a+b=5， ABC的周长为 5+ 7 . 18. 如图，在以 A， B， C， D， E， F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD， AFD=90，且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F都是 60 . ( )证明平面 ABEF平面 EFDC. 解析： ( )证明 AF平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABEF平面 EFDC. 答案： (
17、) ABEF为正方形， AF EF. AFD=90， AF DF， DF EF=F， AF平面 EFDC， AF 平面 ABEF， 平面 ABEF平面 EFDC. ( )求二面角 E-BC-A 的余弦值 . 解析： ( )证明四边形 EFDC 为等腰梯形，以 E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面 ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E-BC-A的余弦值 . 答案： ( )由 AF DF， AF EF， 可得 DFE为二面角 D-AF-E的平面角； 由 CE BE， BE EF， 可得 CEF为二面角 C-BE-F的平面角 . 可得 DFE= CEF=60 . AB EF
18、， AB 平面 EFDC， EF 平面 EFDC， AB平面 EFDC， 平面 EFDC平面 ABCD=CD， AB 平面 ABCD， AB CD， CD EF， 四边形 EFDC为等腰梯形 . 以 E为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a， 则 E(0， 0， 0)， B(0， 2a， 0)， C(2a， 0， 32a)， A(2a， 2a， 0)， (02 )0EB a ， ， ， 22 3()2aB C a a， ， 20)0(A B a ， ， 设平面 BEC的法向量为1 1 1()m x y z ， ，则 00m EBm BC， 则 11 1 120202 32aya x a y
19、 a z ，取 (301)m ， ， . 设平面 ABC的法向量为2 2 2()n x y z ， ，则 00n BCn AB， 则 2 2 222202203a x a y a zax ，取 4( 3 )0n ， ， . 设二面角 E-BC-A的大小为，则 4 2 1 9193 1 3 1 6mnc o smn ， 则二面角 E-BC-A的余弦值为 2 1919. 19. 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 .在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 .现需决策在购买机器时应同
20、时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数， n表示购买 2台机器的同时购买的易损零件数 . ( )求 X的分布列 . 解析： ( )由已知得 X 的可能取值为 16， 17， 18， 19， 20， 21， 22，分别求出相应的概率，由此能求出 X的分布列 . 答案： ( )由已知得 X 的可能取值为 16， 17， 18， 19， 20， 21， 22， 22 0 116 1 0 0 2 5PX ， 2 0
21、 4 0 41 7 21 0 0 1 0 0 2 5PX ， 224 0 2 0 61 8 21 0 0 1 0 0 2 5PX ， 24 0 2 0 2 0 61 9 2 21 0 0 1 0 0 1 0 0 2 5PX ， 22 0 4 0 2 0 5 12 0 21 0 0 1 0 0 1 0 0 2 5 5PX ， 22 0 22 1 2 1 0 0 2 5PX ， 22 0 122 1 0 0 2 5PX ， X的分布列为： ( )若要求 P(X n) 0.5，确定 n的最小值 . 解析： ( )由 X的分布列求出 P(X 18)=1125， P(X 19)=1725.由此能确定满足
22、 P(X n) 0.5中 n的最小值 . 答案： ( )由 ( )知： P(X 18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18) 1 4 6 1 12 5 2 5 2 5 2 5 . P(X 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) 1 4 6 6 1 72 5 2 5 2 5 2 5 2 5 . P(X n) 0.5中， n 的最小值为 19. ( )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19与 n=20之中选其一，应选用哪个？ 解析： ( )由 X 的分布列得 P(X 19)=1725.求出买 19个所需费用期望 EX1和买 20 个所需费用
23、期望 EX2，由此能求出买 19个更合适 . 答 案 ： ( ) 由 ( ) 得 P(X 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)1 4 6 6 1 72 5 2 5 2 5 2 5 2 5 . 买 19个所需费用期望： EX1=20019 1725+(200 19+500) 525+(200 19+500 2) 225+(200 19+500 3)125 =4040， 买 20个所需费用期望： EX2=20020 2225+(200 20+500) 225+(200 20+2 500) 125=4080， EX1 EX2， 买 19 个更合适 . 20. 设圆
24、x2+y2+2x-15=0的圆心为 A，直线 l过点 B(1， 0)且与 x轴不重合， l 交圆 A于 C， D两点，过 B作 AC 的平行线交 AD于点 E. ( )证明 |EA|+|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程 . 解析： ( )求得圆 A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得 EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E 的轨迹为以 A， B 为焦点的椭圆，求得 a， b， c，即可得到所求轨迹方程 . 答案： ( )圆 x2+y2+2x-15=0即为 (x+1)2+y2=16， 可得圆心 A(-1， 0)，半径 r=4， 由 BE AC，可得 C= EBD，
