1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 （ 新课标 ） 数学文 一、选择题 (共 12小题，每小题 5分，满分 60分 ) 1. 设集合 A=0， 2， 4， 6， 8， 10， B=4， 8，则 AB=( ) A.4， 8 B.0， 2， 6 C.0， 2， 6， 10 D.0， 2， 4， 6， 8， 10 解析：集合 A=0， 2， 4， 6， 8， 10， B=4， 8，则 AB=0， 2， 6， 10. 答案： C. 2. 若 z=4+3i，则 zz=( ) A.1 B.-1 C.4355iD.4355i解析： z=4+3i，则 4 3 4 3 4 34 3 5 5 5ii iizz
2、 . 答案： D. 3. 已知向量 BA =(12， 32)， BC =( 32， 12)，则 ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120 解析： BA BC = 34+ 34= 32， |BA |=|BC |=1； cos ABC= 32B A B CB A B C ； 又 0 ABC 180； ABC=30 . 答案： A. 4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15， B点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是 ( ) A.各月的平均最低气温都在 0以上 B.七月的
3、平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20的月份有 5个 解析： A.由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上，正确 B.七月的平均温差大约在 10左右，一月的平均温差在 5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10，正确 D.平均最高气温高于 20的月份有 7， 8两个月，故 D错误 . 答案： D. 5. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M， I， N中的一个字母，第二位是 1， 2， 3， 4， 5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 (
4、) A.815B.18C.115D.130解析：从 M， I， N中任取一个字母，再从 1， 2， 3， 4， 5中任取一个数字，取法总数为： (M， 1)， (M， 2)， (M， 3)， (M， 4)， (M， 5)， (I， 1)， (I， 2)， (I， 3)， (I， 4)， (I， 5)，(N， 1)， (N， 2)， (N， 3)， (N， 4)， (N， 5)共 15种 . 其中只有一个是小敏的密码前两位 . 由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 115. 答案： C. 6. 若 tan =-13，则 cos2 =( ) A.-45B.-15C.15D
5、.45解析：由 tan =-13，得 cos2 =cos2 -sin2 =22 2 222 2 211 14 3 =15 11 3c o s s i n t a nc o s s i n t a n . 答案： D. 7. 已知 a= 432 ， b= 23 ， c= 1325 ，则 ( ) A.b a c B.a b c C.b c a D.c a b 解析： a= 432 = 234 ， b= 23 ， c= 1325 = 235 ， 综上可得： b a c. 答案： A. 8. 执行如图程序框图，如果输入的 a=4， b=6，那么输出的 n=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：
6、模拟执行程序，可得 a=4， b=6， n=0， s=0 执行循环体， a=2， b=4， a=6， s=6， n=1 不满足条件 s 16，执行循环体， a=-2， b=6， a=4， s=10， n=2 不满足条件 s 16，执行循环体， a=2， b=4， a=6， s=16， n=3 不满足条件 s 16，执行循环体， a=-2， b=6， a=4， s=20， n=4 满足条件 s 16，退出循环，输出 n的值为 4. 答案： B. 9. 在 ABC中， B=4， BC边上的高等于 13BC，则 sinA=( ) A.310B. 1010C. 55D.3 1010解析：在 ABC中，
7、 B=4， BC边上的高等于 13BC， AB= 23BC， 由余弦定理得： AC= 22 2? A B B C A B B C c o s B = 2 2 22 2 59 3 ?3B C B C B C B C ， 故 12BC 13BC=12AB AC sinA=12 23BC 53BC sinA， sinA=3 1010. 答案： D. 10. 网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) A.18+36 5 B.54+18 5 C.90 D.81 解析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱， 其底面面积为： 3 6=1
8、8， 前后侧面的面积为： 3 6 2=36， 左右侧面的面积为： 3 2236 2=18 5 ， 故棱柱的表面积为： 18+36+9 5 =54+18 5 . 答案： B. 11. 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V的球，若 AB BC， AB=6， BC=8， AA1=3，则 V的最大值是 ( ) A.4 B.92C.6 D.323解析： AB BC， AB=6， BC=8， AC=10. 故三角形 ABC的内切圆半径 r=6 8 102=2， 又由 AA1=3， 故直三棱柱 ABC-A1B1C1的内切球半径为 32， 此时 V的最大值 43 (32)3=92. 答案：
