1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 )数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1. 已知集合 A=1， 2， 3， B=x|x2 9，则 A B=( ) A.-2， -1， 0， 1， 2， 3 B.-2， -1， 0， 1， 2 C.1， 2， 3 D.1， 2 解析：集合 A=1， 2， 3， B=x|x2 9=x|-3 x 3， A B=1， 2. 答案： D. 2. 设复数 z满足 z+i=3-i，则 z =( ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 解析：根据已知求出复数 z，结合
2、共轭复数的定义，可得答案 . 复数 z满足 z+i=3-i， z=3-2i， z =3+2i， 答案： C 3. 函数 y=Asin( x+ )的部分图象 如图所示，则 ( ) A.y=2sin(2x-6) B.y=2sin(2x-3) C.y=2sin(x+6) D.y=2sin(x+3) 解析：由图可得：函数的最大值为 2，最小值为 -2，故 A=2，2 3 6T ，故 T=， =2， 故 y=2sin(2x+ )， 将 (3， 2)代入可得： 2sin(23+ )=2， 则 = 6满足要求， 故 y=2sin(2x -6). 答案： A. 4. 体积为 8的正方体的顶点都在同一球面上，则
3、该球面的表面积为 ( ) A.12 B.323 C.8 D.4 解析：正方体体积为 8，可知其边长为 2， 正方体的体对角线为 4 34 4 2 ， 即为球的直径，所以半径为 3 ， 所以球的表面积为 2 1234 . 答案： A. 5. 设 F为抛物线 C： y2=4x的焦点，曲线 kyx(k 0)与 C交于点 P， PF x轴，则 k=( ) A.12B.1 C.32D.2 解析： 根据已知，结合抛物线的性质，求出 P点坐标，再由反比例函数的性质，可得 k值 . 抛物线 C： y2=4x的焦点 F为 (1， 0)， 曲线 kyx(k 0)与 C交于点 P在第一象限， 由 PF x轴得： P
4、点横坐标为 1， 代入 C得： P点纵坐标为 2， 故 k=2. 答案 ： D 6. 圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1，则 a=( ) A. 43B. 34C. 3 D.2 解析：圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心坐标为： (1， 4)， 故圆心到直线 ax+y-1=0的距离241 11ada， 解得： 43a. 答案： A. 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32 解析：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是
5、2 3 ， 在轴截面中圆锥的母线长是 12 4 4 ， 圆锥的侧面积是 2 4=8， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4， 圆柱表现出来的表面积是 22+2 2 4=20 空间组合体的表面积是 28 . 答案： C. 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒 .若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15秒才出现绿灯的概率为 ( ) A.710B.58C.38D.310解析：红灯持续时间为 40秒，至少需要等待 15秒才出现绿灯， 一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯， 至少需要等待 15秒才出现绿灯的概率为 25 540 8. 答案
6、： B. 9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图 .执行该程序框图，若输入的 x=2， n=2，依次输入的 a为 2， 2， 5，则输出的 s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 解析：根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行过程，可得答案 . 输入的 x=2， n=2， 当输入的 a为 2时， S=2， k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的 a为 2时， S=6， k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的 a为 5时， S=17， k=3，满足退出循环的条件； 故输出的 S值为 17. 答案： C
7、 10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域相同的是 ( ) A.y=x B.y=lgx C.y=2x D. 1yx解析：函数 y=10lgx的定义域和值域均为 (0， + )， 函数 y=x的定义域和值域均为 R，不满足要求； 函数 y=lgx的定义域为 (0， + )，值域为 R，不满足要求； 函数 y=2x的定义域为 R，值域为 R(0， + )，不满足要求； 函数 1yx的定义域和值域均为 (0， + )，满足要求 . 答案： D 11. 函数 f(x)=cos2x+6cos(2-x)的最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：运用二倍角的
