1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷 )数学文 一、选择题 1.已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 P=1， 3， 5， Q=1， 2， 4，则 (CUP) Q=( ) A.1 B.3， 5 C.1， 2， 4， 6 D.1， 2， 3， 4， 5 解析 ： CUP=2， 4， 6， (CUP) Q=2， 4， 6 1， 2， 4=1， 2， 4， 6. 答案： C. 2.已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m， n满足 m， n，则 ( ) A.m l B.m n C.n l D.m n 解析 ： 互相垂直的平面，交于直线 l，直线 m， n满足 m， m
2、或 m 或 m， l ， n， n l. 答案： C 3.函数 y=sinx2的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： sin(-x)2=sinx2， 函数 y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于 y轴对称，排除 A， C； 由 y=sinx2=0，则 x2= k ， k 0，则 x= k， k 0， 故函数有无穷多个零点，排除 B. 答案： D 4.若平面区域 302 3 02 3 0xyxyxy ，夹在两条斜率为 1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 ( ) A.355B. 2 C.322D. 5 解析：作出平面区域如图所示： 当直线 y=x+b分别经过 A，
3、B时，平行线间的距离相等 . 联立方程组 302 3 0xyxy ，解得 A(2， 1)， 联立方程组 302 3 0xyxy ，解得 B(1， 2). 两条平行线分别为 y=x-1， y=x+1，即 x-y-1=0， x-y+1=0.平行线间的距离为 d= 11 22 . 答案： B 5.已知 a， b 0且 a 1， b 1，若 logab 1，则 ( ) A.(a-1)(b-1) 0 B.(a-1)(a-b) 0 C.(b-1)(b-a) 0 D.(b-1)(b-a) 0 解析：若 a 1，则由 logab 1得 logab logaa，即 b a 1，此时 b-a 0， b 1，即 (
4、b-1)(b-a) 0， 若 0 a 1，则由 logab 1得 logab logaa，即 b a 1，此时 b-a 0， b 1，即 (b-1)(b-a) 0， 综上 (b-1)(b-a) 0. 答案： D 6.已知函数 f(x)=x2+bx，则“ b 0”是“ f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： f(x)的对称轴为 x=-2b， fmin(x)=- 24b. (1)若 b 0，则 -2b - 24b，当 f(x)=-2b时， f(f(x)取得最小值 f(-2b)=- 24b，
5、 即 f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等 . “ b 0”是“ f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分条件 . (2)若 f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等， 则 fmin(x) -2b，即 - 24b -2b，解得 b 0或 b 2. “ b 0”不是“ f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”的必要条件 . 答案： A 7.已知函数 f(x)满足： f(x) |x|且 f(x) 2x， x R.( ) A.若 f(a) |b|，则 a b B.若 f(a) 2b，则 a b C.若 f(a) |b|，则 a b D.若 f(a) 2b，则 a b 解
6、析： A.若 f(a) |b|，则由条件 f(x) |x|得 f(a) |a|， 即 |a| |b|，则 a b 不一定成立，故 A错误 ； B.若 f(a) 2b，则由条件知 f(x) 2x， 即 f(a) 2a，则 2a f(a) 2b，则 a b，故 B正确 ； C.若 f(a) |b|，则由条件 f(x) |x|得 f(a) |a|，则 |a| |b|不一定成立，故 C错误 ； D.若 f(a) 2b，则由条件 f(x) 2x，得 f(a) 2a，则 2a 2b，不一定成立，即 a b 不一定成立，故 D错误 . 答案： B 8.如图，点列 An、 Bn分别在某锐角的两边上，且 |An
