1、 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 一、填空题 (共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分 ) 1. 已知集合 A=-1， 2， 3， 6， B=x|-2 x 3，则 A B= . 解析：集合 A=-1， 2， 3， 6， B=x|-2 x 3， A B=-1， 2. 答案： -1， 2 2. 复数 z=(1+2i)(3-i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 . 解析： z=(1+2i)(3-i)=5+5i， 则 z 的实部是 5. 答案： 5 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 22 173yx 的焦距是 解析：双曲线 22 173yx 中， a=
2、 7 ， b= 3 ， 22 10c a b ， 双曲线 22 173yx 的焦距是 2 10 答案： 2 10 4. 已知一组数据 4.7， 4.8， 5.1， 5.4， 5.5，则该组数据的方差是 . 解析：数据 4.7， 4.8， 5.1， 5.4， 5.5 的平均数为： 1 4 . 7 4 . 8 5 . 1 5 . 4 5 . 5 5 . 15x （ ）， 该组数据的方差： 2 2 2 2 2 21 4 . 7 5 . 1 4 . 8 5 . 1 5 . 1 5 . 1 5 . 4 5 . 1 5 . 5 5 . 1 0 15 .S （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 答案： 0
3、.1 5. 函数 232y x x 的定义域是 . 解析：由 3-2x-x2 0 得： x2+2x-3 0， 解得： x -3， 1， 答案： -3， 1 6. 如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 . 解析：当 a=1， b=9 时，不满足 a b，故 a=5， b=7， 当 a=5， b=7 时，不满足 a b，故 a=9， b=5 当 a=9， b=5 时，满足 a b， 故输出的 a 值为 9. 答案： 9 7. 将一颗质地均匀的骰子 (一种各个面上分别标有 1， 2， 3， 4， 5， 6 个点的正方体玩具 )先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 . 解
4、析：将一颗质地均匀的骰子 (一种各个面上分别标有 1， 2， 3， 4， 5， 6 个点的正方体玩具 )先后抛掷 2 次， 基本事件总数为 n=6 6=36， 出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10， 出现向上的点数之和不小于 10 包含的基本事件有： (4， 6)， (6， 4)， (5， 5)， (5， 6)， (6， 5)， (6， 6)，共 6 个， 出现向上的点数之和小于 10 的概率： 651 3 6 6p 答案： 56 8. 已知 an是等差数列， Sn是其前 n 项和，若 a1+a22=-3， S5=10，则 a9的值是 . 解析： an是等差
5、数列， Sn是其前 n 项和， a1+a22=-3， S5=10， 21113545 1 02a a dad ， 解得 a1=-4， d=3， a9=-4+8 3=20 答案： 20 9. 定义在区间 0， 3 上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 . 解析：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间 0， 3 上的图象如下： 由图可知，共 7 个交点 答案： 7 10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 2222 10yx abab（ ）的右焦点，直线 2by与椭圆交于 B， C 两点，且 BFC=90，则该椭圆的离心率是 . 解析：设
6、右焦点 F(c， 0)， 将2by代入椭圆方程可得 2231 24bx a ab ， 可得 332 2 2 2bbB a C a（ ， ） ， （ ， ）， 由 BFC=90，可得 kBF kCF=-1， 即有 22 13322bba c a c ， 化简为 b2=3a2-4c2， 由 b2=a2-c2，即有 3c2=2a2， 由 cea，可得 222 23ce a， 可得 63e， 答案： 63 11. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 -1， 1)上， 102 015x a xfx xx ， -（ ） ， ，其中 a R，若 5922ff（ ） （ ），则 f(5a
7、)的值是 . 解析： f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 -1， 1)上， 102 015x a xfx xx ， -（ ） ， ， 5 112 2 2f f a （ ） （ ）， 9 1 2 1 12 2 5 2 1 0ff （ ） （ ） ， 35a， 3 25 3 1 155f a f f （ ） （ ） （ ）， 答案： 2512. 已知实数 x， y 满足 2 4 02 2 03 3 0xyxyxy ，则 x2+y2的取值范围是 . 解析：作出不等式组对应的平面区域， 设 z=x2+y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 由图象知 A 到原点的距离最
