1、线性代数自考题-20 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：33，分数：100.00)1.设齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的基为 1 =(1，-1，1，0) T ， 2 =(1，1，0，1) T ，则必有（分数：4.00）A.A 是 35 矩阵B.r(A)=2C.A 是 24 矩阵D.A 的列向量组线性无关2.设 x 1 ，x 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解向量，则（分数：3.00）A.x1，x2 一定是 Ax=0 的一个基础解系B.x1，x2 有可能是 Ax=0 的一个基础解系C.k1x1+k2x2 不是 Ax=0 的一个解D.
2、k1x1-k2x2 不是 Ax=0 的一个解3.已知 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解坝。矩阵 A 可为 A(5，-3，-1) B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是（分数：3.00）A.A 的列向量组线性无关B.A 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性无关D.A 的行向量组线性相关5.设齐次线性方程组 （分数：3.00）A.-1B.0C.1D.26.若齐次线性方程组 （分数：3.00）A.=-1B.-1C.=1D.17.Ax=0 是 n 元线性方程组，已知 A 的秩为 rn，则下列结论正确的是（分
3、数：3.00）A.该方程组只有零解B.该方程组有 r 个线性无关的解C.该方程组有 n-r 个解D.该方程组有 n-r 个线性无关的解8.方程组 （分数：3.00）A.1B.2C.3D.49.若 1 ，2， 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列答案中也是 Ax=0 的基础解系的为（分数：3.00）A.1-2，2-3，3-1B.1，2，3 的任意三个线性组合C.1，1-a2，1-2-3D.1，21，3110.n 个未知量的齐次线性方程组的方程个数 mn 则对该方程组正确的（分数：3.00）A.有惟一解B.有无穷多解C.无解D.有解11.n 元线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是（
4、分数：3.00）A.方程个数 mnB.方程个数 mnC.方程个数 m=nD.秩(A)n12.x 1 +x 2 +x n =0 的任一基础解系中向量的个数为（分数：3.00）A.1B.2C.n+1D.n-113.以下各线性方程组中，解空间的基是 1 =(1，-1，1，-1，1) T ， 2 =(1，1，0，0，3) T ， 3 =(3，1，1，-1，7) T ， 4 =(0，2，-1，1，2) T 的方程组是 A B （分数：3.00）A.B.C.D.14.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 AX=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组
5、 AX=0 的基本解系（分数：3.00）A.不存在B.仅含一个非零向量C.含有两个线性无关的向量D.含有三个线性无关的向量15.齐次线性方程组 （分数：3.00）A.有唯一的零解B.有无穷多个解C.无解D.不确定16.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是（分数：3.00）A.A 的列向量组线性相关B.A 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性无关17.设 （分数：3.00）A.1B.2C.3D.018.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax=0 的解均为 Bx=0
6、 的解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均为 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)； 若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题正确的是（分数：3.00）A.B.C.D.19.齐次线性方程组 （分数：3.00）A.(0，0，1，0)TB.(-1，1，0，1)TC.(0，0，1，0)T，(-1，1，0，1)TD.不存在20.设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=0，则 A 和 B 的秩（分数：3.00）A.必有一个等于零B.都小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n21.已知矩阵 （分数
7、：3.00）A.t=6 时 r(B)=1B.t=6 时 r(B)=2C.t6 时 r(B)=1D.t6 时 r(B)=222.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（分数：3.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解B.r=n 时，方程组 Ax=b 有惟一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有惟一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解23.设 1 ， 2 是线性方程组 Ax=b 的解，则（分数：3.00）A.1+2 是 Ax=0 的解B.1-2 是 Ax=b 的解C.k11+k22 是 Ax=b 的解(k1+k2=1)D.k11+