7、An+1|=|An+1An+2|， An An+1， n N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|， Bn Bn+1， n N*， (P Q表示点 P与 Q不重合 )若 dn=|AnBn|， Sn为 AnBnBn+1的面积，则 ( ) A.Sn是等差数列 B.Sn2是等差数列 C.dn是等差数列 D.dn2是等差数列 解析：设锐角的顶点为 O， |OA1|=a， |OB1|=b， |AnAn+1|=|An+1An+2|=b， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d， 由于 a， b不确定，则 dn不一定是等差数列， dn2不一定是等差数列， 设 AnBnBn+1的底边 BnBn+1上的
8、高为 hn， 由三角形的相似可得 111nn a n bh O Ah O A a n b， 21112nn a n bh O Ah O A a n b， 两式相加可得，2122 2nnnhh a n bh a n b ，即有 hn+hn+2=2hn+1， 由 Sn=12d hn，可得 Sn+Sn+2=2Sn+1，即为 Sn+2-Sn+1=Sn+1-Sn，则数列 Sn为等差数列 . 答案： A 二、填空题 9.某几何体的三视图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3. 解析 ：根据几何体的三视图，得 ： 该几何体是下部为长方体，其长和宽都为 4，高为 2， 表面积
9、为 2 4 4+2 42=64cm2，体积为 2 42=32cm3； 上部为正方体，其棱长为 2， 表面积是 6 22=24 cm2，体积为 23=8cm3； 所以几何体的表面积为 64+24-2 22=80cm2， 体积为 32+8=40cm3. 答案 ： 80； 40. 10.已知 a R，方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 . 解析 ：方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆， a2=a+2 0，解得 a=-1或 a=2. 当 a=-1时，方程化为 x2+y2+4x+8y-5=0， 配方得 (x+2)2+(y+4)2=2
10、5，所得圆的圆心坐标为 (-2， -4)，半径为 5； 当 a=2时，方程化为 x2+y2+x+2y+52=0， 此时 D2+E2-4F=1+4-4 52=-5 0，方程不表示圆 . 答案： (-2， -4)， 5. 11.已知 2cos2x+sin2x=Asin( x+ )+b(A 0)，则 A= ， b= . 解析 ： 2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ 2 ( 22cos2x+ 22sin2x)+1= 2 sin(2x+4)+1， A= 2 ， b=1， 答案： 2 ； 1. 12.设函数 f(x)=x3+3x2+1，已知 a 0，且 f(x)-f(a)=(x-b
11、)(x-a)2， x R，则实数 a= ，b= . 解析 ： f(x)=x3+3x2+1， f(x)-f(a)=x3+3x2+1-(a3+3a2+1)=x3+3x2-(a3+3a2)， (x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax+a2)=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b， 且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2， 23 2 223203aba aba a a b ，解得 21ab， 或 03ab， (舍去 ). 答案 ： -2； 1. 13.设双曲线 x2- 23y=1的左、右焦点分别为 F1、 F2，若点 P在双曲线上，且 F1PF2为锐角三角形，则 |PF1
12、|+|PF2|的取值范围是 . 解析：如图， 由双曲线 x2- 23y=1，得 a2=1， b2=3， c= 22ab =2. 不妨以 P在双曲线右支为例，当 PF2 x轴时， 把 x=2代入 x2- 23y=1，得 y= 3，即 |PF2|=3， 此时 |PF1|=|PF2|+2=5，则 |PF1|+|PF2|=8； 由 PF1 PF2，得 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16， 又 |PF1|-|PF2|=2， 两边平方得： |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4， |PF1|PF2|=6， 联立解得： |PF1|=1+ 7 ， |PF2|=-1+ 7 ，
