1、离散数学自考题模拟 2 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、第部分 选择题(总题数：15，分数：15.00)1.设 A、B、C、D 为任意集合，则下列等式不成立的是_ AA-(BC)=(A-B)(A-C) BA(B C)=(AB) (AC) C(A B)(C D)=(AC) （分数：1.00）A.B.C.D.2.t(R 1 R 2 )与 t(R 1 )t(R 2 )的关系是_ A B （分数：1.00）A.B.C.D.3.已知集合 A=1，2，3上的关系 R=3，3，3，1，则 s(R)=_（分数：1.00）A.3，3，1，3B.3，3，3，1，1，3C.3，3，1，1，2
2、，2D.3，3，3，1，1，3，1，14.已知集合 为 A 的幂集， Aa，a B C D （分数：1.00）A.B.C.D.5.设有函数 f： RR 和 g： RR ，且 f(x)=x 2 -1，g(x)=4x+1，则复合函数 （分数：1.00）A.B.C.D.6.对自然数集合 N，下列哪种运算是可结合的，运算定义为 a，bN_（分数：1.00）A.a*b=a-bB.a*b=a+2bC.a*b=min(a，b)D.a*b=|a-b|7.在代数系统中，整环和域的关系是_（分数：1.00）A.整环一定是域B.域不一定是整环C.域一定是整环D.域一定不是整环8.设 ，其中取 （分数：1.00）A.
3、B.C.D.9.设 S=0，1，*为普通乘法，则S，*是_（分数：1.00）A.独异点，但不是群B.半群，但不是独异点C群D.环，但不是群10.设a，b，c，*为代数系统，*运算如下： （分数：1.00）A.没有BaCbDc11.任意一个具有 2 个或 2 个以上元的半群_（分数：1.00）A.可能不是群B.一定不是群C.一定是群D.是交换群12.六阶群的任何非平凡子群一定不是_（分数：1.00）A.2 阶B.5 阶C.3 阶D.6 阶13.设 A=1，2，4，A 上的二无关系 R 的关系图如下图，则 R 具有的性质是_ （分数：1.00）A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性14.设 X
4、=a，b，c，I X 是 X 上的恒等关系，要使 I X a，b，b，c，c，a，b，aR 为 X 上的等价关系，R 应取_（分数：1.00）A.c，a，a，cB.a，c，c，bC.c，a，b，aD.c，b，b，a15.设 是环，则下列选项正确的是_ A 是 Abel 群 B 是可分配的 C （分数：1.00）A.B.C.D.二、第部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)16.设 R 为定义在集合 A 上的一个关系，若 R 是 1、 2 和 3，则 R 称为 A 上的等价关系。 （分数：2.00）17.设 A=0，1，B=1，则 AB 2 = 1。 （分数：2.00）18.设偏序集 A
5、 上的关系 R=a，b，a，c，b，d，b，e，c，f，c，g，则 A 的极大元是 1，极小元是 2。 （分数：2.00）19.设 A=0，1，N 为自然数集， （分数：2.00）20.设 R 是 A 上的二无关系，则 r(R)= 1，s(R)= 2。 （分数：2.00）21.设 A=0，1，3，6，A 上的二元运算*定义为 a*b=ab，则A，*的幺元是 1，零元是 2。 （分数：2.00）22.设A，+，是环，如果A，是可交换的，则称A，+，是 1。 （分数：2.00）23.在 Klein 四元群 G=e，a，b，c中， 1 是 1 阶元， 2 是 2 阶元。 （分数：2.00）24.设
6、G=(a)是循环群，则 G 的生成元是 1。 （分数：2.00）25.设 X=a，b，c，Y=d，e，从 X 到 Y 的函数共有 1。 （分数：2.00）三、计算题(总题数：5，分数：30.00)26.设 ，计算 AB，A-B，A （分数：6.00）_27.设 A=1，2，3，4，在 AA 上定义等价关系 有 （分数：6.00）_设 A=1，2，3，4，6，8，9，偏序集 ，其中 （分数：6.00）(1).画出 S 的哈斯图；（分数：3.00）_(2).找出6，9的最大下界和最小上界。（分数：3.00）_判断下列集合 A 和二元运算*是否构成代数系统。（分数：6.00）(1). （分数：3.0
7、0）_(2). （分数：3.00）_28.设 S=R(R 为实数集)，定义 S 上的二元运算*，即 （分数：6.00）_四、证明题(总题数：3，分数：21.00)已知 R 1 =a，b，a，c，b，c，R 2 =a，a，b，b，c，b，证明：（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_(2). （分数：3.50）_29.设群 G=M 2 (R)，H=A|AM 2 (R)，且 A=A T ，其中 A T 表示 A 的转置，证明：H 是 G 的子群。 （分数：7.00）_30.R 为含幺环，a，bR，且 a -1 ，b -1 R。证明：(ab) -1 =b -1 a -1 。 （分数：7.00
