2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）数学理.docx

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 （ 新课标 ） 数学理 一、选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 S=x|(x-2)(x-3) 0， T=x|x 0，则 S T=( ) A.2， 3 B.(-， 2 3， + ) C.3， + ) D.(0， 2 3， + ) 解析：由 S中不等式解得： x 2或 x 3，即 S=(-， 2 3， + )， T=(0， + )， S T=(0， 2 3， + ). 答案： D. 2. 若 z=1+2i，则 41izz=( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 解析： z=

2、1+2i，则 4 4 41 2 1 2 1 5 11i i i iiizz . 答案： C. 3. 已知向量 BA =(12， 32)， BC =( 32， 12)，则 ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120 解析： BA BC = 34+ 34= 32， |BA |=|BC |=1； cos ABC= 32B A B CB A B C ； 又 0 ABC 180； ABC=30 . 答案： A. 4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15， B点表示四月的平均最低气温约为 5，

3、下面叙述不正确的是 ( ) A.各月的平均最低气温都在 0以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20的月份有 5个 解析： A.由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上，正确 B.七月的平均温差大约在 10左右，一月的平均温差在 5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10，正确 D.平均最高气温高于 20的月份有 7， 8两个月，故 D错误 . 答案： D. 5. 若 tan =34，则 cos2 +2sin2 =( ) A.6425B.4825C.1 D.1625解析

4、： tan =34， cos2 +2sin2 = 22 2 231 4 ?4 1 4 6 4491 2 51 16c o s s i n c o s t a ns i n c o s t a n . 答案： A. 6. 已知 a= 432 ， b= 23 ， c= 1325 ，则 ( ) A.b a c B.a b c C.b c a D.c a b 解析： a= 432 = 234 ， b= 23 ， c= 1325 = 235 ， 综上可得： b a c. 答案： A. 7. 执行如图程序框图，如果输入的 a=4， b=6，那么输出的 n=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：模拟

5、执行程序，可得 a=4， b=6， n=0， s=0 执行循环体， a=2， b=4， a=6， s=6， n=1 不满足条件 s 16，执行循环体， a=-2， b=6， a=4， s=10， n=2 不满足条件 s 16，执行循环体， a=2， b=4， a=6， s=16， n=3 不满足条件 s 16，执行循环体， a=-2， b=6， a=4， s=20， n=4 满足条件 s 16，退出循环，输出 n的值为 4. 答案： B. 8. 在 ABC中， B=4， BC边上的高等于 13BC，则 cosA=( ) A.3 1010B. 1010C.- 1010D.-3 1010解析：设

6、ABC中角 A、 B、 C、对应的边分别为 a、 b、 c， AD BC于 D，令 DAC=， 在 ABC中， B=4， BC边上的高 AD=h=13BC=13a， BD=AD=13a， CD=23a， 在 Rt ADC中， cos =225351233ADACaaa ，故 sin =255， cosA=cos(4+ )=cos4cos -sin4sin = 22 55- 22 255=- 1010. 答案： C. 9. 网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) A.18+36 5 B.54+18 5 C.90 D.81 解析：由已知中的三视图

7、可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱， 其底面面积为： 3 6=18， 前后侧面的面积为： 3 6 2=36， 左右侧面的面积为： 3 2236 2=18 5 ， 故棱柱的表面积为： 18+36+9 5 =54+18 5 . 答案： B. 10. 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V的球，若 AB BC， AB=6， BC=8， AA1=3，则 V的最大值是 ( ) A.4 B.92C.6 D.323解析： AB BC， AB=6， BC=8， AC=10. 故三角形 ABC的内切圆半径 r=6 8 102=2， 又由 AA1=3， 故直三棱柱 ABC-A1B1C1的

8、内切球半径为 32， 此时 V的最大值 43 (32)3=92. 答案： B. 11. 已知 O为坐标原点， F是椭圆 C： 221xyab(a b 0)的左焦点， A， B分别为 C的左，右顶点 .P为 C上一点，且 PF x轴，过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M，与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点，则 C的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34解析：由题意可设 F(-c， 0)， A(-a， 0)， B(a， 0)， 令 x=-c，代入椭圆方程可得 y= b 2221 cbaa ， 可得 P(-c， 2ba)， 设直线 AE的方程为 y=k(x+a)， 令

