1、2015年吉林省长春市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 ) 1.-3 的绝对值是 ( ) A.3 B.-3 C.13D.-13解析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出 .|-3|=-(-3)=3. 答案： A 2.在长春市“暖房子工程”实施过程中，某工程队做了面积为 632000m2的外墙保暖 .632000这个数用科学记数法表示为 ( ) A.63.2 104 B.6.32 105 C.0.632 106 D.0.632 106 解析： 632000=6.32 105. 答案： B 3.计算 (a2)3的结果是 ( ) A.3a2 B.a5
2、C.a6 D.a3 解析： (a2)3=a6. 答案： C 4.图中的两个圆柱体底面半径相同而高度不同，关于这两个圆柱体的视图说法正确的是( ) A.主视图相同 B.俯视图相同 C.左视图相同 D.主视图、俯视图、左视图都相同 解析： A、主视图的宽不同，故 A 错误； B、俯视图是两个相等的圆，故 B 正确； C、主视图的宽不同，故 C 错误； D、俯视图是两个相等的圆，故 D 错误 . 答案： B 5.方程 x2-2x+3=0 的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 解析： a=1， b=-2， c=3， =b2-4ac=
3、(-2)2-4 1 3=-8 0，所以方程没有实数根 . 答案： C 6.如图，在 ABC 中， AB=AC，过点 A 作 AD BC.若 1=70，则 BAC 的大小为 ( ) A.30 B.40 C.50 D.70 解析： AB=AC， B= C， AD BC， 1=70， C= 1=70， B=70， BAC=180 - B- C=180 -70 -70 =40 . 答案： B. 7.如图，四边形 ABCD 内接于 O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则 ADC 的大小为 ( ) A.45 B.50 C.60 D.75 解析： 设 ADC 的度数 =， ABC 的度数 =； 四边形 O
4、ADC 是平行四边形， ADC= AOC； ADC= 12， AOC=；而 + =180， 18012 ，解得： =120， =60， ADC=60 . 答案： C 8.如图，在平面直角坐标系中，点 A(-1， m)在直线 y=2x+3 上，连结 OA，将线段 OA 绕点 O顺时针旋转 90，点 A 的对应点 B 恰好落在直线 y=-x+b 上，则 b 的值为 ( ) A.-2 B.1 C.32D.2 D.75 解析： 把 A(-1， m)代入直线 y=2x+3，可得： m=-2+3=1， 因为线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90，所以点 B 的坐标为 (1， 1)， 把点 B 代入直线 y
5、=-x+b，可得： 1=-1+b， b=2. 答案： D 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 ) 9.比较大小： 2 1.(填“”、“ =”或“” ) 解析 ： ( 2 )2=2， 12=1， 2 1， 2 1. 答案： 10.不等式 3x-12 0 的解集为 . 解析 ： 移项得， 3x 12，解得 x 4， 答案： x 4 11.如图， PA 为 O 的切线， A 为切点， B 是 OP与 O 的交点 .若 P=20， OA=3，则 弧 AB的长为 (结果保留 ) 解析 ： PA 切 O 于 A， PAO=90， P=20， POA=70， 70 3 7180
6、6 ， 答案： 7612.如图，在平面直角坐标系中，点 P 在函数 y=6x(x 0)的图象上 .过点 P 分别作 x 轴、 y轴的垂线，垂足分别为 A、 B，取线段 OB 的中点 C，连结 PC 并延长交 x 轴于点 D.则 APD的面积为 . 解析 ： PB y 轴， PA x 轴， S 矩形 APBO=|k|=6， 在 PBC 与 DOC 中， 90P B C D O CB C O CP C B D C O ， PBC DOC， S APD=S 矩形 APBO=6. 答案： 6 13.如图，点 E在正方形 ABCD的边 CD上 .若 ABE的面积为 8， CE=3，则线段 BE的长为 .