8、余弦公式和诱导公式，可得 y=1-2sin2x+6sinx，令 t=sinx(-1 t 1)，可得函数 y=-2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值 . 函数 f(x)=cos2x+6cos(2-x)=1-2sin2x+6sinx， 令 t=sinx(-1 t 1)， 可得函数 22 1126 3212 2y t t t ， 由 32-1， 1，可得函数在 -1， 1递增， 即有 t=1即 x=2k +2， k Z时，函数取得最大值 5. 答案 ： B. 12. 已知函数 f(x)(x R)满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-
9、3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1， y1)， (x2， y2)， (xm， ym)，则1mii x ( ) A.0 B.m C.2m D.4m 解析：函数 f(x)(x R)满足 f(x)=f(2-x)， 故函数 f(x)的图象关于直线 x=1对称， 函数 y=|x2-2x-3|的图象也关于直线 x=1对称， 故函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x) 图象的交点也关于直线 x=1对称， 故122m iimxm . 答案： B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分 . 13. 已知向量 a =(m， 4)， b =(3， -2)，且 ab，则 m= . 解析： 直接利用向量共
10、线的充要条件列出方程求解即可 . 向量 a =(m， 4)， b =(3， -2)，且 ab， 可得 12=-2m，解得 m=-6. 答案： -6. 14. 若 x， y满足约束条件 103030xyxyx ，则 z=x-2y 的最小值为 . 解析 ：由约束条件 103030xyxyx 作出可行域如图， 联立 310xxy，解得 B(3， 4). 化目标函数 z=x-2y为 1122y x z， 由图可知，当直线 1122y x z过 B(3， 4)时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为：3-2 4=-5. 答案 ： -5. 15. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b
11、， c，若 cosA=45， cosC=513， a=1，则 b= . 解析：运用同角的平方关系可得 sinA， sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得 sinB，运用正弦定理可得 asinBbsinA，代入计算即可得到所求值 . 由 cosA=45， cosC=513，可得 2 1 6 311 2 5 5s i n A c o s A ， 2 2 5 1 211 1 6 9 1 3s i n C c o s C ， 3 5 4 1 2 6 35 1 3 5 1 3 6 5s i n B s i n A C s i n A c o s C c o s A s i n C ， 由正弦定理
12、可得63121653 135a s in Bbs in A . 答案： 2113. 16. 有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 . 解析：根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1和 2，或 1和 3； (1)若丙的卡片上写着 1和 2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2和 3； 根据甲的说法知，甲的卡片上写着 1和 3； (2)若丙的卡片上写着 1和 3，根据乙的说法知
13、，乙的卡片上写着 2和 3； 又甲说 ，“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”； 甲的卡片上写的数字不是 1和 2，这与已知矛盾； 甲的卡片上的数字是 1和 3. 答案： 1和 3. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 等差数列 an中， a3+a4=4， a5+a7=6. ( )求 an的通项公式 . 解析： ( )设等差数列 an的公差为 d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案 . 答案： ( )设等差数列 an的公差为 d， a3+a4=4， a5+a7=6. 112 5 42 10 6ad， 解得： 1 125ad， 2355nan. ( )设 bn=
14、an，求数列 bn的前 10项和，其中 x表示不超过 x的最大整数，如 0.9=0，2.6=2. 解析： ( )根据 bn=an，列出数列 bn的前 10 项，相加可得答案 . 答案： ( ) bn=an， b1=b2=b3=1， b4=b5=2， b6=b7=b8=3， b9=b10=4. 故数列 bn的前 10项和 S10=3 1+2 2+3 3+2 4=24. 18. 某险种的基本保费为 a(单位：元 )，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的 200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： ( )记 A为事件：“一续保
15、人本年度的保费不高于基本保费” .求 P(A)的估计值 . 解析： ( )求出 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数 .总事件人数，即可求 P(A)的估计值 . 答案： ( )记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” .事件 A 的人数为：60+50=110，该险种的 200名续保， P(A)的估计值为： 110 11200 20. ( )记 B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” .求 P(B)的估计值 . 解析： ( )求出 B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”的人数 .然后求 P(