9、x=-c，可得 M(-c， k(a-c)，令 x=0，可得 E(0， ka)， 设 OE的中点为 H，可得 H(0，2ka)， 由 B， H， M三点共线，可得 kBH=kBM， 即为 2ka k a ca c a ， 化简可得 12acac ，即为 a=3c， 可得 e= 13ca. 答案： A. 12. 定义“规范 01数列” an如下： an共有 2m项，其中 m项为 0， m项为 1，且对任意 k 2m， a1， a2， ak中 0的个数不少于 1的个数，若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 解析：由题意可知，“规范 01数

10、列”有偶数项 2m项，且所含 0与 1的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8项，满足条件的数列有： 0， 0， 0， 0， 1， 1， 1， 1； 0， 0， 0， 1， 0， 1， 1， 1； 0， 0， 0， 1， 1， 0， 1， 1； 0，0， 0， 1， 1， 1， 0， 1； 0， 0， 1， 0， 0， 1， 1， 1； 0， 0， 1， 0， 1， 0， 1， 1； 0， 0， 1， 0， 1， 1， 0， 1； 0， 0， 1， 1， 0， 1， 0， 1； 0，0， 1， 1， 0， 0， 1， 1； 0， 1， 0， 0， 0， 1， 1， 1；

11、0， 1， 0， 0， 1， 0， 1， 1； 0， 1， 0， 0， 1， 1， 0， 1； 0， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 1； 0，1， 0， 1， 0， 1， 0， 1.共 14个 . 答案： C. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13. 若 x， y满足约束条件 10202 2 0xyxyxy ，则 z=x+y的最大值为 _. 解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D点时， z最大， 由 202 2 0xyxy=得 D(1， 12)， 所以 z=x+y的最大值为 1+12=32. 答案： 32. 14. 函数 y=sinx- 3 cosx的图

12、象可由函数 y=sinx+ 3 cosx的图象至少向右平移 _个单位长度得到 . 解析： y=sinx- 3 cosx=2sin(x-3)， y=sinx- 3 cosx=2sin(x-3)， f(x- )=2sin(x+3- )( 0)， 令 2sin(x+3- )=2sin(x-3)， 则3- =2k -3(k Z)， 即 =23-2k (k Z)， 当 k=0时，正数 min=23. 答案： 23. 15. 已知 f(x)为偶函数，当 x 0时， f(x)=ln(-x)+3x，则曲线 y=f(x)在点 (1， -3)处的切线方程是 _. 解析： f(x)为偶函数，可得 f(-x)=f(x

13、)， 当 x 0时， f(x)=ln(-x)+3x，即有 x 0时， f(x)=lnx-3x， f (x)=1x-3， 可得 f(1)=ln1-3=-3， f (1)=1-3=-2， 则曲线 y=f(x)在点 (1， -3)处的切线方程为 y-(-3)=-2(x-1)， 即为 2x+y+1=0. 答案： 2x+y+1=0. 16. 已知直线 l： mx+y+3m- 3 =0 与圆 x2+y2=12交于 A， B两点，过 A， B分别作 l的垂线与x轴交于 C， D两点，若 |AB|=2 3 ，则 |CD|=_. 解析：由题意， |AB|=2 3 ，圆心到直线的距离 d=3， 23 3 ? 31

14、?mm ， m=- 33直线 l的倾斜角为 30， 过 A， B分别作 l的垂线与 x轴交于 C， D两点， |CD|=2332=4. 答案： 4. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. 已知数列 an的前 n项和 Sn=1+ an，其中 0. (1)证明 an是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5=3132，求 . 解析： (1)根据数列通项公式与前 n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可 . (2)根据条件建立方程关系进行求解就可 . 答案： (1) Sn=1+ an， 0. an 0. 当 n 2时， an=Sn-Sn-1=1+

15、 an-1- an-1= an- an-1， 即 ( -1)an= an-1， 0， an 0. -1 0.即 1， 即1 1nnaa ， (n 2)， an是等比数列，公比 q=1， 当 n=1时， S1=1+ a1=a1， 即 a1= 11 ， an= 11 (1)n-1. (2)若 S5=3132， 则若 S5=1+ ( 11 (1)4=3132， 即 (1)5=3132-1=-132， 则1=-12，得 =-1. 18. 如图是我国 2008 年至 2014年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿吨 )的折线图 . 注：年份代码 1-7分别对应年份 2008-2014. (1)由折线图看出，

