1、 2015 年四川省绵阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题只有一个选项最符合题目要求 ) 1.(3 分 )2 是 4 的 ( ) A. 平方根 B. 相反数 C. 绝对值 D. 算术平方根 解 析 ： 2 是 4 的平方根 . 故选： A. 2.(3 分 )下列图案中，轴对称图形是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选； D. 3.(3 分 )若 +|2a-b+1|=0 ，则 (b-a)2
2、015=( ) A. -1 B. 1 C. 52015 D. -52015 解 析 ： +|2a-b+1|=0， ， 解得： ， 则 (b-a)2015=(-3+2)2015=-1. 故选： A. 4.(3 分 )福布斯 2015 年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健林以 242 亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为 ( ) A. 0.24210 10美元 B. 0.24210 11美元 C. 2.4210 10美元 D. 2.4210 11美元 解 析 ：将 242 亿用科学记数法表示为： 2.4210 10. 故选： C. 5.(3 分 )如图，在
3、 ABC 中， B 、 C 的平分线 BE， CD 相交于点 F， ABC=42 ， A=60 ，则 BFC=( ) A. 118 B. 119 C. 120 D. 121 解 析 ： A=60 ， ABC+ACB=120 ， BE ， CD 是 B 、 C 的平分线， CBE= ABC ， BCD= ， CBE+BCD= (ABC+BCA)=60 ， BFC=180 -60=120 ， 故选： C. 6.(3 分 )要使代数式 有意义，则 x 的 ( ) A. 最大值是 B. 最小值是 C. 最大值是 D. 最小值是 解 析 ： 代数式 有意义， 2 -3x0 ，解得 x . 故选： A.
4、7.(3 分 )如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 E， CBD=90 ， BC=4， BE=ED=3，AC=10，则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A. 6 B. 12 C. 20 D. 24 解 析 ：在 RtBCE 中，由勾股定理，得 CE= =5. BE=DE=3 ， AE=CE=5， 四边形 ABCD 是平行四边形 . 四边形 ABCD 的面积为 BCBD=4(3+3)=24 ， 故选： D. 8.(3 分 )由若干个边长为 1cm 的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是 ( ) A. 15cm2 B. 18cm2 C. 21c
5、m2 D. 24cm2 解 析 ： 综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 2+1=3 个小正方体，第二层应该有 1 个小正方体， 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 3+1=4 个 . 所以表面积为 36=18cm 2. 故选： B. 9.(3 分 )要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了 50 条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出 100 条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼 .假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为 ( ) A. 5000 条 B. 2500 条 C. 1750 条 D. 1250 条 解 析 ： 由题意可得
6、： 50 =2500(条 ). 故选： B. 10.(3 分 )如图，要在宽为 22 米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线 DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 BC 高度应该设计为 ( ) A. (11-2 )米 B. (11 -2 )米 C. (11-2 )米 D. (11 -4)米 解 析 ： 如图，延长 OD， BC 交于点 P. ODC=B=90 ， P=30 ， OB=11 米， CD=2 米， 在直角 CPD 中， DP=DCcot30=2
7、 m， PC=CD(sin30)=4 米， P=P ， PDC=B=90 ， PDCPBO ， = ， PB= =11 米， BC=PB -PC=(11 -4)米 . 故选： D. 11.(3 分 )将一些相同的 “” 按如图所示的规律依次摆放，观察每个 “ 龟图 ” 中的 “”的个数，若第 n 个 “ 龟图 ” 中有 245 个 “” ，则 n=( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 解 析 ： 第一个图形有： 5 个 ， 第二个图形有： 21+5=7 个 ， 第三个图形有： 32+5=11 个 ， 第四个图形有： 43+5=17 个 ， 由此可得第 n 个图形有： n(n-
8、1)+5个 ， 则可得方程： n(n-1)+5=245 解得： n1=16， n2=-15(舍去 ). 故选： C. 12.(3 分 )如图， D 是等边 ABC 边 AB 上的一点，且 AD： DB=1： 2，现将 ABC 折叠，使点 C与 D 重合，折痕为 EF，点 E， F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE： CF=( ) A. B. C. D. 解 析 ： 设 AD=k，则 DB=2k； ABC 为等边三角形， AB=AC=3k ， A=60 ； 设 CE=x，则 AE=3k-x； 由题意知： EFCD ，且 EF 平分 CD， CE=DE=x ； 由余弦定理得： DE2=AE2+
9、AD2-2AEADcos60 即 x2=(3k-x)2+k2-2k(3k-x)cos60 ， 整理得： x= ， 同理可求： CF= ， CE ： CF=4： 5. 故选： B. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.(3 分 )计算： a(a2a) -a2=_. 解 析 ： a(a2a) -a2=a2-a2=0. 故答案为： 0. 14.(3 分 )如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为 A(-2，1)和 B(-2， -3)，那么第一架轰炸机 C 的平面坐标是 _. 解 析 ： 因为 A(-2， 1)和 B(-2， -3)， 所以可
10、得点 C 的坐标为 (2， -1)， 故答案为： (2， -1). 15.(3 分 )在实数范围内因式分解： x2y-3y=_. 解 析 ： 原式提取 y，再利用平方差公式分解即可 . 答案 ： 原式 =y(x2-3)=y(x- )(x+ ). 16.(3 分 )如图， ABCD ， CDE=119 ， GF 交 DEB 的平分 线 EF 于点 F， AGF=130 ，则F= _. 解 析 ： ABCD ， CDE=119 ， AED=180 -119=61 ， DEB=119. GF 交 DEB 的平分线 EF 于点 F， GEF= 119=59.5 ， GEF=61+59.5=120.5.