25、 由 AC=AD，可得 D= C， 即为 D= EBD，即有 EB=ED， 则 |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4， 故 E的轨迹为以 A， B 为焦点的椭圆， 且有 2a=4，即 a=2， c=1， 22 3b a c ， 则点 E的轨迹方程为 22143xy(y 0). ( )设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交 C1于 M， N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于P， Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 . 解析： ( )设直线 l： x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得 |MN|，由 PQ l，设 PQ： y=-m(x-1)，求得 A
26、到 PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得 |PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围 . 答案： ( )椭圆 C1： 22143xy，设直线 l： x=my+1， 由 PQ l，设 PQ： y=-m(x-1)， 由2213 4 12x m yxy可得 (3m2+4)y2+6my-9=0， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 可得12 2634myy m ，12 2934yy m ， 则 22212 2 223 6 3 6113434mM N m y y mmm 2 22223 6 4 4 11 1 23 4 3 4m mmmm ， A到 PQ 的距离
27、为 2211 211m mdmm ， 22222 24 4 3 42 2 1 61 1mmP Q r dm m ， 则四边形 MPNQ面积为 2 2 222224 3 4 1 1 11 2 2 4 2 4131141 3 4 3221m m mS P Q M Nmmmm ， 当 m=0时， S取得最小值 12，又21 01 m ，可得 3324 38S ， 即有四边形 MPNQ面积的取值范围是 12， 83 ). 21. 已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点 . ( )求 a的取值范围 . 解析： ( )由函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2可得： f (x)
28、=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)，对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案 . 答案： ( )函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2， f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)， a=0，那么 f(x)=0 (x-2)ex=0 x=2， 函数 f(x)只有唯一的零点 2，不合题意； 若 a 0，那么 ex+2a 0恒成立， 当 x 1时， f (x) 0，此时函数为减函数； 当 x 1时， f (x) 0，此时函数为增函数； 此时当 x=1时，函数 f(x)取极小值 -e， 由 f(2)=a 0，可得：函数 f(x)在 x 1存在一
29、个零点； 当 x 1时， ex e， x-2 -1 0， f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 (x-2)e+a(x-1)2=a(x-1)2+e(x-1)-e， 令 a(x-1)2+e(x-1)-e=0的两根为 t1， t2，且 t1 t2， 则当 x t1，或 x t2时， f(x) a(x-1)2+e(x-1)-e 0， 故函数 f(x)在 x 1存在一个零点； 即函数 f(x)在 R是存在两个零点，满足题意； 若 02e a ，则 ln(-2a) lne=1， 当 x ln(-2a)时， x-1 ln(-2a)-1 lne-1=0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f
30、(x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故 f(x)单调递增， 当 ln(-2a) x 1时， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故 f(x)单调递减， 当 x 1时， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故 f(x)单调递增， 故当 x=ln(-2a)时，函数取极大值， 由 f(ln(-2a)=ln(-2a)-2(-2a)+aln(-2a)-12=aln(-2a)-12+1 0得： 函数 f(x)在 R上至多存在一个零点，不合题意； 若2ea，
31、则 ln(-2a)=1， 当 x 1=ln(-2a)时， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故 f(x)单调递增， 当 x 1时， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故 f(x)单调递增， 故函数 f(x)在 R上单调递增， 函数 f(x)在 R上至多存在一个零点，不合题意； 若2ea ，则 ln(-2a) lne=1， 当 x 1时， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故
32、f(x)单调递增， 当 1 x ln(-2a)时， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故 f(x)单调递减， 当 x ln(-2a)时， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0， 即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0恒成立，故 f(x)单调递增， 故当 x=1时，函数取极大值， 由 f(1)=-e 0得： 函数 f(x)在 R上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述， a的取值范围为 (0， + ). ( )设 x1， x2是 f(x)的两个零点，证明： x1+x2 2. 解析： ( )设 x1，
