1、高等数学(工本)自考题-7 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设向量 =3，2，-1 与 z 轴正向的夹角为 ，则 满足( )（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处偏导数存在，并且取得极小值，则下列说法正确的是( )Af x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Bf x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)0Cf x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Df x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)0（分数：3.00）A.B.C.D.3.设积分区
2、域 D 是由直线 x=y，x=0 和 y=2 所围成，则二重积分 （分数：3.00）A.B.C.D.4.设 L 是圆周 x2+y2=4，则对弧长的曲线积分 （分数：3.00）A.B.C.D.5.设 0u nv n(n=1，2)，且无穷级数 发散，则无穷级数 （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 a=0，-1，3 和 b=1，-2，-1，则-2a+b 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 z=lnxy，则全微分 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 L 是 A(1，0)，B(0，1)之间的直线段，则 （分数：2.00）填空项
3、 1:_9.微分方程 y=x 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点(-1，1，-2)并且与平面 2x-y+z-3=0 和平面 x-y=0 都平行的直线方程（分数：5.00）_12.设函数 ，求 （分数：5.00）_13.求函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2-xyz 在点 P(1，-1，2)处沿方向 L=1，0，1 的方向导数（分数：5.00）_14.设函数 z=ln(x2+y2)-sinxy，求全微分 dz（分数：5.00）_15.求椭圆锥面 z2=x2+y2在点(1，1
4、，1)处的法线方程（分数：5.00）_16.已知积分区域 D 是由 x=-1，y=1，y-x=1 所围成的闭区域，求二重积分 （分数：5.00）_17.计算三重积分 ，其中积分区域 由 ，y=0，z=0 及 （分数：5.00）_18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_19.求对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_20.设函数 f(x)满足 f(x)+2f(x)-3f(x)=2e x，求微分方程的一个特解函数 f(x)（分数：5.00）_21.判定级数 （分数：5.00）_22.求幂级数 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.在 xy 平面上求一点，使它到三
5、直线 x=0，y=0，2x+y-6=0 的距离平方和最小（分数：5.00）_24.求曲 z=xy 包含在圆柱 x2+y2=1 内部分的曲面面积 S（分数：5.00）_25.将函数 f(x)=ln(1+x)展开成(x-1)的幂级数（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-7 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设向量 =3，2，-1 与 z 轴正向的夹角为 ，则 满足( )（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 主要考查的知识点为向量的夹角要点透析 2.设函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处偏导数存在，并且取得极小
6、值，则下列说法正确的是( )Af x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Bf x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)0Cf x(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)0 Df x(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)0（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 主要考查的知识点为极值存在的充分条件3.设积分区域 D 是由直线 x=y，x=0 和 y=2 所围成，则二重积分 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 主要考查的知识点为二重积分的计算要点透析 积分区域 D 如下图所示，则4.设 L 是圆周 x2+y2=4，则对弧长的曲线积分 （分数：3.
