1、 2015 年四川省宜宾市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分，每小题只有一个选项符合题意 ) 1.(3 分 )- 的相反数是 ( ) A. 5 B. C. - D. -5 解 析 ： - 的相反数是 ， 故选 B. 2.(3 分 )如图，立体图形的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从左面看易得图形呈： “ 日 “ 字形 . 故选 A. 3.(3 分 )地球绕太阳每小时转动经过的路程约为 110000 米，将 110000 用科学记数法表示为( ) A. 1110 4 B. 0.1110 7 C. 1.110 6 D. 1.110 5 解 析
2、 ： 110000=1.110 5， 故选： D. 4.(3 分 )今年 4 月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中 8 名选手某项得分如表： 则这 8 名选手得分的众数、中位数分别是 ( ) A. 85、 85 B. 87、 85 C. 85、 86 D. 85、 87 解 析 ：众数是一组数据中出现次数最多的数据， 众数是 85； 把数据按从小到大顺序排列，可得中位数 =(85+87)2=86 ； 故选 C. 5.(3 分 )把代数式 3x3-12x2+12x 分解因式，结果正确的是 ( ) A. 3x(x2-4x+4) B. 3x(x-4)2 C. 3x(x+2)(x-2) D. 3
3、x(x-2)2 解 析 ：原式 =3x(x2-4x+4)=3x(x-2)2， 故选 D. 6.(3 分 )如图， OAB 与 OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1： 2， OCD=90 ，CO=CD.若 B(1， 0)，则点 C 的坐标为 ( ) A. (1， 2) B. (1， 1) C. ( ， ) D. (2， 1) 解 析 ： OAB=OCD=90 ， AO=AB， CO=CD，等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD 是位似图形，点B 的坐标为 (1， 0)， BO=1 ，则 AO=AB= ， A( ， )， 等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD 是位似图形， O 为位
4、似中心，相似比为 1： 2， 点 C 的坐标为： (1， 1). 故选： B. 7.(3 分 )如图，以点 O 为圆心的 20 个同心圆，它们的半径从小到大依次是 1、 2、 3、 4、 、20，阴影部分是由第 1 个圆和第 2 个圆，第 3 个圆和第 4 个圆， ，第 19 个圆和第 20 个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为 ( ) A. 231 B. 210 C. 190 D. 171 解 析 ：由题意可得：阴影部分的面积和为： (2 2-12)+(4 2-32)+(6 2-52)+(20 2-192) =3+7+11+15+39 =5(3+39) =210. 故选： B. 8.(3
5、分 )在平面直角坐标系中，任意两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，规定运算： AB=(x 1+x2， y1+y2)； A B=x1x2+y1y2； 当 x1=x2且 y1=y2时， A=B，有下列四个命题： (1)若 A(1， 2)， B(2， -1)，则 AB=(3 ， 1)， AB=0； (2)若 AB=BC ，则 A=C； (3)若 AB=BC，则 A=C； (4)对任意点 A、 B、 C，均有 (AB)C=A(BC) 成立，其中正确命题的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解 析 ： (1)AB=(1+2 ， 2-1)=(3， 1)， A
6、B=12+2( -1)=0，所以 (1)正确； (2)设 C(x3， y3)， AB=(x 1+x2， y1+y2)， BC=(x 2+x3， y2+y3)， 而 AB=BC ， 所以 x1+x2=x2+x3， y1+y2=y2+y3，则 x1=x3， y1=y3， 所以 A=C，所以 (2)正确； (3)AB=x1x2+y1y2， BC=x2x3+y2y3， 而 AB=BC，则 x1x2+y1y2=x2x3+y2y3， 不能得到 x1=x3， y1=y3，所以 AC ，所以 (3)不正确； (4)因为 (AB)C=(x 1+x2+x3， y1+y2+y3)， A(BC)=(x 1+x2+x3
7、， y1+y2+y3)， 所以 (AB)C=A(BC) ，所以 (4)正确 . 故选 C. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 9.(3 分 )一元一次不等式组 的解集是 _. 解 析 ：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 . 答案 ： ， 由 得： x -2； 由 得： x ， 则不等式组的解集为 x ， 故答案为： x . 10.(3 分 )如图， ABCD ， AD 与 BC 交于点 E.若 B=35 ， D=45 ，则 AEC= _. 解 析 ： ABCD ， B=35 ， C=35 ， D=45 ， AEC=C+D=35+45=80 ，