13、 此时 |PF1|+|PF2|=2+ 7 . 使 F1PF2为锐角三角形的 |PF1|+|PF2|的取值范围是 (2 7 ， 8). 答案： (2 7 ， 8). 14.如图，已知平面四边形 ABCD， AB=BC=3， CD=1， AD= 5 ， ADC=90，沿直线 AC将 ACD翻折成 ACD，直线 AC与 BD所成角的余弦的最大值是 . 解析：如图所示，取 AC的中点 O， AB=BC=3， BO AC， 在 Rt ACD中， AC= 22165. 作 D E AC，垂足为 E， D E=1 5 30 666 .CO= 62， CE= 2 6661DCCA ， EO=CO-CE= 63
14、. 过点 B作 BF BO，作 FE BO交 BF 于点 F，则 EF AC.连接 D F. FBD为直线 AC与 BD所成的角 . 则四边形 BOEF为矩形， BF=EO= 63. EF=BO= 22 623032 . 则 FED为二面角 D -CA-B的平面角，设为 . 则 D F2= 223 0 3 0 3 0 3 0 2 5 1 02 c o s 5 c o s6 2 6 2 3 3 ， cos =1时取等号 . D B 的最小值 = 210363=2.直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值 =66362BFDB. 答案： 6615.已知平面向量 a ， b ， |a |=1， |b
15、 |=2， a b =1，若 e 为平面单位向量，则 |a e |+|b e|的最大值是 . 解析： a e b ea e b eee ， 其几何意义为 a 在 e 上的投影的绝对值与 b 在 e 上投影的绝对值的和， 当 e 与 a +b 共线时，取得最大值 . 22 2() 7m a xa e b e a b a b a b . 答案： 7. 三、解答题 16.在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 b+c=2acosB. (1)证明： A=2B； (2)若 cosB=23，求 cosC 的值 . 解析： (1) 由 b+c=2acosB ， 利 用 正 弦
16、 定 理 可 得 ： sinB+sinC=2sinAcosB ，而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得： sinB=sin(A-B)，由 A， B (0， )，可得 0 A-B，即可证明 . (II)cosB=23，可得 sinB= 21 cos B .cosA=cos2B=2cos2B-1， sinA= 21 cos A .利用cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB 即可得出 . 答案： (1) b+c=2acosB， sinB+sinC=2sinAcosB， sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
17、 sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)，由 A， B (0， )， 0 A-B， B=A-B，或 B= -(A-B)，化为 A=2B，或 A= (舍去 ). A=2B. (II)cosB=23， sinB= 21 cos B = 53. cosA=cos2B=2cos2B-1=-19， sinA= 2 451 c o s9A. cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= 25()331 4 5 2 29 9 2 7 . 17.设数列 an的前 n项和为 Sn，已知 S2=4， an+1=2Sn+1， n N*. ( )求通项公式 an； (
18、)求数列 |an-n-2|的前 n 项和 . 解析： ( )根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列 an是公比q=3的等比数列，即可求通项公式 an； ( )讨论 n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列 |an-n-2|的前 n项和 . 答案： ( ) S2=4， an+1=2Sn+1， n N*. a1+a2=4， a2=2S1+1=2a1+1，解得 a1=1， a2=3， 当 n 2时， an+1=2Sn+1， an=2Sn-1+1， 两式相减得 an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an， 即 an+1=3an，当 n=1时， a1=1， a
19、2=3，满足 an+1=3an， 1nnaa =3，则数列 an是公比 q=3的等比数列，则通项公式 an=3n-1. ( )an-n-2=3n-1-n-2， 设 bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|，则 b1=|30-1-2|=2， b2=|3-2-2|=1， 当 n 3时， 3n-1-n-2 0，则 bn=|an-n-2|=3n-1-n-2， 此时数列 |an-n-2|的前 n项和 Tn= 2 29 1 3 522 3 5 1 131 3 2 2n nnn nn ， 则 Tn=2221 2132 3 5 1 123 5 1 1 232nnn nn nnnnnn ， ， ， ， ，
