1、贵州省专升本考试高等数学模拟 2 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 flnx的定义域为_（分数：2.00）A.(-，+)B.1，eC.0，1D.(0，e2.函数 f(x)=10 -x cosx 在区间0，+)是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.单调函数D.有界函数3. （分数：2.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，ln(1+x)是 sinx 2 的（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小5.设函数 （分数：2.00）A.连续
2、点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点6.方程 x 4 -x-1=0 在下列区间中至少一实根的是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 f“(a)存在，则 （分数：2.00）A.3f“(a)B.2f“(a)C.f“(a)D.08.设 y=xe x ，则 f (n) (x)=_ A.(n+x)ex B.xex C.nxex D.nex（分数：2.00）A.B.C.D.9. _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.10.若在区间-1，1上有 f“(x)=(x-1) 2 ，则曲线 f(x)在区间-1，1上是_（分数：2.00）A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的
3、C.单调增加且是凸的D.单调减少且是凹的11.设 f(x)为偶函数且可导，则_（分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处取得极值B.f“(x)=0C.(0，f(0)是曲线的拐点D.f“(0)=012.曲线 （分数：2.00）A.有极值点 x=5 但无拐点B.有拐点(5，2)但无极值点C.有极值点 x=5 及拐点(5，2)D.既无极值点，又无拐点13.下列曲线有垂直渐近线的是_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.14.若 f(x)有原函数 e x ，则xf(x)dx=_ A.ex(1-x)+C B.-ex(1-x)+C C.ex(1+x)+C D.-ex(1+x)+C（分数：2.0
4、0）A.B.C.D.15.xf“(x)dx=_（分数：2.00）A.xf“(x)-f(x)+CB.f(x)-xf“(x)+CC.xf“(x)-f(x)dxD.xf“(x)-f“(x)+C16.方程 x 2 +y 2 -z=0 在空间直角坐标系中表示的曲面是_（分数：2.00）A.球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.圆柱面17.已知向量 a，b 的夹角为 ，且|a|=1， ，则|a+b|=_ A15 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.
5、D.20.曲面 z=x 2 +y 2 上切平面与直线 垂直，则切点是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 z=x 3 -3x+y 2 ，则它在点(1，0)处_（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.不取得极值D.不能确定是否取极值22.对于函数 f(x，y)=x 2 +xy，原点(0，0)_（分数：2.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.极大值点D.极小值点23.下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为柱面的是_ Ax 2 +y 2 +z 2 =4 B C （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 D 由 x 2 -2ax+y 2 =0(a0)围成 _
6、 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 f(x，y)为连续函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)为具有连续导数，且 (0)=0，则 等于_ A0 B1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.若正项级数 收敛，则_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.成立的范围是_ （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-3，3)C.-4，2)D.(-4，2)29.若方程 y“+P(x)y=xsinx 有特解 y=-xcosx，则其通解为_（分数：2.00）
7、A.y=CxcosxB.y=C-xcosxC.y=-xcos(Cx)D.y=Cx-xcosx30.微分方程 的通解为_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x 2 +1)=x 4 +4x 2 +3，则 f(x-2)= 1 （分数：2.00）32.已知极限 （分数：2.00）33.设函数 f“(lnx)=2x+1，则 f (2015) (x)= 1 （分数：2.00）34. （分数：2.00）35.若函数 （分数：2.00）36.坐标平面 yOz 上的曲线 z=2y 2 绕 z 轴旋转一周所成的曲面在空间直角坐标系内的方程为 1
8、 （分数：2.00）37.设 z=e -x -(x-2y)tan(xy)，则 （分数：2.00）38.设区域 D 为 x 2 +y 2 9，则 （分数：2.00）39.幂级数 （分数：2.00）40.以 y=C 1 e x +C 2 xe x 为通解的微分方程是 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.设 （分数：5.00）_43.已知曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx 在点(1，2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求曲线方程 （分数：5.00）_44.求不定积分ln(1+x 2 )dx （分数：5.00）_45.求定积
9、分 （分数：5.00）_46.设 z=f(x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：5.00）_47.计算 （分数：5.00）_48.求曲面 e z -z+xy=3 在点(2，1，0)处的切平面及法线方程 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求微分方程 y“-4y“+13y=0 满足初始条件 y| x=0 =0，y“| x=0 =3 的特解 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与生产 y 单位的产品乙的总费用是 400+2x+3y+0.0