7、 解析 ： 过 E 作 EM AB 于 M， 四边形 ABCD 是正方形， AD=BC=CD=AB， EM=AD， BM=CE， ABE 的面积为 8， 12 AB EM=8，解得： EM=4，即 AD=DC=BC=AB=4， CE=3，由勾股定理得： BE= 2 2 2 243B C C E 5. 答案： 5 14.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2-2x+2 上运动 .过点 A 作 AC x 轴于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为 . 解析 ： y=x2-2x+2=(x-1)2+1，抛物线的顶点坐标为 (1， 1)， 四边形
8、 ABCD 为矩形， BD=AC，而 AC x 轴， AC 的长等于点 A 的纵坐标， 当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1，对角线 BD 的最小值为1. 答案： 1 三、解答题 (本大题共 10 小题，共 78 分 ) 15.先化简，再求值： (x+1)2+x(x-2)，其中 x= 3 . 解析 ： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =x2+2x+1+x2-2x=2x2+1，当 x= 3 时，原式 =6+1=7. 16.一个不透明的盒子中有三张卡片，卡
9、片上面分别标有字母 a， b， c，每张卡片除字母不同外其他都相同，小玲先从盒子中随机抽出一张卡片，记下字母后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片并记下字母，用画树状图 (或列表 )的方法，求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率 . 解析 ： 先画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出两次抽出的卡片上的字母相同的结果数，然后根据概率公式求解 . 答案： 画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的结果数为 3 种， 所有小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率 =3193. 17.为了美化环境，某地政府计划对辖区内 60km2 的土地进行绿化 .为了尽快完成任
10、务 .实际平均每月的绿化面积是原计划的 1.5 倍 .结果提前 2 个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积 . 解析 ： 设原计划平均每月的绿化面积为 xkm2，实际平均每月的绿化面积是 1.5xkm2，根据结果提前 2 个月完成任务列出方程解答即可 . 答案： 设原计划平均每月的绿化面积为 xkm2，实际平均每月的绿化面积是 1.5xkm2， 由题意得 60 60 21.5xx， 解得： x=10， 经检验 x=10 是原方程的解， 答：原计划平均每月的绿化面积为 10km2. 18.如图， CE 是 ABC 外角 ACD 的平分线， AF CD交 CE 于点 F， FG AC 交 CD
11、于点 G.求证：四边形 ACGF 是菱形 . 解析 ： 首先根据平行线的性质得到 2= 3，从而根据角平分线的性质得到 1= 3，得到AF=AC，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形证得结论 . 答案： AF CD， FG AC，四边形 ACGF 是平行四边形， 2= 3， CE 平分 ACD， 1= 2， 1= 3， AC=AF，四边形 ACGF 是菱形 . 19.如图，海面上 B、 C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北方向 .一艘船从 A 岛出发，以 18 海里/时的速度向正北方向航行 2 小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43 .求 A、 B 两岛之间的距离 .(结果精
12、确到 0.1 海里 )【参考数据： sin43 =0.68， cos43 =0.73， tan43=0.93】 解析 ： 根据路程 =速度时间，可得 AC=18 2=36 海里，在 Rt ABC 中，利用正切函数的定义可得 AB=AC tan ACB，将数值代入计算即可求解 . 答案： 由题意得， AC=18 2=36 海里， ACB=43 . 在 Rt ABC 中， A=90， AB=AC tan ACB=36 0.93 33.5 海里 . 故 A、 B 两岛之间的距离约为 33.5 海里 . 20.在“世界家庭日”前夕，某校团委随机抽取了 n 名本校学生，对“世界家庭日”当天所喜欢的家庭活
13、动方式进行问卷调查 .问卷中的家庭活动方式包括： A.在家里聚餐； B.去影院看电影； C.到公园游玩； D.进行其他活动 每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种喜欢的活动方式，该校团委收回全部问卷后，将收集到的数据整理并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)求 n 的值； (2)四种方式中最受学生喜欢的方式为 (用 A、 B、 C、 D 作答 )；选择该种方式的学生人数占被调查的学生人数的百分比为 . (3)根据统计结果，估计该校 1800名学生中喜欢 C方式的学生比喜欢 B方式的学生多的人数 . 解析 ： (1)根据条形图，把 A， B， C， D 的人