33、x2 是 f(x)的两个零点，则 1212222211xxx e x eaxx ，令 221 xxegx x ，则 g(x1)=g(x2)=-a ， 分 析 g(x) 的 单 调 性 ， 令 m 0 ，则 122 111 1 11mmmmg m g m e e ，设 21 11 mmh m em ， m 0，利用导数法可得 h(m) h(0)=0恒成立，即 g(1+m) g(1-m)恒成立，令 m=1-x1 0，可得结论 . 答案： ( ) x1， x2是 f(x)的两个零点， f(x1)=f(x2)=0，且 x1 1，且 x2 1， 1212222211xxx e x eaxx ， 令 22
34、1xxegxx，则 g(x1)=g(x2)=-a， 23211xxegx x ， 当 x 1时， g (x) 0， g(x)单调递减； 当 x 1时， g (x) 0， g(x)单调递增； 设 m 0，则 1 1 1 22 2 21 1 1 11 1 11m m m mm m m mg m g m e e e em m m m ， 设 21 11 mmh m em ， m 0， 则 2 222 01mmh m em 恒成立， 即 h(m)在 (0， + )上为增函数， h(m) h(0)=0恒成立， 即 g(1+m) g(1-m)恒成立， 令 m=1-x1 0， 则 g(1+1-x1) g(1
35、-1+x1) g(2-x1) g(x1)=g(x2) 2-x1 x2， 即 x1+x2 2. 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修 4-1：几何证明选讲 22. 如图， OAB是等腰三角形， AOB=120 .以 O为圆心， 12OA为半径作圆 . ( )证明：直线 AB与 O相切 . 解析： ( )设 K 为 AB 中点，连结 OK.根据等腰三角形 AOB 的性质知 OK AB， A=30，OK=OAsin30 =12OA，则 AB是圆 O的切线 . 答案： ( )设 K为 AB 中点，连结 OK， OA=OB， AOB=120， OK A
36、B， A=30， OK=OAsin30 =12OA， 直线 AB与 O相切 . ( )点 C， D在 O上，且 A， B， C， D四点共圆，证明： AB CD. 解析： ( )设圆心为 T，证明 OT 为 AB的中垂线， OT 为 CD 的中垂线，即可证明结论 . 答案： ( )因为 OA=2OD，所以 O不是 A， B， C， D 四点所在圆的圆心 .设 T是 A， B， C， D四点所在圆的圆心 . OA=OB， TA=TB， OT为 AB的中垂线， 同理， OC=OD， TC=TD， OT为 CD的中垂线， AB CD. 选修 4-4：坐标系与参数方程 23. 在直线坐标系 xOy 中
37、，曲线 C1的参数方程为1x acosty asint(t为参数， a 0).在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =4cos . ( )说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程 . 解析： ( )把曲线 C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线 C1是圆，化为一般式，结合 x2+y2= 2， y= sin化为极坐标方程 . 答案： ( )由1x acosty asint，得1x acosty asint，两式平方相加得， x2+(y-1)2=a2. C1为以 (0， 1)为圆心，以 a为半径的圆 . 化为一般式： x2+y2-2
38、y+1-a2=0. 由 x2+y2= 2， y= sin，得 2-2 sin +1-a2=0. ( )直线 C3的极坐标方程为 = 0，其中 0满足 tan 0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a. 解析： ( )化曲线 C2、 C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知 y=x 为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，把 C1与 C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=x 可得 1-a2=0，则 a值可求 . 答案： ( )C2： =4cos，两边同时乘得 2=4 cos， x2+y2=4x， 即 (x-2)2+y2=4. 由 C3： = 0，其中 0满足 tan 0
39、=2，得 y=2x， 曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上， y=2x为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程， -得： 4x-2y+1-a2=0，即为 C3， 1-a2=0， a 0 a=1. 选修 4-5：不等式选讲 24. 已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. ( )在图中画出 y=f(x)的图象 . 解析： ( )运用分段函数的形式写出 f(x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象 . 答案： ( ) 413 2 143232xxf x x xxx ， ， 由分段函数的图象画法，可得 f(x)的图象，如图： ( )求不等式 |f(x)| 1的解集 . 解析： ( )分别讨论当 x -1时，当 -1 x 32时，当 x 32时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集 . 答案： ( )由 |f(x)| 1，可得 当 x -1时， |x-4| 1，解得 x 5或 x 3，即有 x -1； 当 -1 x 32时， |3x-2| 1，解得 x 1或 x 13， 即有 -1 x 13或 1 x 32； 当 x 32时， |4-x| 1，解得 x 5或 x 3，即有 x 5或 32 x 3. 综上可得， x 13或 1 x 3或 x 5. 则 |f(x)| 1的解集为 (-， 13) (1， 3) (5， + ).