8、 故答案为： 80. 11.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 x2-x+m=O 没有实数根，则 m的取值范围是 _. 解 析 ：根据方程没有实数根，得到根的判别式小于 0 列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可得到 m 的范围 . 答案 ：根据方程没有实数根，得到 =b 2-4ac=1-4m 0， 解得： m . 故答案为： m . 12.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上的一点， PEAB 于点 E.若 PE=3，则点P 到 AD 的距离为 _. 解 析 ：作 PFAD 于 D，如图， 四边形 ABCD 为菱形， AC 平分 BAD ， PEAB ，
9、 PFAD ， PF=PE=3 ， 即点 P 到 AD 的距离为 3. 故答案为： 3. 13.(3分 )某楼盘 2013年房价为每平方米 8100元，经过两年连续降价后， 2015年房价为 7600元 .设该楼盘这两年房价平均降低率为 x，根据题意可列方程为 _. 解 析 ：该楼盘这两年房价平均降低率为 x，则第一次降价后的单价是原价的 1-x，第二次降价后的单价是原价的 (1-x)2，根据题意列方程解答即可 . 答案 ：设该楼盘这两年房价平均降低率为 x，根据题意列方程得： 8100(1 -x)2=7600， 故答案为： 8100(1 -x)2=7600. 14.(3 分 )如图， AB
10、为 O 的直径，延长 AB 至点 D，使 BD=OB， DC 切 O 于点 C，点 B 是 的中点，弦 CF 交 AB 于点 E.若 O 的半径为 2，则 CF=_. 解 析 ：连接 OC，由 DC 切 O 于点 C，得到 OCD=90 ，由于 BD=OB，得到 OB= OD，根据直角三角形的性质得出 D=30 ， COD=60 ，根据垂径定理即可得到结论 . 答案 ：连接 OC， DC 切 O 于点 C， OCD=90 ， BD=OB ， OB= OD， OC=OB ， OC= OB， D=30 ， COD=60 ， AB 为 O 的直径，点 B 是 的中点， CFOB ， CE=EF， C
11、E=OCsin60=2 = ， CF=2 . 故答案为： 2 15.(3 分 )如图，一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B，将 AOB 沿直线 AB 翻折，得 ACB. 若 C( ， )，则该一次函数的解析式为 _. 解 析 ： 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出 CO， AO 的长，进而得出 A， B 点坐标，再利用待定系数法求出直线 AB 的解析式 . 答案 ： 连接 OC，过点 C 作 CDx 轴于点 D， 将 AOB 沿直线 AB 翻折，得 ACB ， C( ， )， AO=AC ， OD= ， DC= ， BO=BC， 则 tanCOD= = ，故 COD
12、=30 ， BOC=60 ， BOC 是等边三角形，且 CAD=60 ， 则 sin60= ，即 AC= =1， 故 A(1， 0)， sin30= = = ， 则 CO= ，故 BO= ， B 点坐标为： (0， )， 设直线 AB 的解析式为： y=kx+b， 则 ， 解得： ， 即直线 AB 的解析式为： y=- x+ . 故答案为： y=- x+ . 16.(3 分 )如图，在正方形 ABCD 中， BPC 是等边三角形， BP、 CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连结 BD、 DP， BD 与 CF 相交于点 H.给出下列结论： ABEDCF ； = ； DP 2=PHPB
13、； . 其中正确的是 _.(写出所有正确结论的序号 ) 解 析 ： BPC 是等边三角形， BP=PC=BC ， PBC=PCB=BPC=60 ， 在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD ， A=ADC=BCD=90 ABE=DCF=30 ， 在 ABE 与 CDF 中， ， ABEDCF ，故 正确； PC=CD ， PCD=30 ， PDC=75 ， FDP=15 ， DBC=45 ， PBD=15 ， FDP=PBD ， DFP=BPC=60 ， DFPBPH ， = = = ，故 错误； PDH=PCD=30 ， DPH=DPC ， DPHCPD ， = ， PD 2=PHCD ，
14、 PB=CD ， PD 2=PHPB ，故 正确； 如图，过 P 作 PMCD ， PNBC ， 设正方形 ABCD 的边长是 4， BPC 为正三角形， PBC=PCB=60 ， PB=PC=BC=CD=4， PCD=30 PN=PBsin60=4 =2 ， PM=PCsin30=2 ， SBPD =S 四边形 PBCD-SBCD =SPBC +SPDC -SBCD = 42 + 24 - 44=4 +4-8=4 -4， . 故答案为： . 三、解答题 (共 8 小题，满分 72 分 ) 17.(10 分 )(1)计算： (- )0-|-3|+(-1)2015+( )-1 (2)化简： .