8、k22 是 Ax=0 的解(k1+k2=1)24.设 则以下向量中，在 A 的列空间 r(A)中的是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.25.n 元线性方程组 Ax=b 有惟一解的充要条件是（分数：3.00）A.r(A)=nB.A 为方阵且|A|0C.r(A，b)=r(A)=nD.方程组有 n 个方程26.设方程组 （分数：3.00）A.不等于 0B.不等于 3C.不等于 0 且不等于-3D.任意常数27.设 x 1 ，x 2 (x 1 x 2 )是线性方程组 Ax=b 的两个解，则下列向量_一定是该方程组的解（分数：3.00）A.x1+x2B.x1-x2C.x1-2x2D.2
9、x2-x128.非齐次线性方程组 Ax= 中，A 和增广矩阵 （分数：3.00）A.方程组无解B.方程组有惟一组解C.方程组有无穷多组解D.无法确定方程组是否有解29.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的解， 1 ， 2 为非齐次方程组 Ax=b 的解，则（分数：3.00）A.21+1 为 Ax=0 的解B.1+2 为 Ax=b 的解C.1+2 为 Ax=0 的解D.1-2 为 Ax=b 的解30.设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解为 =(1，0，2) T ，=(1，-1，3) T ，且系数矩阵 A 的秩r(A)=2，则对于任意常数 k，k 1 ，k 2 ，方程组的通解可表为
10、（分数：3.00）A.k1(1，0，2)T+k2(1，-1，3)TB.(1，0，2)T+k(1，-1，3)TC.(1，0，2)T+k(0，1，-1)TD.(1，0，2)T+k(2，-1，5)T31.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系，C 1 ，C 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解可以表为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.32.设 A 是 mn 矩阵，且 r(A)mn，下列结论成立的是（分数：3.00）A.Ax=0 仅有零解B.Ax=0 有非零解C.Ax=b 有惟一解D.Ax=b 有无穷多
11、解33.已知线性方程组 （分数：3.00）A.=2 时方程组有无穷多组解B.=-3 时方程组无解C.=3 时方程组有无穷多组解D.2 时方程组有惟一组解线性代数自考题-20 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：33，分数：100.00)1.设齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的基为 1 =(1，-1，1，0) T ， 2 =(1，1，0，1) T ，则必有（分数：4.00）A.A 是 35 矩阵B.r(A)=2 C.A 是 24 矩阵D.A 的列向量组线性无关解析：解析 由题设知 Ax=0 的解空间是二维的，未知量的个数是 4，故由齐次线性方程组的理论，
12、应有4-r(A)=2(未知量的个数减 r(A)等于解空间的维数)故 r(A)=2答案为 B2.设 x 1 ，x 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解向量，则（分数：3.00）A.x1，x2 一定是 Ax=0 的一个基础解系B.x1，x2 有可能是 Ax=0 的一个基础解系 C.k1x1+k2x2 不是 Ax=0 的一个解D.k1x1-k2x2 不是 Ax=0 的一个解解析：解析 如果未知量个数减|A|的秩等于 2，则 x 1 、x 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 B 项正确，A 项不正确 x 1 ，x 2 是 Ax=0 的解向量， k 1 x，k 2 x 2 仍是 Ax=
13、0 的解， k 1 x 1 +k 2 x 2 ，k 1 x 1 +(-k 2 x 2 )仍是 Ax=0 的解 根据解的倍数仍是解、两解之和仍是解这两条解的性质判断，C 项和 D 项错误答案为 B3.已知 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解坝。矩阵 A 可为 A(5，-3，-1) B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 将四个选项代入验证 Ax=0 是否成立即可答案为 A4.设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是（分数：3.00）A.A 的列向量组线性无关 B.A 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性无关D.A 的行向量组线性相关解
14、析：解析 根据齐次线性方程组解的定义可知齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是 A 的列向量组线性无关答案为 A5.设齐次线性方程组 （分数：3.00）A.-1B.0C.1D.2解析：解析 6.若齐次线性方程组 （分数：3.00）A.=-1B.-1 C.=1D.1解析：解析 齐次线性方程组 Ax=0 只有零解7.Ax=0 是 n 元线性方程组，已知 A 的秩为 rn，则下列结论正确的是（分数：3.00）A.该方程组只有零解B.该方程组有 r 个线性无关的解C.该方程组有 n-r 个解D.该方程组有 n-r 个线性无关的解 解析：解析 根据线性方程组解的定理，Ax=0 有，n-r 个
