1、贵州省专升本考试高等数学模拟 10 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.0，4C.0，1D.0，12.设 f(x)是奇函数且 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无定义3.下列函数相同的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.当 x0 时，与 ln(1+x 2 )等价的无穷小是_ A.x B.sinx C.x2 D.cosx-1（分数：2.00）A.B.C.D.
2、6.函数 在 x=0 处连续，则 k=_ A0 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)在 x=1 处可导，则 （分数：2.00）A.sf“(1)B.-f“(1)C.2f“(1)D.-3f“(1)8.设 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f“(x)=(x-1)(x+1)，x(-，+)，则曲线 f(x)在区间(1，+)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凹的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调减少且是凸的10.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.只有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线11.设 f(1)=0，且极限
3、 存在，则 _ A B （分数：2.00）A.B.C.D.12.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是_ Ay=|x|，-1，1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 x=atcost，y=atsint(a0 为常数)，则 _ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 f(x)是连续函数，且f(x)dx=F(x)+C，则下列等式成立的是_ Af(x 2 )dx=F(x 2 )+C Bf(3x+2)dx=F(3x+2)+C Cf(e x )e x dx=F(e x )+C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.若 f(x)的一个原函数为 sin
4、x，则f(2x)dx“=_ Asin2x Bcos2x Ccosx D （分数：2.00）A.B.C.D.16.连续曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b(ab)及 x 轴围成的曲边梯形的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.广义积分 _ A收敛于 B收敛于 C收敛于 （分数：2.00）A.B.C.D.18.下列定积分中等于零的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 a 和 b 是非零向量，则(a+b)(a+2b)=_ A.ab B.3ab C.ba D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A.B.C.D.20.直线 （分数：2.00）A
5、.互相垂直B.互相平行但直线不在平面内C.直线在平面内D.斜交21.设 （分数：2.00）AeB.0C.-1D.122.函数 z=ln(xy)的定义域为_（分数：2.00）A.x0，y0B.x0，y0 或 x0，y0C.x0，y0D.x0，y0 或 x0，y023.函数 x=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件24.L 为从点(0，1)到(1，1)的有向线段，则 L (x+y)dy-(y-x)dx_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 ，则交换积分次序后，I 可以化为_ A B C
6、 D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性要看具体的 an27.级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定28.若幂级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.一定发散D.可能收敛也可能发散29.微分方程 y“+x 2 (y“) 3 -sinxy=0 的阶数是_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.430.下列方程中为可分离变量方程的是_ A.y“=exy B.xy“+y=ex C.(x-xy2)dx+(y+x2y)dy=0 D.yy“+y+x=0（分数：
7、2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 （分数：2.00）32.设 y=f(cosx)，f 为可导函数，则 （分数：2.00）33.曲线方程为 3y 2 =x 2 (x+1)，则在点(2，2)处的切线方程为 1. （分数：2.00）34.曲线 y=xe -x 的拐点是 1. （分数：2.00）35.点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-10=0 的距离为 1. （分数：2.00）36.过点(1，0，一 2)且与平面 x-4z=3 及平面 3x-y-5z=1 的交线平行的直线方程为 1. （分数：2.00）37.直角坐标下二重积分 （分数：2.00）3
8、8.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）39.函数 （分数：2.00）40.微分方程 y“-4y=0 的通解是 1. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求 （分数：5.00）_42.设函数 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.已知 xe x 为 f(x)的一个原函数，求 （分数：5.00）_45.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中 f(u，v)具有一阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_46.求过点(2，-1，3)与直线 （分数：5.00）_47.求 （分数：5.00）_48.求函数
9、z=x 3 +y 3 -3xy 的极值. （分数：5.00）_49.将函数 （分数：5.00）_50.求微分方程 y“+5y“+4y=3-2x 的通解. （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼 1000 尾，在时刻 t，鱼数 y 是时间 t 的函数，其变化率与鱼数 y及 1000-y 之积成正比，已知在池塘内养鱼 100 尾，3 个月后，池塘内有鱼 250 尾，求放养 t 月后池塘内鱼数 y(t)的函数. （分数：7.00）_52.过点(1，0)作抛物线 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.当 x1 时
10、，证明 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 10 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.0，4C.0，1 D.0，1解析：解析 要使函数有意义，须令 1-x 2 0 且 2.设 f(x)是奇函数且 （分数：2.00）A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.无定义解析：解析 令 3.下列函数相同的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于 D 选项函数 y=|x|与函数 ，它们的定义域相同，又因为4.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去
11、间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 因为5.当 x0 时，与 ln(1+x 2 )等价的无穷小是_ A.x B.sinx C.x2 D.cosx-1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 显然 ln(1+x 2 )x 2 ，故应选 C.6.函数 在 x=0 处连续，则 k=_ A0 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 7.设函数 f(x)在 x=1 处可导，则 （分数：2.00）A.sf“(1) B.-f“(1)C.2f“(1)D.-3f“(1)解析：解析 8.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.设 f“(x)=(x-1)(x+1
12、)，x(-，+)，则曲线 f(x)在区间(1，+)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凹的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调减少且是凸的解析：解析 在区间(1，+)内有 f“(x)=(x-1)(x+1)0，f“(x)=2x0，故应选 A.10.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.只有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线 D.既无水平又无垂直渐近线解析：解析 因为 11.设 f(1)=0，且极限 存在，则 _ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 12.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是_ Ay=|x|，-1，1 B C D （分数：2.