10、1(3x 2 +xy+3y 2 ) 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少? （分数：7.00）_52.设两抛物线 y=2x 2 ，y=3-x 2 及 x 轴所围成的平面图形为 D求： (1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.若 f(x)在0，1上连续证明 ，并求 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 2 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 flnx的定义域为_
11、（分数：2.00）A.(-，+)B.1，e C.0，1D.(0，e解析：解析 f(x)的定义域为0，1，对于 f(lnx)来说应满足 0lnx1，即 1xe，故应选 B.2.函数 f(x)=10 -x cosx 在区间0，+)是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.单调函数D.有界函数 解析：解析 因为|f(x)|=10 -x | cosx |10 -x ，当 0x+时 10 -x 1，所以|f(x)|1，即f(x)为有界函数，故应选 D.3. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 4.当 x0 时，ln(1+x)是 sinx 2 的（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷
12、小 C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小解析：解析 因为 5.设函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析 因为 6.方程 x 4 -x-1=0 在下列区间中至少一实根的是_ A B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 利用零点定理去验证，只有选项 C 中区间端点函数值异号，故应选 C.7.已知 f“(a)存在，则 （分数：2.00）A.3f“(a) B.2f“(a)C.f“(a)D.0解析：解析 8.设 y=xe x ，则 f (n) (x)=_ A.(n+x)ex B.xex C.nxex D.nex（分数：2.00）A. B.C
13、.D.解析：解析 因为 y“=(x+1)e x ，y“=(x+2)e x ，y“=(x+3)e x ，y (n) =(x+n)e x .故选 A.9. _ A B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ，所以10.若在区间-1，1上有 f“(x)=(x-1) 2 ，则曲线 f(x)在区间-1，1上是_（分数：2.00）A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调减少且是凹的解析：解析 在(-1，1)上f“(x)0，所以在区间-1，1上 f(x)单调增加，又 f“(x)=2(x-1)0，所以曲线 f(x)是凸的，故应选 C.11.设 f(x)为偶函数
14、且可导，则_（分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处取得极值B.f“(x)=0C.(0，f(0)是曲线的拐点D.f“(0)=0 解析：解析 由 f(-x)=f(x)得-f“(-x)=f“(x)，把 x=0 代入即-f“(0)=f“(0)，所以 f“(0)=0，故应选 D.12.曲线 （分数：2.00）A.有极值点 x=5 但无拐点B.有拐点(5，2)但无极值点 C.有极值点 x=5 及拐点(5，2)D.既无极值点，又无拐点解析：解析 13.下列曲线有垂直渐近线的是_ A B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 垂直渐近线就是找函数无意义的点，只可能是 A 或 B， 而 14
15、.若 f(x)有原函数 e x ，则xf(x)dx=_ A.ex(1-x)+C B.-ex(1-x)+C C.ex(1+x)+C D.-ex(1+x)+C（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)=(e x )“=e x . 所以f(x)dx=xe x dx=xe x -e x dx-xe x -e x +C，故应选 B.15.xf“(x)dx=_（分数：2.00）A.xf“(x)-f(x)+C B.f(x)-xf“(x)+CC.xf“(x)-f(x)dxD.xf“(x)-f“(x)+C解析：解析 xf“(x)dx=xdf“(x)=xf“(x)-f“(x)dx=xf“(x)
16、-f(x)+C.故应选 A.16.方程 x 2 +y 2 -z=0 在空间直角坐标系中表示的曲面是_（分数：2.00）A.球面B.圆锥面C.旋转抛物面 D.圆柱面解析：解析 根据方程的特点是抛物面，又因两个平方项的系数是相等的，从而方程 x 2 +y 2 -z=0 在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面.故应选 C.17.已知向量 a，b 的夹角为 ，且|a|=1， ，则|a+b|=_ A15 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 故应选 B.18.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 19.下列广义积分发散的是_ A
17、B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 所以20.曲面 z=x 2 +y 2 上切平面与直线 垂直，则切点是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 切平面的法向量为 n=2x，2y，-1与直线的方向向量 s=2，-1，1平行，则有 从而得 x=-1， ，代入曲面方程得 ，所以切点坐标为21.设 z=x 3 -3x+y 2 ，则它在点(1，0)处_（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值 C.不取得极值D.不能确定是否取极值解析：解析 ，点(1，0)是函数的驻点，而有 22.对于函数 f(x，y)=x 2 +xy，原点(0，0)_（分数
18、：2.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点 C.极大值点D.极小值点解析：解析 23.下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为柱面的是_ Ax 2 +y 2 +z 2 =4 B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为四个选项中只有 D 是二元方程，而二元方程在空间直角坐标系中表示母线平行于坐标轴的柱面，故应选 D.24.设 D 由 x 2 -2ax+y 2 =0(a0)围成 _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 x 2 -ax+y 2 =0，即(x-a) 2 +y 2 =a 2 化为极坐标方程为 r=2acos， ， 所以 25.设 f(x，y)
