1、线性代数自考题-5 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A 为 3 阶方阵且 （分数：2.00）A.B.C.D.2.若 AB=AC，能推出 B=C，其中 A，B，C 为同阶方阵，则 A 应满足条件_ A.A0 B.A=0 C.|A|=0 D.|A|0（分数：2.00）A.B.C.D.3.设矩阵 Amn的秩为 r(A)=mn，I m为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是_ A.A 的任意 m 个列向量必线性无关 B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零 C.若矩阵
2、B 满足 BA=O，则 B=O D.A 通过初等行变换，必可以化为(I mO)的形式（分数：2.00）A.B.C.D.4.若 1， 2， 3是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列答案中也是 Ax=0 的基础解系的为_ A. 1- 2， 2- 3， 3- 1 B. 1， 2， 3的任意三个线性组合 C. 1， 1- 2， 1- 2- 3 D. 1，2 1，3 1（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.=
3、 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A、B 均为 3 阶矩阵，|A|=3，|B|=-2，则|-2A TB-1|=_（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，则矩阵 B=AC 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.若 A2=E，则 A 的特征值只能是_（分数：2.00）填空项 1:_13.如果向量 x 是矩阵 A 的特征向量，则 1 是矩阵 P-1AP 的特征向量（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为实对
4、称矩阵， 和 （分数：2.00）填空项 1:_15.实二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_17.设 （分数：9.00）_18.设 （分数：9.00）_19.已知 1=(1，0，2，3)， 2=(1，1，3，5)， 3=(1，-1，a+2，1)， 4=(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)，问当 a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4的线性组合?（分数：9.00）_20.a、b 的值使线性方程组 （分数：9.00）_21.求 及 （分数：9.00）_22.设对
5、称矩阵 （分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.设方阵 A 满足条件 AA=E，求证：A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1（分数：7.00）_线性代数自考题-5 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 A 为 3 阶方阵且 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 *答案为 A2.若 AB=AC，能推出 B=C，其中 A，B，C 为同阶方阵，则 A 应满足条件_ A.A0 B.A=0 C.|A|=0 D.|A|0（分数：
6、2.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 AB=AC，则 A(B-C)=0，故当 A 可逆，即|A|0 时 B=C答案为 D3.设矩阵 Amn的秩为 r(A)=mn，I m为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是_ A.A 的任意 m 个列向量必线性无关 B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零 C.若矩阵 B 满足 BA=O，则 B=O D.A 通过初等行变换，必可以化为(I mO)的形式（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 矩阵 Amn的秩 r(A)=mn故 A 的行满秩，列不满秩，A 的 m 个列向量可能线性无关也可能线性相关，且 A 通过初等行变换，可以化为(I mO)形式，故
7、选 D答案为 D4.若 1， 2， 3是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列答案中也是 Ax=0 的基础解系的为_ A. 1- 2， 2- 3， 3- 1 B. 1， 2， 3的任意三个线性组合 C. 1， 1- 2， 1- 2- 3 D. 1，2 1，3 1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与 1， 2， 3等价答案为 C5.设 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 用定义 Ax=x 来判断，这时 =0，故计算 Ax 的值，使 Ax=0 的向量 x 就是 A 的属于特征值 0 的特征向量，当 x=(1，2，3) T时
8、，有 Ax=0答案为 B三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-8）解析：解析 *7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：解析 *8.设 A、B 均为 3 阶矩阵，|A|=3，|B|=-2，则|-2A TB-1|=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：12）解析：解析 * =129.设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，则矩阵 B=AC 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：r）
9、解析：解析 根据矩阵的秩的定理 2.6.1 推论：设 A 为 mn 矩阵，P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)可推出 r(B)=r(AC)=r(A)=r10.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 对矩阵 A 作初等变换，有* 由此可知，当 -10 时 r(A)=3，而 -1=0 时 r(A)=2所以 -1=0 即 =111.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 当 =-1 时，第 4 个方程为矛盾方程，因而无解12.若 A2=E，则 A 的特征值只能是_（分数：2.