16、可用线性回归模型拟合 y与 t 的关系，请用相关系数加以证明； (2)建立 y关于 t的回归方程 (系数精确到 0.01)，预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 . 附注： 参考数据： 719.32iiy ， 714 0 .1 7iiity ， 7 210 . 5 5iiy y ， 7 2.646. 参考公式： 12211niiinniiiityrtyy y -t-t， 回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121niiiniitybty-tt，a y bt . 解析： (1)由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答

17、案； (2)根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程， 2016 年对应的 t值为 9，代入可预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 . 答案： (1)由折线图看出， y与 t之间存在较强的正相关关系，理由如下： 77117 7 7 72 2 2 21 1 1 17 4 0 . 1 7 4 9 . 3 2 2 . 8 90 . 9 9 62 . 9 1 0 62 7 0 . 5 5i i i iiii i i ii i i it y y trt y t yyyyy -tttt， 0.996 0.75， 故 y与 t之间存在较强的正相关关系； (2) 71172 22117 2 . 879

18、28ni i i iiiniiiit y y tttyyb ttt-t 0.103， a y bt 1.331-0.103 4 0.92， y关于 t的回归方程 y =0.10t+0.92， 2016年对应的 t值为 9， 故 y =0.10 9+0.92=1.82， 预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82亿吨 . 19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD， AD BC， AB=AD=AC=3， PA=BC=4， M 为线段AD上一点， AM=2MD， N为 PC的中点 . (1)证明： MN平面 PAB； (2)求直线 AN与平面 PMN所成角的正弦值 .

19、解析： (1)法一、取 PB中点 G，连接 AG， NG，由三角形的中位线定理可得 NG BC，且 NG=12BC，再由已知得 AM BC，且 AM=12BC，得到 NG AM，且 NG=AM，说明四边形 AMNG 为平行四边形，可得 NM AG，由线面平行的判定得到 MN平面 PAB； 法二、证明 MN平面 PAB，转化为证明平面 NEM平面 PAB，在 PAC中，过 N作 NE AC，垂足为 E，连接 ME，由已知 PA底面 ABCD，可得 PA NE，通过求解直角三角形得到 ME AB，由面面平行的判定可得平面 NEM平面 PAB，则结论得证； (2)连接 CM，证得 CM AD，进一步

20、得到平面 PNM平面 PAD，在平面 PAD内，过 A作 AF PM，交 PM 于 F，连接 NF，则 ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角 .然后求解直角三角形可得直线AN与平面 PMN所成角的正弦值 . 答案： (1)证明：法一、如图，取 PB中点 G，连接 AG， NG， N为 PC的中点， NG BC，且 NG=12BC， 又 AM=23AD=2， BC=4，且 AD BC， AM BC，且 AM=12BC， 则 NG AM，且 NG=AM， 四边形 AMNG为平行四边形，则 NM AG， AG 平面 PAB， NM 平面 PAB， MN平面 PAB； 法二、 在 PAC中，过

21、 N作 NE AC，垂足为 E，连接 ME， 在 ABC中，由已知 AB=AC=3， BC=4，得 cos ACB= 2 2 24 3 3 22 4 3 3 ， AD BC， cos EAM=23，则 sin EAM= 53， 在 EAM中， AM=23AD=2， AE=12AC=32， 由余弦定理得： EM= 22 9 3 2 32 4 2 24 2 3 2A E A M A E A M c o s E A M ， cos AEM=22334 12233 9222 ， 而在 ABC中， cos BAC= 2 2 23 3 4 12 3 3 9 ， cos AEM=cos BAC，即 AEM=

22、 BAC， AB EM，则 EM平面 PAB. 由 PA底面 ABCD，得 PA AC，又 NE AC， NE PA，则 NE平面 PAB. NE EM=E， 平面 NEM平面 PAB，则 MN平面 PAB； (2)解：在 AMC中，由 AM=2， AC=3， cos MAC=23，得 CM2=AC2+AM2-2AC AM cos MAC=9+4-2 3 2 23=5. AM2+MC2=AC2，则 AM MC， PA底面 ABCD， PA 平面 PAD， 平面 ABCD平面 PAD，且平面 ABCD平面 PAD=AD， CM平面 PAD，则平面 PNM平面 PAD. 在平面 PAD内，过 A作