13、00）A.B. C.D.解析：解析 A，C 中函数在 x=0 处不可导，D 中函数在 x=1 处无定义，故选 B.13.设 x=atcost，y=atsint(a0 为常数)，则 _ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 14.设 f(x)是连续函数，且f(x)dx=F(x)+C，则下列等式成立的是_ Af(x 2 )dx=F(x 2 )+C Bf(3x+2)dx=F(3x+2)+C Cf(e x )e x dx=F(e x )+C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 f(e x )e x dx=f(e x )d(e x )=F(e x )+C.故应
14、选 C.15.若 f(x)的一个原函数为 sinx，则f(2x)dx“=_ Asin2x Bcos2x Ccosx D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)=(sinx)“=cosx，所以16.连续曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b(ab)及 x 轴围成的曲边梯形的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由定积分的几何意义知，曲边梯形的面积为17.广义积分 _ A收敛于 B收敛于 C收敛于 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 18.下列定积分中等于零的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解
15、析 根据奇偶函数在对称区间上的积分性质，可以判定 C 是正确的.故应选 C.19.设 a 和 b 是非零向量，则(a+b)(a+2b)=_ A.ab B.3ab C.ba D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 (a+b)(a+2b)=aa+a(2b)+ba+b(2b) =2ab-ab=ab，故应选 A.20.直线 （分数：2.00）A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面内C.直线在平面内 D.斜交解析：解析 s=3，-1，1，n=1，2，-1， 因为 sn=31+(-1)2+1(-1)=0， 所以直线与平面平行或直线在平面内. 又点(1，-1，2)代入平面方程
16、x+2y-z+3=0 成立. 所以直线在平面内.故应选 C.21.设 （分数：2.00）AeB.0C.-1D.1 解析：解析 因为 f(x，1)=e x-1 ，所以 f x (x，1)=e x-1 ，f x (1，1)=e 0 =1.故应选 D.22.函数 z=ln(xy)的定义域为_（分数：2.00）A.x0，y0B.x0，y0 或 x0，y0C.x0，y0D.x0，y0 或 x0，y0 解析：解析 x,y 应满足 xy0，即 x0，y0 或 x0，y0，故应选 D.23.函数 x=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件 C
17、.充要条件D.无关条件解析：解析 24.L 为从点(0，1)到(1，1)的有向线段，则 L (x+y)dy-(y-x)dx_ A B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 25.设 ，则交换积分次序后，I 可以化为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 画出积分区域如图. 交换积分次序得 26.设级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性要看具体的 an解析：解析 因为 又 收敛， 也收敛， 从而 也收敛.所以 27.级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不确定解析：解
18、析 根据阿贝尔定理可以判定28.若幂级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.一定发散D.可能收敛也可能发散 解析：解析 级数29.微分方程 y“+x 2 (y“) 3 -sinxy=0 的阶数是_（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 微分方程的阶指的是未知函数的最高阶导数的阶数，所给方程为二阶微分方程.故应选 B.30.下列方程中为可分离变量方程的是_ A.y“=exy B.xy“+y=ex C.(x-xy2)dx+(y+x2y)dy=0 D.yy“+y+x=0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由(x-xy 2 )dx+(y+x 2 y)dy=0，得
19、 x(1-y 2 )dx+y(1+x 2 )dy=0， y(1+x 2 )dy=x(y 2 -1)dy，所以 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 （分数：2.00）解析：x 2 -x+2 解析 32.设 y=f(cosx)，f 为可导函数，则 （分数：2.00）解析：-sinxf“(cosx)解析 33.曲线方程为 3y 2 =x 2 (x+1)，则在点(2，2)处的切线方程为 1. （分数：2.00）解析：4x-3y-2=0 解析 两边对 x 求导得 6yy“=3x 2 +2x，即 k=y“| (2，2) 切线方程为 34.曲线 y=xe -x 的拐点是 1. （分数：2