15、解 析 ： (1)原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案 ： (1)原式 =1-3-1+2=-1； (2)原式. 18.(6 分 )如图， AC=DC， BC=EC， ACD=BCE. 求证： A=D. 解 析 ： 先证出 ACB=DCE ，再由 SAS 证明 ABCDEC ，得出对应角相等即可 . 答案 ： 证明： ACD=BCE ， ACB=DCE ， 在 ABC 和 DEC 中， ， A
16、BCDEC(SAS) ， A=D. 19.(8 分 )为进一步增强学生体质，据悉，我市从 2016 年起，中考体育测试将进行改革，实行必测项目和选测项目相结合的方式 .必测项目有三项：立定跳远、坐位体前屈、跑步；选测项目：在篮球 (记为 X1)、排球 (记为 X2)、足球 (记为 X3)中任选一项 . (1)每位考生将有 _种选择方案； (2)用画树状图或列表的方法求小颖和小华将选择同种方案的概率 . 解 析 ： (1)根据题意得出每 位考生的选择方案种类即可； (2)根据列表法求出所有可能，进而得出概率即可 . 答案 ： (1)根据题意得出： 每位考生有 3 种选择方案； 故答案为： 3；
17、(2)用 A、 B、 C、 D、 E、 F 代表六种选择方案，列表法是： 则：小颖与小华选择同种方案的概率为 P= = . 20.(8 分 )列方程或方程组解应用题： 近年来，我国逐步完善养老金保险制度 .甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15 万元和 10 万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金 0.2 万元 .求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？ 解 析 ： 设乙每年缴纳养老保险金为 x 万元，则甲每年缴纳养老保险金为 (x+0.2)万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金 15 万元和 10 万元列出方程，求出方程的解即可得到结果 . 答案 ： 设乙每年
18、缴纳养老保险金为 x 万元，则甲每年缴纳养老保险金为 (x+0.2)万元， 根据题意得： ， 去分母得： 15x=10x+2， 解得： x=0.4， 经检验 x=0.4 是分式方程的解，且符合题意， x+0.2=0.4+0.2=0.6( 万元 )， 答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金 0.6 万元、 0.4 万元 . 21.(8 分 )如 图，某市对位于笔直公路 AC 上两个小区 A、 B 的供水路线进行优化改造 .供水站M 在笔直公路 AD 上，测得供水站 M 在小区 A 的南偏东 60 方向，在小区 B的西南方向，小区 A、 B 之间的距离为 300( +l)米，求供水站 M 分别到
19、小区 A、 B 的距离 .(结果可保留根号 ) 解 析 ： 根据题意，在 ABM 中， BAM=30 ， ABM=45 ， AB=300( +l)米 .过点 M 作 MNAB于 N，设 MN=x 米，用含 x 的代数式分别表示 AN， BN，根据 AN+BN=AB 建立方程，解方程求出 x 的值，进而求出 MA 与 MB 的长 . 答案 ： 过点 M 作 MN AB 于 N，设 MN=x 米 . 在 RtAMN 中， ANM=90 ， MAN=30 ， MA=2MN=2x ， AN= MN= x. 在 RtAMN 中， BNM=90 ， MBN=45 ， BN=MN=x ， MB= MN= x
20、. AN+BN=AB ， x+x=300( +l)， x=300 ， MA=2x=600 ， MB= x=300 . 故供水站 M 到小区 A 的距离是 600 米，到小区 B的距离是 300 米 . 22.(10 分 )如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是矩形， ADx 轴， A(-3， )， AB=1，AD=2. (1)直接写出 B、 C、 D 三点的坐标； (2)将矩形 ABCD 向右平移 m 个单位，使点 A、 C 恰好同时落在反比例函数 y= (x 0)的图象上，得矩形 ABCD. 求矩形 ABCD 的平移距离 m 和反比例函数的解析式 . 解 析 ： (1)由四边形 AB