23、 AF PM，交 PM于 F，连接 NF，则 ANF为直线 AN与平面 PMN所成角 . 在 Rt PAC中，由 N是 PC的中点，得 AN=12PC= 2212 PA PC=52， 在 Rt PAM中，由 PA AM=PM AF，得 AF=224 2 4 5 ?542P A A MPM， sin ANF=4 5 ?8 5 ?55 252AFAN. 直线 AN与平面 PMN 所成角的正弦值为 8 5?25. 20. 已知抛物线 C： y2=2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1， l2分别交 C于 A， B两点，交 C的准线于 P， Q两点 . ( )若 F在线段 AB上， R是 PQ

24、的中点，证明 AR FQ； ( )若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程 . 解析： ( )连接 RF， PF，利用等角的余角相等，证明 PRA= PRF，即可证明 AR FQ； ( )利用 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求出 N的坐标，利用点差法求 AB中点的轨迹方程 . 答案： ( )证明：连接 RF， PF， 由 AP=AF， BQ=BF及 AP BQ，得 AFP+ BFQ=90， PFQ=90， R是 PQ的中点， RF=RP=RQ， PAR FAR， PAR= FAR， PRA= FRA， BQF+ BFQ=180 - QBF= PAF=2 PAR， F

25、QB= PAR， PRA= PRF， AR FQ. ( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， F(12， 0)，准线为 x=-12， S PQF=12|PQ|=12|y1-y2|， 设直线 AB与 x轴交点为 N， S ABF=12|FN|y1-y2|， PQF的面积是 ABF的面积的两倍， 2|FN|=1， xN=1，即 N(1， 0). 设 AB中点为 M(x， y)，由 21122222yxyx得 y12-y22=2(x1-x2)， 又1212 1yy yx x x ， 11yxy，即 y2=x-1. AB中点轨迹方程为 y2=x-1. 21. 设函数 f(x)=acos2x

26、+(a-1)(cosx+1)，其中 a 0，记 |f(x)|的最大值为 A. ( )求 f (x)； ( )求 A； ( )证明： |f (x)| 2A. 解析： ( )根据复合函数的导数公式进行求解即可求 f (x)； ( )讨论 a的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解； ( )由 ( )，结合绝对值不等式的性质即可证明： |f (x)| 2A. 答案： ( )解： f (x)=-2asin2x-(a-1)sinx. ( )当 a 1时， |f(x)|=|acos2x+(a-1)(cosx+1)| a+2(a-1)=3a-2=f(0)，因此 A=3a-

27、2. 当 0 a 1时， f(x)等价为 f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)=2acos2x+(a-1)cosx-1， 令 g(t)=2at2+(a-1)t-1， 则 A是 |g(t)|在 -1， 1上的最大值， g(-1)=a， g(1)=3a-2， 且当 t=14aa时， g(t)取得极小值，极小值为 g(14aa)=- 218aa -1=- 2 618aaa， 令 -1 14aa 1，得 a -13(舍 )或 a 15.因此 A=3a-2 g(-1)=a， g(1)=3a+2， a 3a+2， t=1时， g(t)取得最大值， g(1)=3a+2，即 f(x)的最大值为

28、3a+2. 综上可得： t=1时， g(t)取得最大值， g(1)=3a+2，即 f(x)的最大值为 3a+2. A=3a+2. 当 0 a 15时， g(t)在 (-1， 1)内无极值点， |g(-1)|=a， |g(1)|=2-3a， |g(-1)| |g(1)|， A=2-3a， 当 15 a 1时，由 g(-1)-g(1)=2(1-a) 0，得 g(-1) g(1) g(14aa)， 又 |g(14aa)-g(-1)|= 1 1 78aaa 0， A=|g(14aa)|= 2 618aaa， 综上， A=212 3 05115326181aaaaaa， ， ，. ( )证明：由 (I)