19、为连续函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知，积分区域为 ，因此26.设曲线积分 L xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)为具有连续导数，且 (0)=0，则 等于_ A0 B1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为与积分路径无关，所以可取折线为(0，0)(0，1)(1，1)，原式27.若正项级数 收敛，则_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 收敛，且 a n 0. 所以对于足够大的 n 有 ， 由正项级数的比较判别法知 28.成立的范围是_ （分数：2.00）A.(-1
20、，1)B.(-3，3)C.-4，2)D.(-4，2) 解析：解析 因为 的收敛中心为 x=-1，所以 A 与 B 错误，将 x=-4 代入右边级数化为29.若方程 y“+P(x)y=xsinx 有特解 y=-xcosx，则其通解为_（分数：2.00）A.y=CxcosxB.y=C-xcosxC.y=-xcos(Cx)D.y=Cx-xcosx 解析：解析 将 y=-xcosx 代入方程，解得 从而微分方程为 30.微分方程 的通解为_ A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 方程化为 积分得通解为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设函数 f(x 2 +1)=x
21、4 +4x 2 +3，则 f(x-2)= 1 （分数：2.00）解析：x 2 -2x 解析 f(x 2 +1)=x 2 +4x 2 +3=(x 2 +1) 2 +2(x 2 +1)，f(t)=t 2 +2t，再用 tx-2 代入得 f(x-2)=(x-2) 2 +2(x-2)=x 2 -2x.32.已知极限 （分数：2.00）解析：4解析 由题可知当 x1 时分子的极限为 0，即33.设函数 f“(lnx)=2x+1，则 f (2015) (x)= 1 （分数：2.00）解析：2e x 解析 因为 f“(lnx)=2x+1=2e lnx +1，所以 f“(x)=2e x +1，f (2015)
22、 (x)=2e x .34. （分数：2.00）解析：-arctan(cosx)+C解析 35.若函数 （分数：2.00）解析： 解析 两边求导，得 所以 故 36.坐标平面 yOz 上的曲线 z=2y 2 绕 z 轴旋转一周所成的曲面在空间直角坐标系内的方程为 1 （分数：2.00）解析：z=2x 2 +2y 2 解析 绕 z 轴旋转的旋转面方程为 37.设 z=e -x -(x-2y)tan(xy)，则 （分数：2.00）解析：-e -2 解析 z(x，0)=e -x ，z x =-e -x ，所以 38.设区域 D 为 x 2 +y 2 9，则 （分数：2.00）解析：0 解析 根据二重
23、积分的对称性知其值为 0. 或 39.幂级数 （分数：2.00）解析：e 2x (-x+) 解析 因为 ，所以 40.以 y=C 1 e x +C 2 xe x 为通解的微分方程是 1 （分数：2.00）解析：y“-2y“+y=0 解析 由题知，特征方程有二重特根 r=1， 从而特征方程为 r 2 -2r+1=0， 所以微分方程为 y“-2y“+y=0.三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：43.已知曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx 在点(1，2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐
24、点，求曲线方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：y“=3ax 2 +2bx+c，y“=6ax+2b， 因为点(1，2)在曲线上，所以 a+b+c=2， 又因为点(1，2)处有水平切线，所以 y“| x=1 =3a+2b+c=0， 又原点为曲线的拐点，得 y“| x=0 =2b=0， 联立、解得 a=-1，b=0，c=3， 故曲线方程为 y=-x 3 +3x.44.求不定积分ln(1+x 2 )dx （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 由于|sinx|是以 为周期的周期函数， 因此 46.设 z=f(x 2 +y 2 )，其中
25、 f 具有二阶导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 u=x 2 +y 2 ，则 z=f(u)， 47.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示， 则 D=(x，y)|0x1，x-1y1-x， 所以 48.求曲面 e z -z+xy=3 在点(2，1，0)处的切平面及法线方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 F(x，y，z)=e z -z+xy-3，则 n=F x ，F y ，F z =y，x，e z -1，n| (2，1，0) =1，2，0， 曲面在点(2，1，0)处的切平面方程为 1(x-2)+2(y-1)+0(z-0)=0， 即 x+2y-
26、4=0. 所求法线方程为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 2x-1=t，级数化为 这是不缺项的标准幂级数. 收敛半径 当 时，级数化为 都是收敛的. 故幂级数 的收敛域为 所以原级数 的收敛域为 50.求微分方程 y“-4y“+13y=0 满足初始条件 y| x=0 =0，y“| x=0 =3 的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：特征方程为 r 2 -4r+13=0， 解得特征根为 r 1，2 =23i， 故方程的通解为 y=e 2x (C 1 cos3x+C 2 sin3x)， 且有 y“=e 2x (2C 1 +3C 2 )cos3x+(2C 2 -
27、3C 1 )sin3x， 代入初始条件得 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x 单位的产品甲与生产 y 单位的产品乙的总费用是 400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 ) 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：L(x，y)表示总利润，则有 L(x，y)=(10x+9y)-400+2x+3y+0.01(3x 2 +xy+3y 2 ) =8x+6y-0.01(3x 2 +xy+3y 2 )-400，(x0，y0)， 由方程组 52.设两抛物线 y=2x 2 ，y=3-x 2 及 x 轴所围成的平面图形为 D求： (1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示. 取 y 的积分变量区间为0，2. (1)根据对称性，平面图形 D 的面积为 (2)所求体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.若 f(x)在0，1上连续证明 ，并求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 因 f(x)在0，1上连续，从而定积分存在， 设 ，则 ，dx=-dt， 当 x=0 时 ，当 时，t=0. 故 即有 因为 所以
