1、线性代数自考题-3 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵(mn)，则下列运算结果是 n 阶方阵的是_ A.AB B.ATBT C.BTAT D.(A+B)T（分数：2.00）A.B.C.D.2.设 A 是 3 阶反对称矩阵，即 AT=-A，则|A|=_ A.0 B.1 C.1 D.0 或 1（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则_ A.AA*=|A| B.AA*=|A|n
2、 C.A*A=|A|I D.A*A=|A|nI（分数：2.00）A.B.C.D.4.若齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.5.二次型 f=xTAx 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A 与 B_ A.一定合同 B.一定相似 C.即相似又合同 D.即不相似也不合同（分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.的根为 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充
3、要条件为_（分数：2.00）填空项 1:_9.用初等变换将矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_10.设向量组 （分数：2.00）填空项 1:_11.n 阶矩阵 A 的秩为 n-1 且矩阵 A 的各行元素之和为 0，齐次线性方程组 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 ，已知向量 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.设向量 （分数：2.00）填空项 1:_15.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换下化为标准型 （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/
4、B(总题数：2，分数：27.00)已知矩阵 （分数：9.00）(1).求 A-1（分数：4.50）_(2).解矩阵方程 AX=B（分数：4.50）_设方程 A 有特征值 1=2， 2=-1，又 和 2= 是 A 属于 1=2 和 2=-1的特征向量，向量 （分数：18.00）(1).将 表示成 1， 2的线性组合（分数：6.00）_(2).求 A（分数：6.00）_(3).设 A=(aij)33为正交矩阵，其中 a33=-1，又 （分数：6.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设向量组 1， 2， 3线性无关，证明：向量组 1= 1， 2= 1+ 2， 3= 1+ 2+
5、 3也线性无关（分数：7.00）_线性代数自考题-3 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵(mn)，则下列运算结果是 n 阶方阵的是_ A.AB B.ATBT C.BTAT D.(A+B)T（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知 ATBT是 n 阶方阵，答案为 B2.设 A 是 3 阶反对称矩阵，即 AT=-A，则|A|=_ A.0 B.1 C.1 D.0 或 1（分数：2.
6、00）A. B.C.D.解析：解析 由于|A|=|A T|=|-A|=(-1)3|A|=-|A|，所以|A|=0答案为 A3.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则_ A.AA*=|A| B.AA*=|A|n C.A*A=|A|I D.A*A=|A|nI（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 AA *=|A|I答案为 C4.若齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 齐次线性方程组 Ax=0 只有零解*|A|0 * 故 -1 时题中齐次线性方程组只有零解答案为 B5.二次型 f=xTAx 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A
7、 与 B_ A.一定合同 B.一定相似 C.即相似又合同 D.即不相似也不合同（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 f=x TAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即 B=PTAP，所以矩阵 A 与 B 一定合同只有当 P 是正交矩阵时，由于 PT=P-1，所以 A 与 B 既相似又合同答案为 A三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.的根为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 f(x)=3x+3+12-27+2x+2=5x-10=0*x=27.= 1 （分数：2
8、.00）填空项 1:_ （正确答案：211）解析：解析 依据行列式计算法则：原式=-2(-2)(-2)(-2)(-2)+33333-00(-2)03-0300(-2)-0(-2)003-030(-2)0-(-2)0030=-32+243-0=2118.设 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：AB=BA）解析：解析 A、B 为 n 阶对称矩阵，则 AT=A，B T=B，因为 AB 也是对称矩阵(AB)T=BTAT=BA=AB，故 A、B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为 AB=BA9.用初等变换将
9、矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 对 A 进行初等变换，有* *10.设向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a0，b0，c0）解析：解析 由于 1， 2， 3线性无关，因此矩阵 A=( 1， 2， 3)为满秩矩阵，即*所以 a0，b0，c011.n 阶矩阵 A 的秩为 n-1 且矩阵 A 的各行元素之和为 0，齐次线性方程组 Ax=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k(1，1，1) Tk 为任意常数）解析：解析 Ax=0 的基础解系解向量的个数为 1，由题设知 A(1，1，1) T=0，故(1，1，1) T0为 A
10、x=0 的一个线性无关解，所以通解为 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数12.设矩阵 ，已知向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 根据特征值与特征向量的定义，A= 因此* 所以 =113.若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 A 有特征值 =2，则*必有特征值*，*必有特征值*14.设向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：解析 (，)=11+21+(-2)2+1(-2)=-315.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换下化为标准型 （分数：
11、2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 二次型在正交变换下的标准型为*，因此特征值为 1=1， 2=2， 3=0，最小特征值为0五、B计算题/B(总题数：2，分数：27.00)已知矩阵 （分数：9.00）(1).求 A-1（分数：4.50）_正确答案：(由于|A|=10，所以矩阵 A 可逆，经计算 *)解析：(2).解矩阵方程 AX=B（分数：4.50）_正确答案：(因此*)解析：设方程 A 有特征值 1=2， 2=-1，又 和 2= 是 A 属于 1=2 和 2=-1的特征向量，向量 （分数：18.00）(1).将 表示成 1， 2的线性组合（分数：6.00）_正确答案：(以
12、1， 2， 为列向量的矩阵作初等行变换，有*所以 =3 1+ 2)解析：(2).求 A（分数：6.00）_正确答案：(A=A(3 1+ 2)=3A 1+A 2=3(2 1)+(- 2)=6 1- 2=*)解析：(3).设 A=(aij)33为正交矩阵，其中 a33=-1，又 （分数：6.00）_正确答案：(由于 A 为正交矩阵，因此 A 的列向量组与行向量组均为标准正交向量组，故*因此a13=a23=0；同理 a31=a32=0 即* 又 A 正交，因此 A-1=AT，所以*)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)16.设向量组 1， 2， 3线性无关，证明：向量组 1= 1， 2= 1+ 2， 3= 1+ 2+ 3也线性无关（分数：7.00）_正确答案：(证明 令 k1 1+k2 2+k3 3=0，则 k1 1+k2( 1+ 2)+k3( 1+ 2+ 3)=0，(k1+k2+k3) 1+(k2+k3) 2+k3 3=0，由于 1， 2， 3线性无关，所以*线性方程组的系数行列式*，因此仅有 0 解，即 k1=k2=k3=0，所以 1， 2， 3线性无关)解析：