15、线性无关的向量组构成的基础解系如果齐次线性方程组有非零解，则它必有无穷多组解答案为 D8.方程组 （分数：3.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 该方程组的系数矩阵秩等于 1，有 3 个未知数，因此基础解系由 2 个线性无关的向量组成答案为 B9.若 1 ，2， 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列答案中也是 Ax=0 的基础解系的为（分数：3.00）A.1-2，2-3，3-1B.1，2，3 的任意三个线性组合C.1，1-a2，1-2-3 D.1，21，31解析：解析 本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与 1 ， 2 ， 3 等价答案为 C10.n 个未知量的齐
16、次线性方程组的方程个数 mn 则对该方程组正确的（分数：3.00）A.有惟一解B.有无穷多解C.无解D.有解 解析：解析 对于线性方程组 Ax=0 来说，若 mn，则必有 r(A)min(m，n)=nn；如果 r(A)=n，说明该方程组有惟一的零解；如果 r(A)n，说明该方程组有无穷多解，所以选项 D 总是对的，这个解至少就是零解答案为 D11.n 元线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是（分数：3.00）A.方程个数 mnB.方程个数 mnC.方程个数 m=nD.秩(A)n 解析：解析 对于线性方程组 Ax=0 来说，若 r(A)n Ax=0 有非零解(充分条件)；同样，若 Ax=0
17、有非零解12.x 1 +x 2 +x n =0 的任一基础解系中向量的个数为（分数：3.00）A.1B.2C.n+1D.n-1 解析：解析 A=(1，1，1)r(A)=1解向量的个数为 n-1答案为 D13.以下各线性方程组中，解空间的基是 1 =(1，-1，1，-1，1) T ， 2 =(1，1，0，0，3) T ， 3 =(3，1，1，-1，7) T ， 4 =(0，2，-1，1，2) T 的方程组是 A B （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因 5-r(A)=4，故 r(A)=1于是，只可能为 C 或 D因一眼就能看出，A、B 中两方程的系数都不成比例，故 r(A)=r(B
18、)=2再把解代入验证：因 1 满足 C，不满足 D答案为 C14.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 AX=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 AX=0 的基本解系（分数：3.00）A.不存在B.仅含一个非零向量 C.含有两个线性无关的向量D.含有三个线性无关的向量解析：解析 本题考查矩阵与其伴随矩阵秩之间的关系、齐次线性方程组的基础解系和系数矩阵的关系、向量组的线性无关性等矩阵与其伴随矩阵秩之间的关系为 15.齐次线性方程组 （分数：3.00）A.有唯一的零解B.有无穷多个解 C.无解D.不确定解析：解析 齐次线性方程系数矩阵
19、A 的秩为：r(A)=34，故齐次线性方程组有无穷多个解答案为B16.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是（分数：3.00）A.A 的列向量组线性相关 B.A 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性无关解析：解析 A 为 mn 矩阵，可写成A 1 ，A 2 ，A n ，其中 A 1 ，A 2 ，A n 为 m 维列向量，设非零解 17.设 （分数：3.00）A.1 B.2C.3D.0解析：解析 由于 V(A)=3，所以基础解集含有 4-3=1 个向量答案为 A18.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为
20、mn 矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax=0 的解均为 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均为 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)； 若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题正确的是（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 若 Ax=0 的解均为 Bx=0 的解，则 Ax=0 的解空间的维数不超过 Bx=0 的解空间的维数，即，n-r(A)n-r(B)，正确而根据两个解空间的维数的大小关系不能得出其对应的齐次线性方程组的解集的包含关系，所以不成立，即 A，C 不对只需考虑 B，D
21、 两项的正确性显然不成立答案为 B19.齐次线性方程组 （分数：3.00）A.(0，0，1，0)TB.(-1，1，0，1)TC.(0，0，1，0)T，(-1，1，0，1)T D.不存在解析：解析 x 2 ，x 3 为自由未知量基础解系 20.设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=0，则 A 和 B 的秩（分数：3.00）A.必有一个等于零B.都小于 n C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n解析：解析 AB=0A，B 为非零矩阵 令 B=( 1 ， 2 n ) 21.已知矩阵 （分数：3.00）A.t=6 时 r(B)=1B.t=6 时 r(B)=2C.t6 时 r(B)=1 D.