20、，18. 如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE平面 ABC， ACB=90， BE=EF=FC=1， BC=2，AC=3. ( )求证： BF平面 ACFD； ( )求直线 BD与平面 ACFD所成角的余弦值 . 解析： ( )根据三棱台的定义，可知分别延长 AD， BE， CF，会交于一点，并设该点为 K，并且可以由平面 BCFE平面 ABC及 ACB=90可以得出 AC平面 BCK，进而得出 BF AC.而根据条件可以判断出点 E， F分别为边 BK， CK的中点，从而得出 BCK为等边三角形，进而得出 BF CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出 BF平面 ACFD； (
21、 )由 BF平面 ACFD便可得出 BDF为直线 BD和平面 ACFD所成的角，根据条件可以求出BF= 3 ， DF=32，从而在 Rt BDF中可以求出 BD 的值，从而得出 cos BDF的值，即得出直线 BD和平面 ACFD所成角的余弦值 . 答案： ( )延长 AD， BE， CF相交于一点 K，如图所示： 平面 BCFE平面 ABC，且 AC BC； AC平面 BCK， BF 平面 BCK； BF AC； 又 EF BC， BE=EF=FC=1， BC=2； BCK为等边三角形，且 F为 CK的中点； BF CK，且 AC CK=C； BF平面 ACFD； ( ) BF平面 ACFD
22、； BDF是直线 BD 和平面 ACFD所成的角； F为 CK中点，且 DF AC； DF 为 ACK的中位线，且 AC=3； DF=32； 又 BF= 3 ；在 Rt BFD中， BD= 9 21342， cos BDF= 21721232DFBD； 即直线 BD和平面 ACFD 所成角的余弦值为 217. 19.如图，设抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，抛物线上的点 A到 y轴的距离等于 |AF|-1， ( )求 p的值； ( )若直线 AF交抛物线于另一点 B，过 B与 x轴平行的直线和过 F与 AB垂直的直线交于点N， AN与 x轴交于点 M，求 M的横坐标的取值范围 . 解
23、析： ( )利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p值； ( )设出直线 AF 的方程，与抛物线联立，求出 B的坐标，求出直线 AB， FN 的斜率，从而求出直线 BN的方程，根据 A、 M、 N三点共线，可求出 M的横坐标的表达式，从而求出 m的取值范围 . 答案： ( )由题意可得，抛物线上点 A到焦点 F的距离等于 A到直线 x=-1的距离， 由抛物线定义得，2p=1，即 p=2； ( )由 ( )得，抛物线方程为 y2=4x， F(1， 0)，可设 (t2， 2t)， t 0， t 1， AF不垂直 y轴，设直线 AF： x=sy+1(s 0)， 联立 2 41yxx
24、sy ，得 y2-4sy-4=0.y1y2=-4， B(21t ， -2t )， 又直线 AB的斜率为221tt ，故直线 FN的斜率为 2 12t t ， 从而得 FN： y=- 2 12t t(x-1)，直线 BN： y=-2t，则 N( 2231tt ， -2t )， 设 M(m， 0)，由 A、 M、 N三点共线，得222222231tt tttm tt ， 于是 m= 2222211 1ttt，得 m 0或 m 2.经检验， m 0或 m 2满足题意 . 点 M的横坐标的取值范围为 (-， 0) (2， + ). 20.设函数 f(x)= 3 11x x ， x 0， 1，证明： (
25、 )f(x) 1-x+x2. ( )34 f(x) 32. 解析： ( )根据题意， 1-x+x2-x3= 411xx，利用放缩法得 411xxx ，即可证明结论成立； ( )利用 0 x 1 时 x3 x，证明 f(x) 32，再利用配方法证明 f(x) 34，结合函数的最小值得出 f(x) 34，即证结论成立 . 答案： ( )因为 f(x)= 3 11x x ， x 0， 1， 且 1-x+x2-x3= 411xx， 所以 411xxx ，所以 1-x+x2-x3 11x，即 f(x) 1-x+x2； ( )证明：因为 0 x 1，所以 x3 x， 所以 f(x)=x3+ 11x x+ 11x=x+ 11x-32+32= 1 2 121xxx+32 32； 由 ( )得， f(x) 1-x+x2=(x-12)2+34 34， 且 f(12)=(12)3+241 121 19 34，所以 f(x) 34；综上， 34 f(x) 32.