16、B)的估计值 . 答案： ( )记 B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” .事件 B的人数为： 30+30=60， P(B)的估计值为： 60 3200 10. ( )求续保人本年度的平均保费估计值 . 解析： ( )利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值 . 答案： ( )续保人本年度的平均保费估计值为 0 . 8 5 6 0 5 0 1 . 2 5 3 0 1 . 5 3 0 1 . 7 5 2 0 2 1 0 1 . 1 9 2 5200a a a a a axa . 19. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD
17、交于点 O，点 E、 F 分别在 AD， CD 上， AE=CF， EF交 BD于点 H，将 DEF沿 EF折到 D EF的位置 . ( )证明： AC HD . 解析： ( )根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明 EF平面 DD H即可 . 答案： ( )菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O，点 E、 F分别在 AD， CD上， AE=CF， EF AC，且 EF BD， 又 D H EF， D H DH=H， EF平面 DD H， HD 平面 D HD， EF HD， EF AC， AC HD . ( )若 AB=5， AC=6， AE=54， OD =2 2 ，求五棱
18、锥 D -ABCFE体积 . 解析： ( )根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明 OD是五棱锥 D-ABCFE的高，即可得到结论 . 答案： ( )若 AB=5， AC=6，则 AO=3， B0=OD=4， AE=54， AD=AB=5， 54 155 4DE ， EF AC， 54 3415D E E H D HA D A O O D ， EH=94， EF=2EH=92， DH=3， OH=4-3=1， HD =DH=3， OD =2 2 ， 满足 HD 2=OD 2+OH2， 则 OHD为直角三角形，且 OD OH， 即 OD底面 ABCD， 即 OD是五棱锥 D -AB
19、CFE的高 . 底面五边形的面积 9 61 2 1 6 926 4 1 22 2 41122 4E F A C O HS A C O B ， 则五棱锥 D -ABCFE体积 1 1 2233 6 9 2 3242V S O D . 20. 已知函数 f(x)=(x+1)lnx-a(x-1). ( )当 a=4时，求曲线 y=f(x)在 (1， f(1)处的切线方程 . 解析： ( )当 a=4时，求出曲线 y=f(x)在 (1， f(1)处的切线的斜率，即可求出切线方程 . 答案： ( )当 a=4时， f(x)=(x+1)lnx-4(x-1). f(1)=0，即点为 (1， 0)， 函数的导
20、数 114f x ln x xx ， 则 f (1)=ln1+2-4=2-4=-2， 即函数的切线斜率 k=f (1)=-2， 则曲线 y=f(x)在 (1， 0)处的切线方程为 y=-2(x-1)=-2x+2. ( )若当 x (1， + )时， f(x) 0，求 a的取值范围 . 解析： ( )先求出 f (x) f (1)=2-a，再结合条件，分类讨论，即可求 a的取值范围 . 答案： ( ) f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)， 11f x ln x ax ， 21xfx x ， x 1， f (x) 0， f (x)在 (1， + )上单调递增， f (x) f (1)=2-a
21、. a 2， f (x) f (1) 0， f(x)在 (1， + )上单调递增， f(x) f(1)=0，满足题意； a 2，存在 x0 (1， + )， f (x0)=0，函数 f(x)在 (1， x0)上单调递减，在 (x0， + )上单调递增， 由 f(1)=0，可得存在 x0 (1， + )， f(x0) 0，不合题意 . 综上所述， a 2. 21. 已知 A 是椭圆 E： 22143xy的左顶点，斜率为 k(k 0)的直线交 E 与 A， M 两点，点N在 E上， MA NA. ( )当 |AM|=|AN|时，求 AMN的面积 . 解析： ( )依题意知椭圆 E的左顶点 A(-2
22、， 0)，由 |AM|=|AN|，且 MA NA，可知 AMN为等腰直角三角形，设 M(a-2， a)，利用点 M 在 E 上，可得 3(a-2)2+4a2=12，解得： a=127，从而可求 AMN的面积 . 答案： ( )由椭圆 E的方程： 22143xy知，其左顶点 A(-2， 0)， |AM|=|AN|，且 MA NA， AMN为等腰直角三角形， MN x轴，设 M的纵坐标为 a，则 M(a-2， a)， 点 M在 E上， 3(a-2)2+4a2=12，整理得： 7a2-12a=0， a=127或 a=0(舍 )， 2 1442412 9A M NS a a a . ( )当 2|AM