14、数加起来，即可解答； (2)C 的学生人数最多，即为四种方式中最受学生喜欢的方式；用 C 的人数总人数，即可得到百分比； (3)分别计算出喜欢 C 方式的学生人数、喜欢 B 方式的学生的人数，作差即可解答 . 答案： (1)n=30+40+70+60=200. (2) C 的学生人数最多，四种方式中最受学生喜欢的方式为 C， 70200 100%=35%， 故答案为： C， 35%. (3)1800 70200-1800 40200=270(人 )， 答：该校 1800 名学生中喜欢 C 方式的学生比喜欢 B 方式的学生多的人数为 270人 . 21.甲、乙两台机器共同加工一批零件，在加工过程
15、中两台机器均改变了一次工作效率 .从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作 6 小时 .甲、乙两台机器各自加工的零件个数 y(个 )与加工时间 x(时 )之间的函数图象分别为折线 OA-AB 与折线 OC-CD.如图所示 . (1)求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数 . (2)求乙机器改变工作效率后 y 与 x 之间的函数关系式 . (3)求这批零件的总个数 . 解析 ： (1)甲改变工作效率前的工作效率为改变前加工的总件数，除以加工的总时间即可； (2)利用待定系数法求一次函数解析式即可； (3)利用函数解析式求出甲、乙两机器 6 小时加工的总件数，求其和即可 . 答案： (1
16、)80 4=20(件 )； (2)图象过 C(2， 80)， D(5， 110)，设解析式为 y=kx+b(k 0)， 2 805 110kbkb，解得： 1060kb， y 乙 =10x+60(2 x 6)； (3) AB 过 (4， 80)， (5， 110)，设 AB 的解析式为 y 甲 =mx+n(m 0)， 4 805 110mnmn，解得： 3040mn， y 甲 =30x-40(4 x 6)， 当 x=6 时， y 甲 =30 6-40=140， y 乙 =10 6+60=120， 这批零件的总个数是 140+120=260. 22.在矩形 ABCD 中，已知 AD AB.在边
17、AD 上取点 E，使 AE=AB，连结 CE，过点 E 作 EF CE，与边 AB 或其延长线交于点 F. 猜想：如图，当点 F 在边 AB 上时，线段 AF 与 DE的大小关系为 . 探究：如图，当点 F 在边 AB 的延长线上时， EF 与边 BC 交于点 G.判断线段 AF与 DE 的大小关系，并加以证明 . 应用：如图，若 AB=2， AD=5，利用探究得到的结论，求线段 BG 的长 . 解析 ： 根据题意证明 AEF DCE 即可； 证明方法与相同可以证明结论； 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算得到答案 . 答案： AF=DE； AF=DE， 证明： A= FEC= D=9
18、0， AEF= DCE， 在 AEF 和 DCE 中，ADA E C DA E F D C E ， AEF DCE， AF=DE. AEF DCE， AE=CD=AB=2， AF=DE=3， FB=FA-AB=1， BG AD， BG FBAE FA， BG=23. 23.如图，在等边 ABC 中， AB=6， AD BC 于点 D.点 P 在边 AB 上运动，过点 P 作 PE BC，与边 AC 交于点 E，连结 ED，以 PE、 ED 为邻边作 PEDF.设 PEDF 与 ABC 重叠部分图形的面积为 y，线段 AP 的长为 x(0 x 6). (1)求线段 PE 的长 .(用含 x 的代
19、数式表示 ) (2)当四边形 PEDF 为菱形时，求 x 的值 . (3)求 y 与 x 之间的函数关系式 . (4)设点 A 关于直线 PE 的对称点为点 A，当线段 A B 的垂直平分线与直线 AD 相交时，设其交点为 Q，当点 P 与点 Q 位于直线 BC 同侧 (不包括点 Q 在直线 BC 上 )时，直接写出 x 的取值范围 . 解析： (1)证明 APE 是等边三角形，即可求解； (2)四边形 PEDF 为菱形时， AE=DE，然后证明 DE=EC 即可得到 E是 AC 的 中点，则 P是 AB 的中点，据此即可求解； (3)当 x=3，即 P 是 AB 的中点时， PE=12BC，
20、则 F 与 B 重合，当 0 x 3 时，重合部分就是平行四边形 PEDF，当 3 x 6 时，重合部分是梯形 PEDB，根据平行四边形和梯形的面积公式即可求解； (4)首先求得当 AB 的中垂线正好经过点 D 时 x 的值，据此即可求解 . 答案： (1) PE BC， APE ABC， 又 ABC 是等边， APE 是等边三角形， PE=AP=x(0 x 6)； (2)四边形 PEDF 为菱形， PE=DE=x， 又 APE 是等边三角形，则 AE=PE， AE=DE， DAC= ADE， 又 ADE+ EDC= DAC+ C=90， EDC= C， DE=EC， DE=EC=AE=12A
21、C=12AB=3.即 x=3. (3)当 x=3，即 P 是 AB 的中点时， PE=12BC，则 F 与 B 重合 . 则当 0 x 3 时，重合部分就是平行四边形 PEDF，如图 1. 等边 ABC 中， AD=AB sin60 =6 32=3 3 ，等边 APE 中， AM=AP sin60 = 32x， 则 DM=3 3 - 32x，则 y=x(3 3 - 32x)，即 y=- 32x2+3 3 x； 当 3 x 6 时，重合部分是梯形 PEDB，如图 2. 则 y=12(PE+BD) DM=12(x+3) (3 3 - 32x)，即 y=- 34x2+534x+932. (4)情形一