8、）_五、综合应用题(总题数：2，分数：14.00)集合 A=a，b，c，d，e上的划分为 S=a，b，c，d，e。（分数：7.00）(1).写出由 S 确定的 A 上的等价关系 R；（分数：3.50）_(2).画出 R 的关系图，并求 M R 。（分数：3.50）_设 f：RR，f(x)=x 2 -1；g：RR，g(x)=x+2；h：RR，h(x)=x 3 +4。（分数：6.99）(1). （分数：2.33）_(2).问 （分数：2.33）_(3).f，g，h 中哪些函数有反函数?如果有，求出该反函数。（分数：2.33）_离散数学自考题模拟 2 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟
9、)一、第部分 选择题(总题数：15，分数：15.00)1.设 A、B、C、D 为任意集合，则下列等式不成立的是_ AA-(BC)=(A-B)(A-C) BA(B C)=(AB) (AC) C(A B)(C D)=(AC) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：考点 本题主要考查的知识点为集合的运算， 解析 A 选项，A-(BC)=A(BC) =A(BC) =(AB)(AC) =(A-B)(A-C)； B 选项，(AB) (AC)=(AB)-(AC)(AC)-(AB) =(AB)(AC)(AC)-(AB) =(AB)(AC)(AC)(AB) =(ABC)(ACB) =A(BC)(CB) =A
10、(B-C)(C-B) =A(B 2.t(R 1 R 2 )与 t(R 1 )t(R 2 )的关系是_ A B （分数：1.00）A. B.C.D.解析：3.已知集合 A=1，2，3上的关系 R=3，3，3，1，则 s(R)=_（分数：1.00）A.3，3，1，3B.3，3，3，1，1，3 C.3，3，1，1，2，2D.3，3，3，1，1，3，1，1解析：考点 本题主要考查的知识点为对称闭包。 解析 s(R)=RR -1 =3，3，3，13，3，1，3 =3，3，3，1，1，3。4.已知集合 为 A 的幂集， Aa，a B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：考点 本题主要考查的知
11、识点为集合的幂集及笛卡儿积。 解析 因为 A=a，所以 5.设有函数 f： RR 和 g： RR ，且 f(x)=x 2 -1，g(x)=4x+1，则复合函数 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：考点 本题主要考查的知识点为复合函数。 解析 6.对自然数集合 N，下列哪种运算是可结合的，运算定义为 a，bN_（分数：1.00）A.a*b=a-bB.a*b=a+2bC.a*b=min(a，b) D.a*b=|a-b|解析：考点 本题主要考查的知识点为运算的可结合性。 解析 取 7.在代数系统中，整环和域的关系是_（分数：1.00）A.整环一定是域B.域不一定是整环C.域一定是整环 D.域一
12、定不是整环解析：8.设 ，其中取 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：考点 本题主要考查的知识点为代数系统中的幺元。 解析 因为 9.设 S=0，1，*为普通乘法，则S，*是_（分数：1.00）A.独异点，但不是群 B.半群，但不是独异点C群D.环，但不是群解析：考点 本题主要考查的知识点为群、半群、独异点、环。 解析 S，*中的运算*是封闭的，并且是可结合的，则S，*是半群。又因为半群S，*中存在幺元 1，所以S，*是独异点，而 S 中的元素 0 不存在它的逆元，所以S，*不是群。S，*也不是环。故选 A。10.设a，b，c，*为代数系统，*运算如下： （分数：1.00）A.没有BaC
13、bDc 解析：考点 本题主要考查的知识点为代数系统中的零元。 解析 由*运算表可知，a*c=c，b*c=c，c*c=c，而 c*a=c，c*b=c，所以 c 为零元。11.任意一个具有 2 个或 2 个以上元的半群_（分数：1.00）A.可能不是群 B.一定不是群C.一定是群D.是交换群解析：12.六阶群的任何非平凡子群一定不是_（分数：1.00）A.2 阶B.5 阶C.3 阶D.6 阶 解析：13.设 A=1，2，4，A 上的二无关系 R 的关系图如下图，则 R 具有的性质是_ （分数：1.00）A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性 解析：考点 本题主要考查的知识点为二无关系的性质。
14、解析 由图可知，图中每个结点都没有环，故 R 不是自反的；结点 1 与 4 之间只有一个有向边，故 R 不是对称的；结点 4 到结点 2 有边，结点 2 到结点 1 也有边，但结点 4 到结点 1 没有边，故 R 不是传递的；排除 A、B、C 项，故选 D。14.设 X=a，b，c，I X 是 X 上的恒等关系，要使 I X a，b，b，c，c，a，b，aR 为 X 上的等价关系，R 应取_（分数：1.00）A.c，a，a，cB.a，c，c，b C.c，a，b，aD.c，b，b，a解析：15.设 是环，则下列选项正确的是_ A 是 Abel 群 B 是可分配的 C （分数：1.00）A.B.C
15、. D.解析：考点 本题主要考查的知识点为环。 解析 由环的定义可知，若 是环，则A，*是 Abel 群， 是半群， 二、第部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)16.设 R 为定义在集合 A 上的一个关系，若 R 是 1、 2 和 3，则 R 称为 A 上的等价关系。 （分数：2.00）解析：自反的；对称的；传递的17.设 A=0，1，B=1，则 AB 2 = 1。 （分数：2.00）解析：0，1，1，1，1，1 考点 本题主要考查的知识点为笛卡儿积。 解析 B=1，则 B 2 =BB=1，1，AB 2 =0.11，1 =0，1，1，1，1，1。18.设偏序集 A 上的关系 R=a