8、大， 点 O 到直线 BC： 2x+y-2=0 的距离最小， 由 2 4 03 3 0xyxy得 23xy，即 A(2， 3)，此时 z=22+32=4+9=13， 点 O 到直线 BC： 2x+y-2=0 的距离222 2521d， 则222455zd （ ）， 故 z 的取值范围是 45 13，. 答案： 45 13， 13. 如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点， 4? 1B A C A B F C F ， ，则 BECE 的值是 . 解析： D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点， B F B D D F C F B
9、 D D F ， 33B A B D D F C A B D D F ， 22 1B F C F D F B D ， 2294B A C A D F B D ， 225 1 388D F B D， 又 22B E B D D F C E B D D F ， 22 748B E C E D F B D ， 答案： 7814. 在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 . 解析：由 sinA=sin( -A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC， sinA=2sinBsinC， 可得 sinBcosC+cosBsinC=
10、2sinBsinC， 由三角形 ABC 为锐角三角形，则 cosB 0， cosC 0， 在式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC， 又1t a n B t a n Ct a n A t a n A t a n B C t a n B t a n C （ ） （ ）， 则1t a n B t a n Ct a n A t a n B t a n C t a n B t a n Ct a n B t a n C ， 由 tanB+tanC=2tanBtanC 可得 221 t a n B t a n Ct a n A t a n B t a n C t a
11、 n B t a n C （ ）， 令 tanBtanC=t，由 A， B， C 为锐角可得 tanA 0， tanB 0， tanC 0， 由式得 1-tanBtanC 0，解得 t 1， 222 21 1 1tt a n A t a n B t a n C ttt ， 221 1 1 1 124ttt （ ），由 t 1 得， 21 1 1 04 tt ， 因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8， 当且仅当 t=2 时取到等号，此时 tanB+tanC=4， tanBtanC=2， 解得 2 2 2 2 4t a n B t a n C t a n A ， ， (或 tanB， t
12、anC 互换 )，此时 A， B， C 均为锐角 答案： 8 二、解答题 (共 6 小题，满分 90 分 ) 15. 在 ABC 中， AC=6， 454co sB C ， (1)求 AB 的长； (2)求6cos A （ ）的值 解析： (1)利用正弦定理，即可求 AB 的长； (2)求出 cosA、 sinA，利用两角差的余弦公式求6cos A （ ）的值 答案： (1) ABC 中， 45cosB， 35sinB， ACABsinC sinB， 262 5235AB； (2) 210c o s A c o s C B s i n B s i n C c o s B c o s C （ ）
13、 A 为三角形的内角， 7210sinA ， 3 7 2 616 2 2 2 0c o s A c o s A s i n A （ ） 16. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， D， E 分别为 AB， BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且B1D A1F， A1C1 A1B1求证： (1)直线 DE平面 A1C1F； (2)平面 B1DE平面 A1C1F 解析： (1)通过证明 DE AC，进而 DE A1C1，据此可得直线 DE平面 A1C1F1； (2)通过证明 A1F DE 结合题目已知条件 A1F B1D，进而可得平面 B1DE平面 A1C1F 答案： (1) D，
14、E 分别为 AB， BC 的中点， DE 为 ABC 的中位线， DE AC， ABC-A1B1C1为棱柱， AC A1C1， DE A1C1， 11AC平面 A1C1F，且 DE 平面 A1C1F， DE A1C1F； (2) ABC-A1B1C1为直棱柱， AA1平面 A1B1C1， AA1 A1C1， 又 A1C1 A1B1，且 AA1 A1B1=A1， AA1、 A1B1 平面 AA1B1B， A1C1平面 AA1B1B， DE A1C1， DE平面 AA1B1B， 又 A1F 平面 AA1B1B， DE A1F， 又 A1F B1D， DE B1D=D，且 DE、 B1D 平面 B1
15、DE， A1F平面 B1DE， 又 A1F 平面 A1C1F， 平面 B1DE平面 A1C1F 17. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P-A1B1C1D1，下部 的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示 )，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB=6m， PO1=2m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？ 解析： (1)由正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍，可得 PO1=2m 时， O1O=8m，进而可得仓库的容积； (2)设 PO1