11、 AGF=130 ， F=AGF -GEF=130 -120.5=9.5. 故答案为： 9.5. 17.(3 分 )关于 m 的一元二次方程 nm2-n2m-2=0 的一个根为 2，则 n2+n-2=_. 解 析 ： 把 m=2 代入 nm2-n2m-2=0 得 4 n-2n2-2=0， 所以 n+ =2 ， 所以原式 =(n+ )2-2 =(2 )2-2 =26. 故答案为： 26. 18.(3 分 )如图，在等边 ABC 内有一点 D， AD=5， BD=6， CD=4，将 ABD 绕 A 点逆时针旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 旋转至点 E，则 CDE 的正切值为 _. 解 析
12、： 先根据等边三角形的性质得 AB=AC， BAC=60 ，再根据旋转的性质得 AD=AE=5，DAE=BNAC=60 ， CE=BD=6，于是可判断 ADE 为等边三角形，得到 DE=AD=5；过 E 点作EHCD 于 H，如图，设 DH=x，则 CH=4-x，利用勾股定理得到 52-x2=62-(4-x)2，解得 x= ，再计算出 EH，然后根据正切的定义求解 . 答案 ： ABC 为等边三角形， AB=AC ， BAC=60 ， ABD 绕 A 点逆时针旋转得 ACE ， AD=AE=5 ， DAE=BNAC=60 ， CE=BD=6， ADE 为等边三角形， DE=AD=5 ， 过 E
13、 点作 EHCD 于 H，如图，设 DH=x，则 CH=4-x， 在 RtDHE 中， EH2=52-x2， 在 RtDHE 中， EH2=62-(4-x)2， 5 2-x2=62-(4-x)2，解得 x= ， EH= ， 在 RtEDH 中， tanHDE= ， 即 CDE 的正切值为 3 . 三、解答题 (本大题共 7 小题，共 86 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19.(16 分 )(1)计算： |1- |+(- )-2- ； (2)解方程： . 解 析 ： (1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最
14、后一项利用立方根定义计算即可得到结果； (2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案 ： (1)原式 = -1+4- -2=1； (2)去分母得： 3=2x+2-2， 解得： x= ， 经检验 x= 是分式方程的解 . 20.(11 分 )阳泉同学参加周末社会实践活动，到 “ 富乐花乡 ” 蔬菜大棚中收集到 20 株西红柿秧上小西红柿的个数： 32 39 45 55 60 54 60 28 56 41 51 36 44 46 40 53 37 47 45 46 (1)前 10 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 _，中位数是 _，众数
15、是 _； (2)若对这 20 个数按组距为 8 进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图 (3)通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势 . 解 析 ： (1)根据平均数的计算公式进行计算求出平均数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案； (2)根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计图； (3)根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可 . 答案 ： (1)前 10 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是(32+39+45+55+60+54+60+28+56+41)10=47 ； 把这些数据从小到大排列： 28、 32、 39、 41、 45、 54、 55、 56、 60、
16、60， 最中间的数是 (45+54)2=49.5 ， 则中位数是 49.5； 60 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 60； 故答案为： 47， 49.5， 60； (2)根据题意填表如下： 补图如下： 故答案为： 5， 7， 4； (3)此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有 28 个； 西红柿个数最集中的株数在第三组，共 7 株； 西红柿的个数分布合理，中间多，两端少 . 21.(11 分 )如图，反比例函数 y= (k 0)与正比例函数 y=ax 相交于 A(1， k)， B(-k， -1)两点 . (1)求反比例函数和正比例函数的解析式； (2)将正比例函数 y=ax 的图象平移
17、，得到一次函数 y=ax+b 的图象，与函数 y= (k 0)的图象交于 C(x1， y1)， D(x2， y2)，且 |x1-x2|y 1-y2|=5，求 b的值 . 解 析 ： (1)首先根据点 A 与点 B 关于原点对称，可以求出 k 的值，将点 A分别代入反比例函数与正比例函数的解析式，即可得解 . (2)分别把点 (x1， y1)、 (x2， y2)代入一次函数 y=x+b，再把两式相减，根据 |x1-x2|y 1-y2|=5得出 |x1-x2|=|y1-y2|= ，然后通过联立方程求得 x1、 x2的值，代入即可求得 b 的值 . 答案 ： (1)据题意得：点 A(1， k)与点