21、CD 是矩形，得到 AB=CD=1， BC=AD=2，根据 A(-3， )， ADx 轴，即可得到 B(-3， )， C(-1， )， D(-1， )； (2)根据平移的性质将矩形 ABCD 向右平移 m 个单位，得到 A( -3+m， )， C(-1+m， )，由点 A ， C 在反比例函数 y= (x 0)的图象上，得到方程 (-3+m)= (-1+m)，即可求得结果 . 答案 ： (1) 四边形 ABCD 是矩形， AB=CD=1 ， BC=AD=2， A( -3， )， ADx 轴， B( -3， )， C(-1， )， D(-1， )； (2) 将矩形 ABCD 向右平移 m 个单位
22、， A( -3+m， )， C(-1+m， )， 点 A ， C 在反比例函数 y= (x 0)的图象上， (-3+m)= (-1+m)， 解得： m=4， A(1 ， )， k= ， 矩形 ABCD 的平移距离 m=4， 反比例函数的解析式为： y= . 23.(10 分 )如图， CE 是 O 的直径， BD 切 O 于点 D， DEBO ， CE 的延长线交 BD 于点 A. (1)求证：直线 BC 是 O 的切线； (2)若 AE=2， tanDEO= ，求 AO 的长 . 解 析 ： (1)连接 OD，由 DEBO ，得到 1=4 ， 2=3 ，通过 DOBCOB ，得到 OCB=O
23、DB ，问题得证； (2)根据三角函数 tanDEO=tan2= ，设； OC=r， BC= r，得到 BD=BC= r，由切割线定理得到 AD=2 ，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果 . 答案 ： (1)连接 OD， DEBO ， 1=4 ， 2=3 ， OD=OE ， 3=4 ， 1=2 ， 在 DOB 与 COB 中， ， DOBCOB ， OCB=ODB ， BD 切 O 于点 D， ODB=90 ， OCB=90 ， ACBC ， 直线 BC 是 O 的切线； (2)DEO=2 ， tanDEO=tan2= ， 设； OC=r， BC= r， 由 (1)证得 DOBCO
24、B ， BD=BC= r， 由切割 线定理得： AD2=AEAC=2(2+r) ， AD=2 ， DEBO ， ， ， r=1 ， AO=3. 24.(12 分 )如图，抛物线 y=- x2+bx+c 与 x 轴分别相交于点 A(-2， 0)， B(4， 0)，与 y 轴交于点 C，顶点为点 P. (1)求抛物线的解析式； (2)动点 M、 N 从点 O 同时出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别在线段 OB、 OC 上向点 B、C 方向运动，过点 M 作 x 轴的垂线交 BC 于点 F，交抛物线于点 H. 当四边形 OMHN 为矩形时，求点 H 的坐标； 是否存在这样的点 F，使 PFB
25、为直角三角形？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)把 A(-2， 0)， B(4， 0)，代入抛物线 y=- x2+bx+c，求出 b、 c 即可； (2) 表示出 ON、 MH，运用 ON=MH，列方程求解即可； 存在，先求出 BC 的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于 -1，直线经过点 P，待定系数法求出直线 PF 的解析式，求直线 BC 与直线 PF 的交点坐标即可 . 答案 ： (1)把 A(-2， 0)， B(4， 0)，代入抛物线 y=- x2+bx+c 得： 解得： b=1， c=4， y= - x2+x+4； (2)点 C 的坐标为
26、(0， 4)， B(4， 0) 直线 BC 的解析式为 y=-x+4， 根据题意， ON=OM=t， MH=- t2+t+4 ONMH 当 ON=MH 时，四边形 OMHN 为矩形， 即 t=- t2+t+4 解得： t=2 或 t=-2 (不合题意舍去 ) 把 t=2 代入 y=- t2+t+4 得： y=2 H(2 ， 2 )； 存在， 当 PFBC 时， 直线 BC 的解析式为 y=-x+4， 设 PF 的解析式为 y=x+b，又点 P(1， )代入求得 b= ， 根据题意列方程组： 解得： F( ， ) 当 PFBP 时， 点 P(1， )， B(4， 0)， 直线 BP 的解析式为： y=- x+6， 设 PF 的解析式为 y= x+b，又点 P(1， )代入求得 b= ， 根据题意列方程组： 解得： F( ， )， 综上所述： PFB 为直角三角形时，点 F 的坐标为 ( ， )或 ( ， ).