16、=xm，则 O1O=4xm， 221 1 1 13 6 3 6A O x m A B x m ，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值 答案： (1) PO1=2m，正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 O1O=8m， 仓库的容积 2 2 31 6 2 6 8 3 1 23Vm ， (2)若正四棱锥的侧棱长为 6m， 设 PO1=xm， 则 O1O=4xm， 221 1 1 13 6 3 6A O x m A B x m ， 则仓库的容积 2 2 2 2 3261 2 3 6 2 3 6 4 3 1 233V x x x x x x （ ） （ ）， (0x
17、6)， V =-26x2+312， (0 x 6)， 当 0 2 3x 时， V 0， V(x)单调递增； 当 2 3 6x 时， V 0， V(x)单调递减； 故当 23x 时， V(x)取最大值； 即当1 23PO m 时，仓库的容积最大 18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2+y2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2， 4) (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、 C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程； (3)
18、设点 T(t， 0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 TA TP TQ，求实数 t 的取值范 围 解析： (1)设 N(6， n)，则圆 N 为： (x-6)2+(y-n)2=n2， n 0，从而得到 |7-n|=|n|+5，由此能求出圆 N 的标准方程 (2)由题意得 25OA ， kOA=2，设 l： y=2x+b，则圆心 M 到直线 l 的距离： 55bd ，由此能求出直线 l 的方程 (3)TA TP TQ，即 2 224T A t ，又 10PQ ，得 2 2 2 1 2 2 12t ， ，对于任意 2 2 2 1 2 2 12t ， ，欲使 TA PQ ，只需要作直线
19、TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 2254TA ，由此能求出实数 t 的取值范围 答案： (1) N 在直线 x=6 上，设 N(6， n)， 圆 N 与 x 轴相切，圆 N 为： (x-6)2+(y-n)2=n2， n 0， 又圆 N 与圆 M 外切，圆 M： x2+y2-12x-14y+60=0，即圆 M： (x-6)2+(x-7)2=25， |7-n|=|n|+5，解得 n=1， 圆 N 的标准方程为 (x-6)2+(y-1)2=1 (2)由题意得 25OA ， kOA=2，设 l： y=2x+b， 则圆心 M 到直线 l 的距离：21 2 7 5521bbd ， 则 222 52
20、5 2 2 5 2 55bB C d B C ，即 252 2 5 2 55b， 解得 b=5 或 b=-15， 直线 l 的方程为： y=2x+5 或 y=2x-15 (3)TA TP TQ，即 TA TQ TP ，即 TA PQ ， 2 224T A t ， 又 10PQ ，即 2 22 4 1 0t ，解得 2 2 2 1 2 2 12t ， ， 对于任意 2 2 2 1 2 2 12t ， ，欲使 TA PQ ， 此时， 10TA ， 只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 2254TA ， 必然与圆交于 P、 Q 两点，此时 TA PQ ，即 TA PQ ， 因此实数 t
21、 的取值范围为 2 2 2 1 2 2 12t ， 19. 已知函数 f(x)=ax+bx(a 0， b 0， a 1， b 1) (1)设 a=2， 12b 求方程 f(x)=2 的根； 若对于任意 x R，不等式 f(2x) mf(x)-6 恒成立，求实数 m 的最大值； (2)若 0 a 1， b 1，函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 解析： (1)利用方程，直接求解即可列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可 (2)求出 g(x)=f(x)-2=ax+bx-2，求出函数的导数，构造函数 xb ln ahxa ln b（ ），求出 g(
22、x)的最小值为： g(x0)同理若 g(x0) 0， g(x)至少有两个零点，与条件矛盾若 g(x0) 0，利用函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点，推出 g(x0)=0，然后求解 ab=1 答案：函数 f(x)=ax+bx(a 0， b 0， a 1， b 1) (1)设 a=2， 12b 方程 f(x)=2；即： 1222x x，可得 x=0 不等式 f(2x) mf(x)-6 恒成立，即 22112 2 622xxxxm （ ）恒成立 令 122x xt ， t 2 不等式化为： t2-mt+4 0 在 t 2 时，恒成立可得： 0 或2222 2 4 0mm 即： m2-