9、 B. 12. 已知 O为坐标原点， F是椭圆 C： 221xyab(a b 0)的左焦点， A， B分别为 C的左，右顶点 .P为 C上一点，且 PF x轴，过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M，与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点，则 C的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34解析：由题意可设 F(-c， 0)， A(-a， 0)， B(a， 0)， 令 x=-c，代入椭圆方程可得 y= b 2221 cbaa ， 可得 P(-c， 2ba)， 设直线 AE的方程为 y=k(x+a)， 令 x=-c，可得 M(-c， k(a-c)，令 x=0，可得 E(0， k
10、a)， 设 OE的中点为 H，可得 H(0，2ka)， 由 B， H， M三点共线，可得 kBH=kBM， 即为 2ka k a ca c a ， 化简可得 12acac ，即为 a=3c， 可得 e= 13ca. 答案： A. 二、填空题 (共 4小题，每小题 5分，满分 20分 ) 13. 设 x， y满足约束条件 2 1 02 1 01xyxyx ，则 z=2x+3y-5的最小值为 _. 解析：由约束条件 2 1 02 1 01xyxyx 作出可行域如图， 联立 2 1 02 1 0xyxy=，解得 11xy =，即 A(-1， -1). 化目标函数 z=2x+3y-5为 y=-23x+
11、3z+53. 由图可知，当直线 y=-23x+3z+53过 A时，直线在 y轴上的截距最小， z有最小值为 2 (-1)+3 (-1)-5=-10. 答案： -10. 14. 函数 y=sinx- 3 cosx 的图象可由函数 y=2sinx 的图象至少向右平移 _个单位长度得到 . 解析： y=f（ x） =sinx+ 3 cosx=2sin(x+3)， 令 f(x)=2sinx， 则 f(x- )=2sin(x- )( 0)， 依题意可得 2sin(x- )=2sin(x-3)， 故 - =2k -3(k Z)， 即 =-2k +3(k Z)， 当 k=0时，正数 min=3. 答案：3.
12、 15. 已知直线 l： x- 3 y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A， B 两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x轴交于 C， D两点 .则 |CD|=_. 解析：由题意，圆心到直线的距离 d= 613=3， |AB|=2 12 9 =2 3 ， 直线 l： x- 3 y+6=0 直线 l的倾斜角为 30， 过 A， B分别作 l的垂线与 x轴交于 C， D两点， |CD|=2332=4. 答案： 4. 16. 已知 f(x)为偶函数，当 x 0时， f(x)=e-x-1-x，则曲线 y=f(x)在点 (1， 2)处的切线方程是 _. 解析：已知 f(x)为偶函数，当 x 0
13、时， f(x)=e-x-1-x， 设 x 0，则 -x 0， f(x)=f(-x)=ex-1+x， 则 f (x)=ex-1+1， f (1)=e0+1=2. 曲线 y=f(x)在点 (1， 2)处的切线方程是 y-2=2(x-1). 即 y=2x. 答案： y=2x. 三、解答题 (共 5小题，满分 60分 ) 17. 已知各项都为正数的数列 an满足 a1=1， an2-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求 a2， a3； (2)求 an的通项公式 . 解析： (1)根据题意，由数列的递推公式，令 n=1 可得 a12-(2a2-1)a1-2a2=0，将 a1=1 代入可得
14、a2的值，进而令 n=2 可得 a22-(2a3-1)a2-2a3=0，将 a2=12代入计算可得 a3的值，即可得答案； (2)根据题意，将 an2-(2an+1-1)an-2an+1=0 变形可得 (an-2an+1)(an+an+1)=0，进而分析可得 an=2an+1或 an=-an+1，结合数列各项为正可得 an=2an+1，结合等比数列的性质可得 an是首项为 a1=1，公比为 12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案 . 答案： (1)根据题意， an2-(2an+1-1)an-2an+1=0， 当 n=1时，有 a12-(2a2-1)a1-2a2=0， 而 a1=1，则
15、有 1-(2a2-1)-2a2=0，解可得 a2=12， 当 n=2时，有 a22-(2a3-1)a2-2a3=0， 又由 a2=12，解可得 a3=14， 故 a2=12， a3=14； (2)根据题意， an2-(2an+1-1)an-2an+1=0， 变形可得 (an-2an+1)(an+1)=0， 即有 an=2an+1或 an=-1， 又由数列 an各项都为正数， 则有 an=2an+1， 故数列 an是首项为 a1=1，公比为 12的等比数列， 则 an=1 (12)n-1=12n-1， 故 an=12n-1. 18. 如图是我国 2008 年至 2014年生活垃圾无害化处理量 (
16、单位：亿吨 )的折线图 . 注：年份代码 1-7分别对应年份 2008-2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与 t 的关系，请用相关系数加以证明； (2)建立 y关于 t的回归方程 (系数精确到 0.01)，预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 . 附注： 参考数据： 719.32iiy ， 714 0 .1 7iiity ， 7 210 . 5 5iiy y ， 7 2.646. 参考公式： 12211niiinniiiityrtyy y -t-t， 回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121niiiniitybty-tt，a y bt .