20、.00）解析：(2，2e -2 ) 解析 因为 y“=(1-x)e -x ，y“=(x-2)e -x ，令 y“=0 得 x=2， 当 x2 时，y“0，当 x2 时，y“2， 故拐点坐标为(2，2e -2 ).35.点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-10=0 的距离为 1. （分数：2.00）解析：1解析 36.过点(1，0，一 2)且与平面 x-4z=3 及平面 3x-y-5z=1 的交线平行的直线方程为 1. （分数：2.00）解析： 解析 取所求直线的方向向量为 则所求直线方程为 37.直角坐标下二重积分 （分数：2.00）解析： 解析 在极坐标系下 D=(r，)|02，1r3，
21、 所以 38.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）解析： 解析 D：02，0r1， 或根据二重积分的几何意义知 39.函数 （分数：2.00）解析：解析 40.微分方程 y“-4y=0 的通解是 1. （分数：2.00）解析：y=C 1 e -2x +C 2 e 2x 解析 特征方程为 r 2 -4=0，解得 r 1 =-2，r 2 =2，所以通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e 2x 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 f(x)在 x=
22、0 处可导，从而 ，f(0)=1+b，即，1+b=0，得 b=-1. 又因为 ，所以 a=2. 故当 a=2，b=-1 时 f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)=2. 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.已知 xe x 为 f(x)的一个原函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：已知f(x)dx=xe x +C. 其中 f(x)=(xe x +C)“=(1+x)e x ，f(1)=2e， 所以 45.设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy )，其中 f(u，v)具有一阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 u=x 2 -y 2
23、，v=e xy ，则 z=f(u，v)， 46.求过点(2，-1，3)与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 s 1 =1，0，-1，n=4，3，0， 由题设知 又因直线过点(2，-1，3)，所以所求直线方程为 47.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：首先画出积分区域 D.把它看作 Y 型.则 48.求函数 z=x 3 +y 3 -3xy 的极值. （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于 z x =3x 2 -3y，z y =3y 2 -3x， 解方程组 得驻点为(0，0)，(1，1)， z xx =6x，z xy =-3，z yy =6y. 对于驻点(0，0)，
24、A=0，B=-3，C=0. B 2 -AC=90，所以(0，0)不是极值点. 对于驻点(1，1)，A=6，B=-3，C=6. B 2 -AC=9-36=-270，又因为 A=60， 所以(1，1)是极小值点，极小值为 49.将函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 所以 50.求微分方程 y“+5y“+4y=3-2x 的通解. （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 r 2 +5r+4=0 解得 r 1 =-1，r 2 =-4， 故对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e -x +C 2 e -4x ， f(x)=3-2x，因为 =0 不是方程的特征根， 所以可设特解为 y * =ax
25、+b， 代入原方程，得 4ax+5a+4b=-2x+3， 比较系数得 即 所以原方程的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼 1000 尾，在时刻 t，鱼数 y 是时间 t 的函数，其变化率与鱼数 y及 1000-y 之积成正比，已知在池塘内养鱼 100 尾，3 个月后，池塘内有鱼 250 尾，求放养 t 月后池塘内鱼数 y(t)的函数. （分数：7.00）_正确答案：()解析：由题意可得 且满足 y(0)=100，y(3)=250，方程化为 即 ，两边积分得 即 ，所以 把条件 y(0)=100，y(3)=250 代入得 故所求函数为 52.过点(1，0)作抛物线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：设切点为(x 0 ，y 0 )， 由于 解得切点为(3，1)， 所以切线方程为 ，即 所以求旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.当 x1 时，证明 （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 构造函数 f(t)=ln(1+t)，则 当 x1 时，显然 f(t)在1，x上连续，在(1，x)内可导. 所以至少存在一个 (1，x)使