23、16 0 或 m 4， m (-， 4 实数 m 的最大值为： 4 (2)g(x)=f(x)-2=ax+bx-2， xx x x l n a bg x a l n a b l n b a l n b a （ ） ， 0 a 1 ， b 1 可得 ba 1 ，令 xb ln ahx a ln b（ ） ，则 h(x)是递增函数，而， lna 0， lnb 0，因此， 0 b ln ax lo g a ln b时，h(x0)=0， 因此 x (-， x0)时， h(x) 0， axlnb 0，则 g (x) 0 x (x0， + )时， h(x) 0， axlnb 0，则 g (x) 0， 则 g
24、(x)在 (-， x0)递减， (x0， + )递增，因此 g(x)的最小值为： g(x0) 若 g(x0) 0， x loga2时， ax aloga2=2， bx 0，则 g(x) 0， 因此 x1 loga2，且 x1 x0时， g(x1) 0，因此 g(x)在 (x1， x0)有零点， 则 g(x)至少有两个零点，与条件矛盾 若 g(x0) 0，函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点， g(x)的最小值为 g(x0)，可得 g(x0)=0， 由 g(0)=a0+b0-2=0， 因此 x0=0，因此 =0 =1b ln a ln alo ga ln b ln b，即 lna+
25、lnb=0， ln(ab)=0，则 ab=1 可得 ab=1 20. 记 U=1， 2， 100，对数列 an(n N*)和 U 的子集 T，若 T ，定义 ST=0；若 T=t1，t2， tk，定义 ST=at1+at2+ +atk例如： T=1， 3， 66时， ST=a1+a3+a66现设 an(n N*)是公比为 3 的等比数列，且当 T=2， 4时， ST=30 (1)求数列 an的通项公式； (2)对任意正整数 k(1 k 100)，若 T 1， 2， k，求证： ST ak+1； (3)设CDC U D U S S ， ，求证： SC+SC D 2SD 解析： (1)根据题意，由
26、 ST的定义，分析可得 ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得 a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案； (2)根据题意，由 ST的定义，分析可得 ST a1+a2+ ak=1+3+32+ +3k-1，由等比数列的前 n 项和公式计算可得证明； (3)设 A=CC(C D)， B=CD(C D)，则 AB ，进而分析可以将原命题转化为证明 SC 2SB，分 2 种情况进行讨论：、若 B ，、若 B ，可以证明得到 SA 2SB，即可得证明 答案： (1)当 T=2， 4时， ST=a2+a4=a2+9a2=30， 因此 a2=3，从而 21 13aa ， 故 an=3
27、n-1， (2) 211 2 1311 3 3 3 32kkkT k kS a a a a ， (3)设 A=CC(C D)， B=CD(C D)，则 AB ， 分析可得 SC=SA+SC D， SD=SB+SC D，则 SC+SC D-2SD=SA-2SB， 因此原命题的等价于证明 SC 2SB， 由条件 SC SD，可得 SA SB， 、若 B ，则 SB=0，故 SA 2SB， 、若 B ，由 SA SB可得 A ，设 A 中最大元素为 l， B 中最大元素为 m， 若 m l+1，则其与 SA ai+1 am SB相矛盾， 因为 AB ，所以 1 m，则 1 m+1， 21 112 3
28、11 3 3 3 2 2 2mm m ABm a SS a a a ，即 SA 2SB， 综上所述， SA 2SB， 故 SC+SC D 2SD 附加题【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A【选修 4 1 几何证明选讲】 21. 如图，在 ABC 中， ABC=90， BD AC， D 为垂足， E 为 BC 的中点，求证： EDC= ABD 解析： 题意，知 BDC=90， EDC= C，利用 C+ DBC= ABD+ DBC=90，可得 ABD= C，从而可
29、证得结论 答案：由 BD AC 可得 BDC=90， 因为 E 为 BC 的中点，所以 DE=CE=12BC， 则： EDC= C， 由 BDC=90，可得 C+ DBC=90， 由 ABC=90，可得 ABD+ DBC=90， 因此 ABD= C，而 EDC= C， 所以， EDC= ABD B.【选修 4 2：矩阵与变换】 22. 已知矩阵 1 20 2A ，矩阵 B 的逆矩阵 1 11 20 2B ，求矩阵 AB 解析：依题意，利用矩阵变换求得 111 11 22 4=2210 0 1222BB （ ） ，再利用矩阵乘法的性质可求得答案 答案： 1 11 20 2B ， 111 11 2
30、2 4=2210 0 1222BB （ ） ，又 1 20 2A ， 11 51 2 1 4 410 10 0 - 12 2AB C.【选修 4 4：坐标系与参数方程】 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为11232xtyt(t 为参数 )，椭圆 C 的参数方程为2x cosy sin(为参数 )，设直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，求线段 AB 的长 解析： 分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案 答案：由11232xtyt，由得 23ty， 代入并整理得， 3 3 0xy 由2x