29、可得： |f (x)|=|-2asin2x-(a-1)sinx| 2a+|a-1|， 当 0 a 15时， |f (x)| 1+a 2-4a 2(2-3a)=2A， 当 15 a 1时， A= 2 1368418 18aaa aa ， |f (x)| 1+a 2A， 当 a 1时， |f (x)| 3a-1 6a-4=2A， 综上： |f (x)| 2A. 请考生在第 22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修 4-1：几何证明选讲 22. 如图， O中 的中点为 P，弦 PC， PD 分别交 AB 于 E， F两点 . (1)若 PFB=2 PCD，求 PCD的大小；

30、 (2)若 EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G，证明： OG CD. 解析： (1)连接 PA， PB， BC，设 PEB= 1， PCB= 2， ABC= 3， PBA= 4， PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得 E， C， D， F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求 PCD的度数； (2)运用圆的定义和 E， C， D， F共圆，可得 G为圆心， G在 CD 的中垂线上，即可得证 . 答案： (1)解：连接 PB， BC， 设 PEB= 1， PCB= 2， ABC= 3， PBA= 4， PAB= 5， 由 O中 的中点为 P，可得 4= 5， 在 EBC

31、中， 1= 2+ 3， 又 D= 3+ 4， 2= 5， 即有 2= 4，则 D= 1， 则四点 E， C， D， F共圆， 可得 EFD+ PCD=180， 由 PFB= EFD=2 PCD， 即有 3 PCD=180， 可得 PCD=60； (2)证明：由 C， D， E， F共圆， 由 EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G 可得 G为圆心，即有 GC=GD， 则 G在 CD的中垂线，又 CD 为圆 G的弦， 则 OG CD. 选修 4-4：坐标系与参数方程 23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 3x cosy sin(为参数 )，以坐标原点为极点，以 x轴的

32、正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin( +4)=22. (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P在 C1上，点 Q在 C2上，求 |PQ|的最小值及此时 P的直角坐标 . 解析： (1)运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1的普通方程，运用 x= cos， y= sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2的直角坐标方程； (2)由题意可得当直线 x+y-4=0 的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值 .设与直线 x+y-4=0平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得 |PQ

33、|的最小值，解方程可得 P的直角坐标 . 答案： (1)曲线 C1的参数方程为 x= 3x cosy sin(为参数 )， 移项后两边平方可得 23x+y2=cos2 +sin2 =1， 即有椭圆 C1： 23x+y2=1； 曲线 C2的极坐标方程为 sin( +4)=2 2 ， 即有 ( 22sin + 22cos )=2 2 ， 由 x= cos， y= sin，可得 x+y-4=0， 即有 C2的直角坐标方程为直线 x+y-4=0； (2)由题意可得当直线 x+y-4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值 . 设与直线 x+y-4=0平行的直线方程为 x+y+t=0， 联立2203

34、3x y txy 可得 4x2+6tx+3t2-3=0， 由直线与椭圆相切，可得 =36t2-16(3t2-3)=0， 解得 t= 2， 显然 t=-2时， |PQ|取得最小值， 即有 |PQ|= 4 2 ?=1 21 ， 此时 4x2-12x+9=0，解得 x=32， 即为 P(32， 12). 选修 4-5：不等式选讲 24. 已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2时，求不等式 f(x) 6的解集； (2)设函数 g(x)=|2x-1|，当 x R时， f(x)+g(x) 3，求 a的取值范围 . 解析： (1)当 a=2时，由已知得 |2x-2|+2 6，由此能求出不等

35、式 f(x) 6的解集 . (2)由 f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3，得 |x-12+|x-2a| 32a，由此能求出 a的取值范围 . 答案： (1)当 a=2时， f(x)=|2x-2|+2， f(x) 6， |2x-2|+2 6， |2x-2| 4， |x-1| 2， -2 x-1 2， 解得 -1 x 3， 不等式 f(x) 6的解集为 x|-1 x 3. (2) g(x)=|2x-1|， f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3， 2|x-12|+2|x-2a|+a 3， |x-12|+|x-2a| 32a， 当 a 3时，成立， 当 a 3时， 12|a-1| 32a 0， (a-1)2 (3-a)2， 解得 2 a 3， a的取值范围是 2， + ).