22、：当 A在 BC 上方时，如图 3 所示， 当 A B 的中垂线正好经过点 D 时， A D=BD=3， 则 AA =3 3 -3.则 AM=12AA =12(3 3 -3)， x=AP= 12 3 3 332 =3-3 .则 x 的取值范围是： 0 x 3- 3 . 情形二：当 A在 BC 上时， PQ AD，如图 4 所示， AP=A P=BP=12AB=12 6=3. 情形三：当 A在 BC 下方时，如图 5 所示， 当 A B 的中垂线正好经过点 D 时， A D=BD=3， 则 AA =3 3 +3. 则 AM=12AA =12(3 3 +3)， x=AP= 12 3 3 332 =
23、3+3 . 则 x 的取值范围是： 3 x 3+ 3 . 综上所示， x 的取值范围为 0 x 3- 3 或 3 x 3+ 3 . 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a(x-1)2+4 与 x 轴交于点 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且点 B 的坐标为 (3， 0)，点 P 在这条抛物线上，且不与 B、 C 两点重合 .过点 P作 y 轴的垂线与射线 BC 交于点 Q，以 PQ 为边作 Rt PQF，使 PQF=90，点 F 在点 Q 的下方，且QF=1.设线段 PQ 的长度为 d，点 P 的横坐标为 m. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式 . (2)求 d 与 m 之间
24、的函数关系式 . (3)当 Rt PQF 的边 PF 被 y 轴平分时，求 d的值 . (4)以 OB 为边作等腰直角三角形 OBD，当 0 m 3 时，直接写出点 F 落在 OBD 的边上时 m的值 . 解析： (1)把点 B(3， 0)代入抛物线 y=a(x-1)2+4，求出 a 的值即可； (2)先求出直线 BC 的解析式，由点 Q 的纵坐标求出横坐标，求出 PQ，即可得出结果； (3)由题意得出点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，得出方程，解方程即可； (4)分两种情况：当点 F 落在 OBD 的直角边上时，延长 QF交 OB于 G，证出 OFG 是等腰直角三角形，得出 OG=FG，由
25、 FG=QG-QF，得出方程，解方程即可； 当点 F 落在 OBD 的斜边上时，证出 BQF 是等腰直角三角形，得出 BF=QF=1， OF=2，得出方程，解方程即可 . 答案： (1)把点 B(3， 0)代入抛物线 y=a(x-1)2+4，得： 4a+4=0，解得： a=-1， 抛物线的函数表达式为： y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3， 即抛物线解析式为： y=-x2+2x+3. (2)对于抛物线 y=-x2+2x+3， 当 x=0 时， y=3； 当 y=0 时， x=-1，或 x=3， C(0， 3)， A(-1， 0)， B(3， 0)， 设直线 BC 的解析式为： y=kx+
26、b， 根据题意得： 330bkb，解得： 13kb，直线 BC 的解析式为： y=-x+3， 点 P 的坐标为： (m， -m2+2m+3)，点 Q 的纵坐标坐标为： -m2+2m+3， 则 -x+3=-m2+2m+3， x=m2-2m，点 Q 的坐标为 (m2-2m， -m2+2m+3)， 当 -1 m 0 时，如图 1， d=m2-2m-m=m2-3m， 当 0 x 3 时，如图 2， d=m-(m2-2m)=-m2+3m， d 与 m 之间的函数关系式为： 223 1 030 )3()(d m m xm m x ， ；(3)当 Rt PQF 的边 PF 被 y 轴平分时，点 P与点 Q关
27、于 y轴对称， 横坐标互为相反数， m2-2m+m=0，解得： m=1，或 m=0(不合题意，舍去 )， m=1， d=3-1=2； (4)分四种情况： 情形一：如图 4 所示， C 点的坐标为 (0， 3)， 将 y=3 代入函数 y=-x2+2x+3 得 x1=0(舍去 )， x2=2， P点的横坐标 m=2； 情形二：如图 5 所示：过 D2点作 D2G CO 交 QF 与 N 点， B(0， 3) D2(32， 32)， CO=3， QF=1， QF CO，22DN QFD G CO ， D2N=12 ， Q(1， 2)， 将 y=2 代入函数 y=-x2+2x+3 得 x1=1+ 2
28、 ， x2=1- 2 (舍去 )， m=1+ 2 ； 情形三：如图 6 所示：过 D2点作 D2G OB， B(0， 3)， D2(32， 32)， BG=32， QF=1， QF CO，2QF BFD G BG ， BF=1， Q(1， 1)， 将 y=1 代入函数 y=-x2+2x+3 得 x1=1+ 3 ， x2=1- 3 (舍去 )， m=1+ 3 ； 情形四：如图 7 所示： CD2=6， QF=1， BC=3 2 ，且 QF CD2，2BQ QFBC CD ， BQ= 22 ， Q 点纵坐标为 12，即 P 点纵坐标， 将 y=12代入函数 y=-x2+2x+3 得 x1=2 142， x2=2 142(舍去 )， m=2 142. 综上所述：当 0 m 3 时，点 F 落在 OBD 的边上时 m 的值为： 2，或 1+ 2 ，或 1+ 3 ，或 2 142.