17、 解析： (1)由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案； (2)根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程， 2016 年对应的 t值为 9，代入可预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 . 答案： (1)由折线图看出， y与 t之间存在较强的正相关关系，理由如下： 77117 7 7 72 2 2 21 1 1 17 4 0 . 1 7 4 9 . 3 2 2 . 8 90 . 9 9 62 . 9 1 0 62 7 0 . 5 5i i i iiii i i ii i i it y y trt y t yyyyy -tttt， 0.9
18、96 0.75， 故 y与 t之间存在较强的正相关关系； (2) 71172 22117 2 . 87928ni i i iiiniiiit y y tttyyb ttt-t 0.103， a y bt 1.331-0.103 4 0.92， y关于 t的回归方程 y =0.10t+0.92， 2016年对应的 t值为 9， 故 y =0.10 9+0.92=1.82， 预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82亿吨 . 19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD， AD BC， AB=AD=AC=3， PA=BC=4， M 为线段AD上一点， AM=2MD， N为
19、 PC的中点 . ( )证明 MN平面 PAB； ( )求四面体 N-BCM的体积 . 解析： ( )取 BC 中点 E，连结 EN， EM，得 NE 是 PBC 的中位线，推导出四边形 ABEM 是平行四边形，由此能证明 MN平面 PAB. ( )取 AC 中点 F，连结 NF， NF 是 PAC 的中位线，推导出 NF面 ABCD，延长 BC 至 G，使得 CG=AM，连结 GM，则四边形 AGCM是平行四边形，由此能求出四面 体 N-BCM的体积 . 答案： ( )取 BC 中点 E，连结 EN， EM， N为 PC的中点， NE是 PBC的中位线， NE PB， 又 AD BC， BE
20、 AD， AB=AD=AC=3， PA=BC=4， M为线段 AD 上一点， AM=2MD， BE=12BC=AM=2， 四边形 ABEM是平行四边形， EM AB，平面 NEM平面 PAB， MN 平面 NEM， MN平面 PAB. 解： ( )取 AC中点 F，连结 NF， NF是 PAC的中位线， NF PA， NF=12PA=2， 又 PA面 ABCD， NF面 ABCD， 如图，延长 BC至 G，使得 CG=AM，连结 GM， AM/CG，四边形 AGCM是平行四边形， AC=MG=3， 又 ME=3， EC=CG=2， MEG的高 h= 5 ， S BCM=12 BC h=12 4
21、 5 =2 5 ， 四面体 N-BCM的体积 VN-BCM=13 S BCM NF=13 2 5 2=453. 20. 已知抛物线 C： y2=2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1， l2分别交 C于 A， B两点，交 C的准线于 P， Q两点 . ( )若 F在线段 AB上， R是 PQ的中点，证明 AR FQ； ( )若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程 . 解析： ( )连接 RF， PF，利用等角的余角相等，证明 PRA= PRF，即可证明 AR FQ； ( )利用 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求出 N的坐标，利用点差法求 AB中点的轨迹方程
22、 . 答案： ( )证明：连接 RF， PF， 由 AP=AF， BQ=BF及 AP BQ，得 AFP+ BFQ=90， PFQ=90， R是 PQ的中点， RF=RP=RQ， PAR FAR， PAR= FAR， PRA= FRA， BQF+ BFQ=180 - QBF= PAF=2 PAR， FQB= PAR， PRA= PRF， AR FQ. ( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， F(12， 0)，准线为 x=-12， S PQF=12|PQ|=12|y1-y2|， 设直线 AB与 x轴交点为 N， S ABF=12|FN|y1-y2|， PQF的面积是 ABF的面积的两
23、倍， 2|FN|=1， xN=1，即 N(1， 0). 设 AB中点为 M(x， y)，由 21122222yxyx得 y12-y22=2(x1-x2)， 又1212 1yy yx x x ， 11yxy，即 y2=x-1. AB中点轨迹方程为 y2=x-1. 21. 设函数 f(x)=lnx-x+1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明当 x (1， + )时， 11 x xlnx ； (3)设 c 1，证明当 x (0， 1)时， 1+(c-1)x cx. 解析： (1)求出导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，注意函数的定义域； (2)由题意可得即证 lnx
24、 x-1 xlnx.运用 (1)的单调性可得 lnx x-1，设 F(x)=xlnx-x+1，x 1，求出单调性，即可得到 x-1 xlnx成立； (3)设 G(x)=1+(c-1)x-cx，求出导数，可令 G (x)=0，由 c 1， x (0， 1)，可得 1 1clnc c，由 (1)可得 cx= 1clnc恰有一解，设为 x=x0是 G(x)的最小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证 . 答案： (1)函数 f(x)=lnx-x+1的导数为 f (x)=1 1x， 由 f (x) 0，可得 0 x 1；由 f (x) 0，可得 x 1. 即有 f(x)的增区间为 (0， 1)；减
