1、陕西省专升本考试高等数学模拟 9 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.函数 （分数：5.00）A.-1，1B.0，1C.(-，1D.-2，12.设 x0 时，无穷小量 1-cosxax b ，则_ Aa=2，b=1 Ba=1，b=2 C D （分数：5.00）A.B.C.D.3.设 f(x)=x 2 ，则 _ Alnlnx B （分数：5.00）A.B.C.D.4.过点(2，-1，3)并且与直线 （分数：5.00）A.3x-4y+3z-19=0B.3x-4y-3z-1=0C.x+z-5=0D.x-z+1=05.设 D 是
2、圆周 x 2 +y 2 =2ax，(a0)与直线 y=x 在第一象限内围成的闭区域，则 _ A B C D （分数：5.00）A.B.C.D.二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.已知函数 （分数：5.00）7.设 y+lny-2xlnx=0 确定函数了 y=y(x)，则 y“= 1 （分数：5.00）8.设 l 的方向角分别为 60，45，60，f(x，y，z)=xy 2 +x 2 y+y 2 z-xyz+3 在点(1，1，2)沿方向l 的方向导数 1 （分数：5.00）9.设 （分数：5.00）10.设 D 为 1x 2 +y 2 4，二重积分 （分数：5.00）三、计
3、算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_12.设函数 y=x x +2 x x x ，求 （分数：8.00）_13.求函数 f(x)=2lnx-x 2 的单调区间和极值 （分数：8.00）_14.计算定积分 （分数：8.00）_15.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +z 2 =2ye z 确定，求 dz （分数：8.00）_16.求函数 （分数：8.00）_17.计算 （分数：8.00）_18.计算曲线积分 （分数：8.00）_19.求微分方程 2x(ye x2 -1)dx+e x2 dy=0 的通解 （分数：8.00）_20.将 f(x)=e x2+2
4、x 展开为(x+1)的幂级数并求其收敛区间 （分数：8.00）_四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.求曲线 y=lnx 在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线 x=2，x=6 以及 y=lnx 所围成的平面图形面积最小 （分数：10.00）_22.设 f“(x)在a，b上连续，证明： (1) ， ，有 |f(x 2 )-f(x 1 )|M 1 |x 2 -x 1 |； (2) ，有 （分数：10.00）_陕西省专升本考试高等数学模拟 9 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.函数 （分数：5.00）
5、A.-1，1B.0，1 C.(-，1D.-2，1解析：解析 要使函数有意义，须2.设 x0 时，无穷小量 1-cosxax b ，则_ Aa=2，b=1 Ba=1，b=2 C D （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 因 x0 时， ，又 1-cosxax b ，故 ，于是比较得： 3.设 f(x)=x 2 ，则 _ Alnlnx B （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 ，又 f(x)=x 2 ，故 4.过点(2，-1，3)并且与直线 （分数：5.00）A.3x-4y+3z-19=0B.3x-4y-3z-1=0C.x+z-5=0 D.x-z+1=0解析：解析 由直线
6、的方程可知，直线的方向向量为 n=1，0，1，n 即为平面的法向量，故所求的平面方程为(x-2)+(z-3)=x+z-5=05.设 D 是圆周 x 2 +y 2 =2ax，(a0)与直线 y=x 在第一象限内围成的闭区域，则 _ A B C D （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 因积分区域 D 如图所示， 区域 D 可表示为： 故 二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.已知函数 （分数：5.00）解析：解析 因 ，故 ，所以 7.设 y+lny-2xlnx=0 确定函数了 y=y(x)，则 y“= 1 （分数：5.00）解析： 解析 因 y+lny-2xlnx
7、=0，令 F(x，y)=y+lny-2xlnx， 则 8.设 l 的方向角分别为 60，45，60，f(x，y，z)=xy 2 +x 2 y+y 2 z-xyz+3 在点(1，1，2)沿方向l 的方向导数 1 （分数：5.00）解析： 解析 l 同向的单位向量为 因为函数可微分，且 f x (1，1，2)=(y 2 +2xy-yz)| (1,1,2) =1， f y (1，1，2)=(2xy+x 2 +2yz-xz)| (1,1,2) =5， f z (1，1，2)=(y 2 -xy)| (1,1,2) =0， 所以 9.设 （分数：5.00）解析：0解析 因 ，于是 ，故10.设 D 为 1
8、x 2 +y 2 4，二重积分 （分数：5.00）解析：解析 积分区域用极坐标可表示为 故三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_正确答案：()解析：12.设函数 y=x x +2 x x x ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因 y=x x (1+2 x )，于是 13.求函数 f(x)=2lnx-x 2 的单调区间和极值 （分数：8.00）_正确答案：()解析：f(x)的定义域为(0，+x)，14.计算定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：15.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +z 2 =2ye z 确定，求 dz （分数
9、：8.00）_正确答案：()解析：设 F(x，y，z)=x 2 +z 2 -2ye z ，等式两边分别对 x，y，z 求导，得 F x =2x，F y =-2e z ，F z =2z-2ye z ，则 故 16.求函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因 17.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：圆 x 2 +y 2 =2Rx 在极坐标系下的方程为 r=2Rcos，区域 D 可表示为 D： ，0r2Rcos，所以， 18.计算曲线积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因为 P=2x-y+4，Q=5y+3x-6， 所以 19.求微分方程 2x(ye x2 -1)dx+e
10、 x2 dy=0 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：方法一 原微分方程可化为： 2xye x2 dx+e x2 dy=2xdx，即 d(ye x2 )=d(x 2 )， 两边积分，得：y=x 2 e -x2 +Ce -x2 方法二 原方程可化为：y“+2xy=2xe -x2 ，此方程为一阶线性非齐次微分方程，于是通解为 20.将 f(x)=e x2+2x 展开为(x+1)的幂级数并求其收敛区间 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因 f(x)=e x2+2x =e (x+1)2 e -1 又 ，x(-，+) 于是 ，x(-，+) 即所求幂级数为 四、应用题与证明题(总题数：2
11、，分数：20.00)21.求曲线 y=lnx 在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线 x=2，x=6 以及 y=lnx 所围成的平面图形面积最小 （分数：10.00）_正确答案：()解析：如图所示，设曲线 y=lnx 在区间(2，6)内一点为 x 0 ，所围面积为 S(x 0 )，过点(x 0 ，lnx 0 )的切线方程为 即 则 故 22.设 f“(x)在a，b上连续，证明： (1) ， ，有 |f(x 2 )-f(x 1 )|M 1 |x 2 -x 1 |； (2) ，有 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 (1)因为 f“(x)在a，b上连续，所以 f“(x)在a，b上连续 故 ，使得|f“(x)|M 1 故 ， 在 x 1 ，x 2 之间，使 |f(x 2 )-f(x 1 )|=|f“()|x 2 -x 1 |M 1 |x 2 -x 1 | (2)因 f“(x)在a，b上连续，所以 ，使|f“(x)|M 2 ，且由 f(x)和 f“(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导， ，不妨设 x 1 x 2 ， ，使得 f(x 2 )-f(x 1 )=f“( 1 )(x 2 -x 1 )， 对 f“(x)，同样 ，使得 f“( 1 )-f“(x 1 )=f“( 2 )( 1 -x 1 )， 故