31、cosy sin，得2x cosy sin， 两式平方相加得 22 14yx 联立223 3 014xyyx ，解得 10xy或17837xy 22 83 161107 7 7AB 24. 设 a 0， 1233aaxy ， ，求证： |2x+y-4| a 解析： 运用绝对值不等式的性质： |a+b| |a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证 答案：由 a 0， 1233aaxy ， ， 可得 |2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)| 22 1 233aax y a ， 则 |2x+y-4| a 成立 附加题【必做题】 25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： x
32、-y-2=0，抛物线 C： y2=2px(p 0) (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q 求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2-p， -p)； 求 p 的取值范围 解析： (1)求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程 (2)：设点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，通过抛物线方程，求解 kPQ，通过 P， Q 关于直线 l 对称，点的 kPQ=-1，推出 122yy p ， PQ 的中点在直线 l 上，推出 1222xx p ，即可证明线段 PQ 的中点坐标为 (2-p， -p)； 利用线
33、段 PQ 中点坐标 (2-p， -p)推出 12212244y y py y p p ，得到关于 y2+2py+4p2-4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 p 的范围 答案： (1) l： x-y-2=0， l 与 x 轴的交点坐标 (2， 0)， 即抛物线的焦点坐标 (2， 0) 22p， 抛物线 C： y2=8x (2)证明：设点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则： 21122222y pxy px， 即：21122222y xpy xp，12221212222PQyy pkyyyypp， 又 P， Q 关于直线 l 对称， kPQ=-1，即 y1+y2=-2p
34、， 122yy p ， 又 PQ 的中点在直线 l 上， 1 2 1 2 2222x x y y p ， 线段 PQ 的中点坐标为 (2-p， -p)； 因为 Q 中点坐标 (2-p， -p) 12 2212122422y y pyyx x pp ，即 122 2 212284y y py y p p 12212244y y py y p p ，即关于 y2+2py+4p2-4p=0，有两个不相等的实数根， 0， (2p)2-4(4p2-4p) 0， 43(0 )p ， 26. (1)求 346774CC的值； (2)设 m， n N*， n m，求证： 21 2 1 21 2 3 1 1 m
35、 m m m m mm m m n n nm C m C m C n C n C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 解析： (1)由已知直接利用组合公式能求出 346774CC的值 (2)对任意 m N*，当 n=m 时，验证等式成立；再假设 n=k(k m)时命题成立，推导出当 n=k+1时 ， 命 题 也 成 立 ， 由 此 利 用 数 学 归 纳 法 能 证 明21 2 1 21 2 3 1 1 m m m m m mm m m n n nm C m C m C n C n C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 答案： (1) 346774CC= 7 6 5
36、4 4 7 6 5 43 2 1 4 3 2 1 =7 20-4 35=0 证明： (2)对任意 m N*， 当 n=m 时，左边 = 11mmm C m （ ）， 右边 = 221 = 1mmm C m（ ），等式成立 假设 n=k(k m)时命题成立， 即21 2 1 21 2 3 1 1m m m m m mm m m k k km C m C m C k C k C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）， 当 n=k+1 时， 左边 =1 2 1 11 2 3 1 2m m m m m mm m m k k km C m C m C k C k C k C （ ） （ ） （
37、 ） （ ） （ ）= 22112mmkkm C k C ， 右边 = 231 mkmC 223211mmkkm C m C = 3 ! 2 !1 2 ! 1 ! 2 ! !kkm m k m m k m （ ）= 2!1 3 12 ! 1 ! km k k mm k m （ ） （ ）= 1!2 ! 1 !kk m k m （ ）= 12 mkkC， 222 1 31 2 1m m mk k km C k C m C ， 左边 =右边， n=k+1 时，命题也成立， m ， n N* ， n m ，21 2 1 21 2 3 1 1m m m m m mm m m n n nm C m C m C n C n C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