10、00）填空项 1:_ （正确答案：1 或-1）解析：解析 由 A2=E 得A2-E=0，(A-E)(A+E)=0|(A-E)|(A+E)|=0故|A-E|=0 或|(A+E)|=|(-A-E)|=0故必有 -1=0 或-1=0即 =1 或-113.如果向量 x 是矩阵 A 的特征向量，则 1 是矩阵 P-1AP 的特征向量（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：P -1x）解析：解析 设 B=P-1AP，则 A=PBP-1，又 Ax=x，所以有 PBP-1x=x，两边同时左乘可逆矩阵 P-1得 BP-1x=P -1x，即(P -1AP)P-1x=P -1x，由特征值和特征向量的定义即可得
11、到，P -1x 是 P-1AP 的一个特征向量14.设 A 为实对称矩阵， 和 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此( 1， 2)=a-8+3=a-5=0，所以a=515.实二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：p=2）解析：解析 令*，由于*，所以经过可逆线性变换二次型化为标准型*，所以正惯性指数 p=2五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(将第一行乘-1 加到其余各行上，形成三线型，最后得结果为*)解析：17.设 （分
12、数：9.00）_正确答案：(A 2+B2-AB-BA=(A2-AB)-(BA-B2)=A(A-B)-B(A-B)=(A-B)2=*)解析：18.设 （分数：9.00）_正确答案：(由 AB=A+2B 可得(A-2E)B=A，故 *)解析：19.已知 1=(1，0，2，3)， 2=(1，1，3，5)， 3=(1，-1，a+2，1)， 4=(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)，问当 a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4的线性组合?（分数：9.00）_正确答案：(设 =x 1 1+x2 2+x3 3+x4 4，不难求得有线性方程组*对这个线性方程组的增广矩阵进行初等变换*
13、若 a+1=0而 b0，则方程组无解因此当 a=-1，b0 时， 不能表示为 1， 2， 3， 4的线性组合)解析：20.a、b 的值使线性方程组 （分数：9.00）_正确答案：(对增广矩阵作初等行变换，有 * 由此可见，当 a=b=0 时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2未知量个数，方程组有无穷多解，并且当 a=b=0 时，线性方程组的同解方程组为* 所以方程组通解为*(k 为任意实数)解析：21.求 及 （分数：9.00）_正确答案：(1)特征值为 1= 2=0， 3=3属于 1= 2=0 的特征向量满足*于是全部的特征向量为*(k 1，k 2为不全为零的实数)属于 3=3 的特征向量满足*
14、于是全部的特征向量为*(k0 为任意实数)(2)特征值为 1=-1， 2= 3=1，属于 1=1 的特征向量满足*于是全部的特征向量为*(k0 为任意实数)属于 2= 3=1 的特征向量满足 x1-x3=0，于是全部的特征向量为*(k 1，k 2为不全为零的实数)解析：22.设对称矩阵 （分数：9.00）_正确答案：(因为矩阵 A 是对称矩阵，所以其特征值都是实数，且对应的特征向量都线性无关，先求出特征值，然后求出相应的特征向量，最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵(1)首先求特征值*，特征值为 1=0(三重)， 2=4(2)其次求特征向量当 1=0 时，求( 1I-A)x=0 的基础解
15、系*，解之得基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， 3=(-1，0，0，1) T，将 1， 2， 3正交化，得 1= 1=(-1，1，0，0) T，*，*再将 1， 2， 3单位化，得*，*，*当 2=4 时，求( 2I-A)x=0 的基础解系*，得基础解系为 4=(1，1，1，1) T，将 4=(1，1，1，1) T单位化，得*(3)令 P=( 1， 2， 3， 4)，则有*)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.设方阵 A 满足条件 AA=E，求证：A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1（分数：7.00）_正确答案：(证明 设 X 是 A 的实特征向量， 1是对应的特征值，则 AX=X，因 XA=X，于是XAAX=XX= 2XX因 AA=E，(E 为单位阵)，所以 XEX= 2XX，即 XX= 2XX，( 2-1)XX=0又 X0 为实特征向量，从而 XX0，所以 2=1 即|=1)解析：