16、，b，a，c，b，d，b，e，c，f，c，g，则 A 的极大元是 1，极小元是 2。 （分数：2.00）解析：d、e、f、g；a 考点 本题主要考查的知识点为偏序集的极大元、极小元。 解析 根据偏序集 A 上的关系 R，可画出 A 的哈斯图，如下： 19.设 A=0，1，N 为自然数集， （分数：2.00）解析：满 考点 本题主要考查的知识点为函数的性质。 解析 ranf=A，所以 f 是满射的，但对于 x 1 x 2 ，f(x 1 )有可能与 f(x 2 )相等，例如：当 x 1 ，x 2 为两个不相等的偶数时，f(x 1 )=f(x 2 )=0，所以 f 不是入射的，则 f 也不是双射。2
17、0.设 R 是 A 上的二无关系，则 r(R)= 1，s(R)= 2。 （分数：2.00）解析：RI A ；RR -121.设 A=0，1，3，6，A 上的二元运算*定义为 a*b=ab，则A，*的幺元是 1，零元是 2。 （分数：2.00）解析：1；0 考点 本题主要考查的知识点为代数系统中的幺元和零元。 解析 对 22.设A，+，是环，如果A，是可交换的，则称A，+，是 1。 （分数：2.00）解析：可交换环23.在 Klein 四元群 G=e，a，b，c中， 1 是 1 阶元， 2 是 2 阶元。 （分数：2.00）解析：e；a、b、c24.设 G=(a)是循环群，则 G 的生成元是 1
18、。 （分数：2.00）解析：a、a -125.设 X=a，b，c，Y=d，e，从 X 到 Y 的函数共有 1。 （分数：2.00）解析：8三、计算题(总题数：5，分数：30.00)26.设 ，计算 AB，A-B，A （分数：6.00）_正确答案：()解析：27.设 A=1，2，3，4，在 AA 上定义等价关系 有 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设 A=1，2，3，4，6，8，9，偏序集 ，其中 （分数：6.00）(1).画出 S 的哈斯图；（分数：3.00）_正确答案：()解析：哈斯图如下： (2).找出6，9的最大下界和最小上界。（分数：3.00）_正确答案：()解析：6，9的最大
19、下界为 3，最小上界不存在。判断下列集合 A 和二元运算*是否构成代数系统。（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：，a*b=a+b-2ab，则 a，b 可以进行*运算且 a*bR=A，故集合 A 和二元运算*能构成代数系统。(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：，a*b=|a-b|，则 a，b 可进行*运算，但是 ，所以集合 A 和二元运算*不能构成代数系统。28.设 S=R(R 为实数集)，定义 S 上的二元运算*，即 （分数：6.00）_正确答案：()解析：(1) ，易证 a*b=a+b+abS，即*运算封闭。 (2) 所以*满足结合律。 (3)设
20、 S 关于*有幺元 e，可知 e=0。 (4)设 有逆元 a -1 ，可得 四、证明题(总题数：3，分数：21.00)已知 R 1 =a，b，a，c，b，c，R 2 =a，a，b，b，c，b，证明：（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_正确答案：()解析：(2). （分数：3.50）_正确答案：()解析：29.设群 G=M 2 (R)，H=A|AM 2 (R)，且 A=A T ，其中 A T 表示 A 的转置，证明：H 是 G 的子群。 （分数：7.00）_正确答案：()解析：显然 H 非空， 30.R 为含幺环，a，bR，且 a -1 ，b -1 R。证明：(ab) -1 =b -
21、1 a -1 。 （分数：7.00）_正确答案：()解析：(ab)(b -1 a -1 )=a(bb -1 )a -1 =aa -1 =e，(b -1 a -1 )(ab)=b -1 (a -1 a)b=b -1 b=e，于是 b -1 a -1 是 ab 的逆元，即(ab) -1 =b -1 a -1 。五、综合应用题(总题数：2，分数：14.00)集合 A=a，b，c，d，e上的划分为 S=a，b，c，d，e。（分数：7.00）(1).写出由 S 确定的 A 上的等价关系 R；（分数：3.50）_正确答案：()解析：R=(a，ba，b)(c，dc，d)(ee) =a，a，a，b，b，a，b，b，c，c，c，d，d，c，d，d，e，e。(2).画出 R 的关系图，并求 M R 。（分数：3.50）_正确答案：()解析：R 的关系图如下图： 设 f：RR，f(x)=x 2 -1；g：RR，g(x)=x+2；h：RR，h(x)=x 3 +4。（分数：6.99）(1). （分数：2.33）_正确答案：()解析：(2).问 （分数：2.33）_正确答案：()解析：都不是单射，满射，双射。(3).f，g，h 中哪些函数有反函数?如果有，求出该反函数。（分数：2.33）_正确答案：()解析：g 和 h 有反函数，