25、区间为 (1， + )； (2)证明：当 x (1， + )时， 1 1xlnx x，即为 lnx x-1 xlnx. 由 (1)可得 f(x)=lnx-x+1在 (1， + )递减， 可得 f(x) f(1)=0，即有 lnx x-1； 设 F(x)=xlnx-x+1， x 1， F (x)=1+lnx-1=lnx， 当 x 1时， F (x) 0，可得 F(x)递增，即有 F(x) F(1)=0， 即有 xlnx x-1，则原不等式成立； (3)证明：设 G(x)=1+(c-1)x-cx， G (x)=c-1-cxlnc， 可令 G (x)=0，可得 cx= 1clnc， 由 c 1， x
26、 (0， 1)，可得 1 cx c，即 1 1clnc c， 由 (1)可得 cx= 1clnc恰有一解，设为 x=x0是 G(x)的最大值点，且 0 x0 1， 由 G(0)=G(1)=0，且 G(x)在 (0， x0)递增，在 (x0， 1)递减， 可得 G(x0)=1+(c-1)x0- 0xc 0成立， 则 c 1，当 x (0， 1)时， 1+(c-1)x cx. 请考生在第 22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修 4-1：几何证明选讲 22. 如图， O中 的中点为 P，弦 PC， PD 分别交 AB 于 E， F两点 . (1)若 PFB=2 PCD，求
27、 PCD的大小； (2)若 EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G，证明： OG CD. 解析： (1)连接 PA， PB， BC，设 PEB= 1， PCB= 2， ABC= 3， PBA= 4， PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得 E， C， D， F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求 PCD的度数； (2)运用圆的定义和 E， C， D， F共圆，可得 G为圆心， G在 CD 的中垂线上，即可得证 . 答案： (1)解：连接 PB， BC， 设 PEB= 1， PCB= 2， ABC= 3， PBA= 4， PAB= 5， 由 O中 的中点为 P，可得 4=
28、5， 在 EBC中， 1= 2+ 3， 又 D= 3+ 4， 2= 5， 即有 2= 4，则 D= 1， 则四点 E， C， D， F共圆， 可得 EFD+ PCD=180， 由 PFB= EFD=2 PCD， 即有 3 PCD=180， 可得 PCD=60； (2)证明：由 C， D， E， F共圆， 由 EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G 可得 G为圆心，即有 GC=GD， 则 G在 CD的中垂线，又 CD 为圆 G的弦， 则 OG CD. 选修 4-4：坐标系与参数方程 23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 3x cosy sin(为参数 )，以坐标原点为
29、极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin( +4)=22. (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P在 C1上，点 Q在 C2上，求 |PQ|的最小值及此时 P的直角坐标 . 解析： (1)运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1的普通方程，运用 x= cos， y= sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2的直角坐标方程； (2)由题意可得当直线 x+y-4=0 的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值 .设与直线 x+y-4=0平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公
30、式，可得 |PQ|的最小值，解方程可得 P的直角坐标 . 答案： (1)曲线 C1的参数方程为 x= 3x cosy sin(为参数 )， 移项后两边平方可得 23x+y2=cos2 +sin2 =1， 即有椭圆 C1： 23x+y2=1； 曲线 C2的极坐标方程为 sin( +4)=2 2 ， 即有 ( 22sin + 22cos )=2 2 ， 由 x= cos， y= sin，可得 x+y-4=0， 即有 C2的直角坐标方程为直线 x+y-4=0； (2)由题意可得当直线 x+y-4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值 . 设与直线 x+y-4=0平行的直线方程为 x+y+t=0
31、， 联立22033x y txy 可得 4x2+6tx+3t2-3=0， 由直线与椭圆相切，可得 =36t2-16(3t2-3)=0， 解得 t= 2， 显然 t=-2时， |PQ|取得最小值， 即有 |PQ|= 4 2 ?=1 21 ， 此时 4x2-12x+9=0，解得 x=32， 即为 P(32， 12). 选修 4-5：不等式选讲 24. 已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2时，求不等式 f(x) 6的解集； (2)设函数 g(x)=|2x-1|，当 x R时， f(x)+g(x) 3，求 a的取值范围 . 解析： (1)当 a=2时，由已知得 |2x-2|+2 6
32、，由此能求出不等式 f(x) 6的解集 . (2)由 f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3，得 |x-12+|x-2a| 32a，由此能求出 a的取值范围 . 答案： (1)当 a=2时， f(x)=|2x-2|+2， f(x) 6， |2x-2|+2 6， |2x-2| 4， |x-1| 2， -2 x-1 2， 解得 -1 x 3， 不等式 f(x) 6的解集为 x|-1 x 3. (2) g(x)=|2x-1|， f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3， 2|x-12|+2|x-2a|+a 3， |x-12|+|x-2a| 32a， 当 a 3时，成立， 当 a 3时， 12|a-1| 32a 0， (a-1)2 (3-a)2， 解得 2 a 3， a的取值范围是 2， + ).
