1、陕西省专升本考试高等数学模拟 3 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.当 x0 时，x 2 是 1-cosx 的_（分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小2.已知函数 y=sinx，则 y (10) =_（分数：5.00）A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx3.设 f(x)=lnx，则 （分数：5.00）A.B.C.D.4.幂级数 （分数：5.00）A.Rx0B.Rx0C.R|x0|D.R|x0|5. 化为先对 y 积分后对 x 积分，则 I=_ A B C D
2、（分数：5.00）A.B.C.D.二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）7.如果 存在，且 ，则 （分数：5.00）8.已知直线 （分数：5.00）9.微分方程 xy“+y“+x=0 的通解为 y= 1 （分数：5.00）10.设 n 是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，则函数 （分数：5.00）三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_12.已知函数 x=x(y)由参数方程 确定，求 （分数：8.00）_13.求函数 y=x 3 -3x 的单调区间、极值点及
3、拐点 （分数：8.00）_14.计算定积分 （分数：8.00）_15.设 ，其中 f(u,v)为可微函数，求 ， （分数：8.00）_16.计算 （分数：8.00）_17.将函数 f(x)=lnx 展开成(x-2)的幂级数，并指出其收敛区间 （分数：8.00）_18.已知 xyz=x+y+z，求 dz （分数：8.00）_19.计算 （分数：8.00）_20.求微分方程 （分数：8.00）_四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.求曲线 y=x 3 -3x 2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体体积 （分数：10.00）_22.证明： （分数：10.00）_
4、陕西省专升本考试高等数学模拟 3 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.当 x0 时，x 2 是 1-cosx 的_（分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解析 因 2.已知函数 y=sinx，则 y (10) =_（分数：5.00）A.sinxB.cosxC.-sinx D.-cosx解析：解析 因 ，故3.设 f(x)=lnx，则 （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：解析 4.幂级数 （分数：5.00）A.Rx0B.Rx0C.R|x0| D.R|x0|解析：解析 因
5、幂级数在 x 0 处收敛，则 x 0 必位于收敛域内部，即有|x 0 |R5. 化为先对 y 积分后对 x 积分，则 I=_ A B C D （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 由 知 r=2acos，r 2 =2arcos，化为直角坐标为 x 2 +y 2 =2ax，此为一圆，又由 ，可画出积分区域图 D，由题意把 D 看作 X 型，于是 二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）解析：解析 7.如果 存在，且 ，则 （分数：5.00）解析：1解析 两边取 x 时的极限，有 ，于是 ，从而8.已知直线 （分数：5.00）解析：1 解析 由
6、题意可知平面的法向量为 n=1，-2，3，直线的方向向量为 s=m，2，1则有 sn=m+3-4=0，m=19.微分方程 xy“+y“+x=0 的通解为 y= 1 （分数：5.00）解析： ，(C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 微分方程可化为：xy“+y“=-x，即(xy“) x =-x， 两边关于 x 积分，有 ， 从而 ， 故两边积分，有 10.设 n 是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，则函数 （分数：5.00）解析： 解析 令 F(x，y，z)=2x 2 +3y 2 +z 2 -6， F“ x | P =4x| P =4，F“
7、y | P =6y| P =6，F“ z | P =2z| P =2， 故 nF“ x ，F“ y ，F“ z =4，6，2， ，方向余弦为 故 三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_正确答案：()解析：12.已知函数 x=x(y)由参数方程 确定，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：由求导公式，得 ，于是，13.求函数 y=x 3 -3x 的单调区间、极值点及拐点 （分数：8.00）_正确答案：()解析：y“=3x 2 -3=3(x-1)(x+1)， 令 y“=0 得到 x=1 或 x=-1， 当 x(-，-1)和(1，+)时，y“0，所以函数
8、在(-，-1)，1，+)上单调增加； 当 x(-1，1)时，y“0，所以函数在-1，1单调减少， 所以 x=1 为极小值点，x=-1 为极大值点； y“=6x，令 y“=0 得到 x=0， 当 x0 时 y“0，当 x0 时 y“0，所以(0，0)是拐点14.计算定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：令 x=-u，dx=-du，x=-2，u=2， ， ，所以 令 ， ，当 u=2 时， ， 当 时 ， ， 所以， 15.设 ，其中 f(u,v)为可微函数，求 ， （分数：8.00）_正确答案：()解析：16.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：积分区域 D 如图所示从被积函
9、数的特点知，该积分应化为“先对 y 积分，后对 x 积分”的二次积分 区域 D 可表示为： 则 17.将函数 f(x)=lnx 展开成(x-2)的幂级数，并指出其收敛区间 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 因为 故 18.已知 xyz=x+y+z，求 dz （分数：8.00）_正确答案：()解析：xyz=x+y+z，则 d(xyz)=d(x+y+z)，由全微分法则，yzdx+xzdy+xydz=dx+dy+dz，整理得：19.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：方法一 将所给积分化为对 x 的定积分来计算由于 不是单值函数，所以要把 L 分为 AO 和OB 两部分在 AO 上
10、， ，x 从 1 变到 0；在 OB 上， ，x 从 0 变到 1因此 方法二 将所给积分化为对 y 的定积分来计算现在 x=y 2 ，y 从-1 变到 1因此 20.求微分方程 （分数：8.00）_正确答案：()解析：该微分方程是一阶线性非齐次微分方程因 P(x)=2x，Q(x)=xe -x2 ，于是其通解为 四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.求曲线 y=x 3 -3x 2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：曲线 y=x 3 -3x 2 与 x 轴围成的平面图形如图所示，于是所求旋转体的体积为： 22.证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，于是， 令 f(x)=0，得驻点：x=0；又 x(-，+)；从而可知，f“(x)在(-，+)内为单调递增函数 因为 f“(0)=0，故 x0 时，f“(x)0，f(x)单调递减；x0 时，f“(x)0，f(x)单调递增；进而知 f(x)在 x=0 处取得最小值，且最小值为 f(0)=0，那么即得，对任意的 x(-，+)，有：f(x)0，即：