7、00）A.B. C.D.解析：解析 主要考查的知识点为弧长的曲线积分要点透析 圆 x2+y2=4 的参数方程为则5.设 0u nv n(n=1，2)，且无穷级数 发散，则无穷级数 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 主要考查的知识点为比较判别法二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.已知向量 a=0，-1，3 和 b=1，-2，-1，则-2a+b 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1，0，-7）解析：解析 主要考查的知识点为向量的加减法要点透析 -2a+b=-20，-1，3+1，-2，-1=0，2，-6+1，-2，-1=1，0，-77.设函数 z=lnxy，则全
8、微分 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 主要考查的知识点为全微分要点透析 函数 z=lnxy，则 ， ，故8.设 L 是 A(1，0)，B(0，1)之间的直线段，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 主要考查的知识点为第一型曲线积分要点透析 AB 间的线段表示为 x+y=19.微分方程 y=x 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 主要考查的知识点为 y=f(x)型微分方程的通解要点透析 y=x，两边同时积分得 +C1，两边再同时积分得10.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正
9、确答案： ）解析：解析 主要考查的知识点为利用幂级数的展开式求无穷级数的和要点透析 由无穷级数的和形式，可联想到(-1x1)，令 x=1 得 ，即所要求的无穷级数的和为 三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点(-1，1，-2)并且与平面 2x-y+z-3=0 和平面 x-y=0 都平行的直线方程（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为平面与直线间的关系要点透析 两平面的法向量分别为 n1=(2，-1，1)，n 2=(1，-1，0)，则所求直线的方向向量，故所求的直线方程为 )解析：12.设函数 ，求 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识
10、点为函数的高阶偏导数要点透析 ，)解析：13.求函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2-xyz 在点 P(1，-1，2)处沿方向 L=1，0，1 的方向导数（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为求函数的方向导数要点透析 ， ，则有)解析：14.设函数 z=ln(x2+y2)-sinxy，求全微分 dz（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为全微分要点透析 ，于是 dz=zxdx+zydy= )解析：15.求椭圆锥面 z2=x2+y2在点(1，1，1)处的法线方程（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为曲面的法线方程要点透析 令
11、F(x，y，z)=x 2+y2-z2，则 Fx=2x，F y=2y，F z=-2z，于是 ， ，故所求法线方程为)解析：16.已知积分区域 D 是由 x=-1，y=1，y-x=1 所围成的闭区域，求二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为二重积分的计算要点透析 积分区域 D，如下图所示，则)解析：17.计算三重积分 ，其中积分区域 由 ，y=0，z=0 及 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为三重积分的计算要点透析 积分区域 如下图所示，故)解析：18.计算对弧长的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为弧长的
12、曲线积分要点透析 直线段 L 的方程为 y=3x，其中 0x1，于是 )解析：19.求对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为用格林公式计算曲线积分要点透析 令 P(x，y)=(x+y) 2，Q(x，y)=-(x 2+y2)，则记 L 所围成的积分区域为 D 如上图所示，故有)解析：20.设函数 f(x)满足 f(x)+2f(x)-3f(x)=2e x，求微分方程的一个特解函数 f(x)（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程要点透析 此方程是二阶常系数非齐次微分方程，其中 f(x)=2ex属于 ex Pm(
13、x)型 =1，m=0)，则该方程所对应的齐次方程的特征方程为 r2+2r-3=0，解特征根为 r1=-3，r 2=1，所以 =1 是对应齐次方程的特征根，且为单根故设其特解为 f(x)*=b0xex则 f(x)* =b0ex+b0xex，f(x)* =b0ex+b0ex+b0xex=2b0ex+b0xex代入微分方程得 ，于是原微分方程的一个特解 )解析：21.判定级数 （分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为级数的敛散性要点透析 令 ，级数 为等比级数，公比 ，故级数 收敛级数 (其中 ，因级数 发散，故级数 发散，故原级数发散 )解析：22.求幂级数 （分数：5.00）
14、_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为幂级数的收敛区间要点透析 因为所以收敛半径 R=27当 x=27 时， ，则故 )解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.在 xy 平面上求一点，使它到三直线 x=0，y=0，2x+y-6=0 的距离平方和最小（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 本题主要考查的知识点为最值问题.要点透析 设所求点为(x，y)，该点到三直线的距离平方和为由得驻点由于 ，则 ，因此 是 z 的极小值点由实际意义知，在点 )解析：24.求曲 z=xy 包含在圆柱 x2+y2=1 内部分的曲面面积 S（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为重积分的应用.要点透析 设所求曲面面积为 S，该曲面在 Oxy 坐标面上的投影 D：x 2+y21)解析：25.将函数 f(x)=ln(1+x)展开成(x-1)的幂级数（分数：5.00）_正确答案：(考点点击 主要考查的知识点为幂级数的展开式.要点透析 对原函数求导对上式等式两边积分)解析：