23、|=|AN|时，证明： 3 k 2. 解析： ( )设直线 lAM 的方程为： y=k(x+2)，直线 lAN 的方程为： 1 2yxk ，联立 2223 4 1 2y k xxy消去 y，得 (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得 2221 2 11234MkA M k xk ，222 211 2 11 2 134134k kkANkk，结合2|AM|=|AN|，可得2223 4 3 4kkk，整理后，构造函数 f(k)=4k3-6k2+3k-8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立 . 答案： ( )设直线 lAM 的方
24、程为： y=k(x+2)，直线 lAN 的方程为： 1 2yxk ，由 2223 4 1 2y k xxy消去 y 得： (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0， 22162 34Mkx k ，221 6 6 823 4 3 4M kkx ， 2 2 222226 8 6 8 1 2 11 2 13 4 3 4Mk k kA M k x kkk . k 0， 222 211 2 11 2 134134k kkANkk， 又 2|AM|=|AN|，2223 4 3 4kkk， 整理得： 4k3-6k2+3k-8=0， 设 f(k)=4k3-6k2+3k-8， 则 f (k)=12k2
25、-12k+3=3(2k-1)2 0， f(k)=4k3-6k2+3k-8为 (0， + )的增函数， 又 3 3 34 3 6 3 3 8 1 5 3 2 6 6 7 5 6 7 6 0f ， f(2)=4 8-6 4+3 2-8=6 0， 3 k 2. 请考生在第 22 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修 4-1：几何证明选讲 22. 如图，在正方形 ABCD 中， E， G 分别在边 DA， DC 上 (不与端点重合 )，且 DE=DG，过 D点作 DF CE，垂足为 F. ( )证明： B， C， G， F四点共圆 . 解析： ( )证明 B， C， G， F
26、四点共圆可证明四边形 BCGF对角互补，由已知条件可知 BCD=90，因此问题可转化为证明 GFB=90 . 答案： ( ) DF CE， Rt DFC Rt EDC， DF CFED CD， DE=DG， CD=BC， DF CFDG BC， 又 GDF= DEF= BCF， GDF BCF， CFB= DFG， GFB= GFC+ CFB= GFC+ DFG= DFC=90， GFB+ GCB=180， B， C， G， F四点共圆 . ( )若 AB=1， E为 DA 的中点，求四边形 BCGF的面积 . 解析： ( )在 Rt DFC中， GF=12CD=GC，因此可得 GFB GCB
27、，则 S 四边形 BCGF=2S BCG，据此解答 . 答案： ( ) E为 AD 中点， AB=1， DG=CG=DE=12， 在 Rt DFC中， GF=12CD=GC，连接 GB， Rt BCG Rt BFG， 112 12 2 221B C G FS S B C G 四 边 形. 选项 4-4：坐标系与参数方程 23. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C的方程为 (x+6)2+y2=25. ( )以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程 . 解析： ( )把圆 C 的标准方程化为一般方程，由此利用 2=x2+y2， x= cos， y= sin，能求出圆 C的
28、极坐标方程 . 答案： ( )圆 C的方程为 (x+6)2+y2=25， x2+y2+12x+11=0， 2=x2+y2， x= cos， y= sin， C的极坐标方程为 2+12 cos +11=0. ( )直线 l 的参数方程是 x tcosy tsin(t 为参数 )， l 与 C 交与 A， B 两点， |AB|= 10 ，求l的斜率 . 解析： ( )由直线 l的参数方程求出直线 l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线 l的斜率 . 答案： ( )直线 l的参数方程是 x tcosy tsin(t 为参数 )， 直线 l的一般方程 y=tan x， l与 C交与 A，
29、B两点， |AB|= 10 ，圆 C的圆心 C(-6， 0)，半径 r=5， 圆心 C(-6， 0)到直线距离26 1 0251|4|ta ndta n ， 解得 2 53tan ， 5 1 533ta n . l的斜率 153k . 选修 4-5：不等式选讲 24. 已知函数 1122f x x x ， M为不等式 f(x) 2的解集 . ( )求 M. 解析： ( )分当 x 12时，当 1122x 时，当 x 12时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案 . 答案： ( )当 x 12时，不等式 f(x) 2可化为： 12 21 2xx ， 解得： x -1， -1 x 12， 当 11
30、22x 时，不等式 f(x) 2可化为： 12 21 2 1xx ， 此时不等式恒成立， 12 21 2 1xx ， 当 x 12时，不等式 f(x) 2可化为： 112 22xx ， 解得： x 1， 12 x 1， 综上可得： M=(-1， 1). ( )证明：当 a， b M 时， |a+b| |1+ab|. 解析： ( )当 a， b M 时， (a2-1)(b2-1) 0，即 a2b2+1 a2+b2，配方后，可证得结论 . 答案： ( )当 a， b M 时， (a2-1)(b2-1) 0， 即 a2b2+1 a2+b2， 即 a2b2+1+2ab a2+b2+2ab， 即 (ab+1)2 (a+b)2， 即 |a+b| |1+ab|.