22、t6 时 r(B)=2解析：解析 t6 则 r(A)=2 AB=0，r(A)+r(B)3 r(B)1 r(B)0，r(B)=1答案为 C22.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（分数：3.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有惟一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有惟一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解解析：解析 因 r=m 时有 r(A，b)=r(A)=m(即线性方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，故 Ax=b 有解答案为 A23.设 1 ， 2 是线性方程组 Ax=b 的解，
23、则（分数：3.00）A.1+2 是 Ax=0 的解B.1-2 是 Ax=b 的解C.k11+k22 是 Ax=b 的解(k1+k2=1) D.k11+k22 是 Ax=0 的解(k1+k2=1)解析：解析 1 ， 2 是 Ax=b 的解 A 1 =b，Aa 2 =b A( 1 + 2 )=2b0，( 1 + 2 )不是 Ax=0 的解，排除选项 A，A( 1 - 2 )=0b ( 1 - 2 )不是 Ax=b 的解，排除选项 B，A(k 1 1 )+A(k 2 2 )=k 1 b+k 2 b，又 k 1 +k 2 =1， A(k 1 1 +k 2 2 )=b，即 k 1 1 +k 2 2 是
24、Ax=b 的解而不是 Ax=0 的解答案为 C24.设 则以下向量中，在 A 的列空间 r(A)中的是 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 向量 在 A 的列空间 r(A)中，即 可由 A 的线性表出也就是说存在 x，使得 Ax=，而 Ax= 有解等价于 r(A，)=r(A) 设 =(a，b，c) T ，则 25.n 元线性方程组 Ax=b 有惟一解的充要条件是（分数：3.00）A.r(A)=nB.A 为方阵且|A|0C.r(A，b)=r(A)=n D.方程组有 n 个方程解析：解析 n 元线性方程组 Ax=b 有惟一解的充要条件是 r(A)=r(A，b)=n，故
25、C 项对；A 项是必要条件，非充分条件，方程个数未知数个数，A 项没有对应的行列式；B 项为充分条件，非必要条件；D 项既不是充分条件，也不是必要条件答案为 C26.设方程组 （分数：3.00）A.不等于 0B.不等于 3C.不等于 0 且不等于-3 D.任意常数解析：解析 当 2 +30 时，即 0 且 -3 时，r(A)=3 而 27.设 x 1 ，x 2 (x 1 x 2 )是线性方程组 Ax=b 的两个解，则下列向量_一定是该方程组的解（分数：3.00）A.x1+x2B.x1-x2C.x1-2x2D.2x2-x1 解析：解析 方法一： 由于 x 1 ，x 2 是 Ax=b 的解，有 A
26、x 1 =b，Ax 2 =b，x 1 x 2 ， 因此 A(2x 2 -x 1 )=2Ax 2 -Ax 1 =2b-b=b 方法二： 2x 2 -x 1 =x 2 +(x 2 -x 1 )，非齐次方程组两解之差 x 2 -x 1 是相应齐次线性方程组的解，非齐次解 x 2 加相应齐次解 x 2 -x 1 是非齐次方程组的解答案为 D28.非齐次线性方程组 Ax= 中，A 和增广矩阵 （分数：3.00）A.方程组无解B.方程组有惟一组解C.方程组有无穷多组解 D.无法确定方程组是否有解解析：解析 由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解又因为方程组的未知数个数等于 6，而系数矩阵的秩
27、等于 4，因此方程组有无穷多组解答案为 C29.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的解， 1 ， 2 为非齐次方程组 Ax=b 的解，则（分数：3.00）A.21+1 为 Ax=0 的解B.1+2 为 Ax=b 的解C.1+2 为 Ax=0 的解 D.1-2 为 Ax=b 的解解析：解析 A(2 1 + 1 )=2A 1 +A 1 =b，A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =0，A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =2b，A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =0答案为 C30.设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解为 =(1，0，2) T ，=(1，-1，3) T ，
28、且系数矩阵 A 的秩r(A)=2，则对于任意常数 k，k 1 ，k 2 ，方程组的通解可表为（分数：3.00）A.k1(1，0，2)T+k2(1，-1，3)TB.(1，0，2)T+k(1，-1，3)TC.(1，0，2)T+k(0，1，-1)T D.(1，0，2)T+k(2，-1，5)T解析：解析 Ax=b 的两个解为 、 -=(0，1，-1) T 是 Ax=0 的解从而方程组 Ax=b 的通解为(1，0，2) T +k(0，1，-1) T 答案为 C31.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系，C 1 ，C 2 为任意
29、常数，则方程组 Ax=b 的通解可以表为 A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 1 ， 2 为 Ax=b 的不同特解 A 1 =b，A 2 =b，A 1 +A 2 =A( 1 + 2 )=2b 也是 Ax=6 的一个特解 由非齐次线性方程的解的结构定理可知，通解的一般形式为：=*+k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r 其中 *是 Ax=b 的一个特解 1 ， 2 ， n-r 为 Ax=0 的一个基础体系可知 32.设 A 是 mn 矩阵，且 r(A)mn，下列结论成立的是（分数：3.00）A.Ax=0 仅有零解B.Ax=0 有非零解 C.Ax=b 有惟一解D.Ax=b 有无穷多解解析：解析 由于 r(A)mn，因此齐次线性方程组 Ax=0 有自由未知量，所以有非零解注意：Ax=b不一定有解答案为 B33.已知线性方程组 （分数：3.00）A.=2 时方程组有无穷多组解B.=-3 时方程组无解 C.=3 时方程组有无穷多组解D.2 时方程组有惟一组解解析：解析 对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：