18、B(-k， -1)关于原点对称， k=1 ， A(1 ， 1)， B(-1， -1)， 反比例函数和正比例函数的解析式分别为 y= ， y=x； (2) 一次函数 y=x+b 的图象过点 (x1， y1)、 (x2， y2)， ， - 得， y2-y1=x2-x1， |x 1-x2|y 1-y2|=5， |x 1-x2|=|y1-y2|= ， 由 得 x2+bx-1=0， 解得， x1= ， x2= ， |x 1-x2|= ， 解得 b=1. 22.(11 分 )如图， O 是 ABC 的内心， BO 的延长线和 ABC 的外接圆相交于点 D，连接 DC，DA， OA， OC，四边形 OADC
19、 为平行四边形 . (1)求证： BOCCDA ； (2)若 AB=2，求阴影部分的面积 . 解 析 ： (1)由于 O 是 ABC 的内心，也是 ABC 的外心，则可判断 ABC 为等边三角形，所以AOB=BOC=AOC=120 ， BC=AC，再根据平行四边形的性质得 ADC=AOC=120 ， AD=OC，CD=OA=OB，则根据 “SAS” 证明 BOCCDA ； (2)作 OHAB 于 H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 BOH=30 ，根据垂径定理得到 BH=AH= AB=1，再利用含 30度的直角三角形三边的关系得到 BH=AH= AB=1，OH= BH= ，
20、OB=2OH= ，然后根据三角形面积公 式和扇形面积公式，利用 S 阴影部分 =S 扇形 AOB-SAOB 进行计算即可 . 答案 ： (1)证明： O 是 ABC 的内心，也是 ABC 的外心， ABC 为等边三角形， AOB=BOC=AOC=120 ， BC=AC， 四边形 OADC 为平行四边形， ADC=AOC=120 ， AD=OC， CD=OA， AD=OB ， 在 BOC 和 CDA 中 ， BOCCDA ； (2)作 OHAB 于 H，如图， AOB=120 ， OA=OB， BOH= (180 -120)=30 ， OHAB ， BH=AH= AB=1， OH= BH= ，
21、OB=2OH= ， S 阴影部分 =S 扇形 AOB-SAOB = = 23.(11 分 )南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的 A， B 两种矿石， A 矿石大约565 吨， B 矿石大约 500 吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共 30 艘，甲货船每艘运费 1000 元，乙货船每艘运费 1200 元 . (1)设运送这些矿石的总费用为 y 元，若使用甲货船 x 艘，请写出 y和 x 之间的函数关系式； (2)如果甲货船最多可装 A 矿石 20 吨和 B 矿石 15 吨，乙货船最多可装 A 矿石 15 吨和 B 矿石25 吨，装矿石时按此要求
22、安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费 . 解 析 ： (1)根据这些矿石的总费用为 y=甲货船运费 +乙货船运费，即可解答； (2)根据 A 矿石大约 565 吨， B 矿石大约 500 吨，列出不等式组，确定 x 的取值范围，根据 x为整数，确定 x 的取值，即可解答 . 答案 ： (1)根据题意得： y=1000x+1200(30-x)=36000-200x. (2)设安排甲货船 x 艘，则安排乙货船 30-x 艘， 根据题意得： ， 化简得： ， 23x25 ， x 为整数， x=23 ， 24， 25， 方案一：甲货船 23 艘，则安排乙货船 7 艘
23、， 运费 y=36000-20023=31400 元； 方案二：甲货船 24 艘，则安排乙货船 6 艘， 运费 y=36000-20024=31200 元； 方案三：甲货船 25 艘，则安排乙货船 5 艘， 运费 y=36000-20025=31000 元； 经分析得方案三运费最低，为 31000 元 . 24.(12 分 )已知抛物线 y=-x2-2x+a(a0) 与 y 轴相交于 A 点，顶点为 M，直线 y= x-a分别与 x 轴、 y 轴相交于 B， C 两点，并且与直线 MA 相交于 N 点 . (1)若直线 BC 和抛物线有两个不同交点，求 a 的取值范围，并用 a 表示交点 M，
24、 A的坐标； (2)将 NAC 沿着 y 轴翻转，若点 N 的对称点 P 恰好落在抛物线上， AP与抛物线的对称轴相交于点 D，连接 CD，求 a 的值及 PCD 的面积； (3)在抛物线 y=-x2-2x+a(a 0)上是否存在点 P，使得以 P， A， C， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)先联立抛物线与直线的解析式得出关于 x 的方程，再由直线 BC 和抛物线有两个不同交点可知 0，求出 a 的取值范围，令 x=0 求出 y 的值即可得出 A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出 M 点的坐标； (2)利用
25、待定系数法求出直线 MA 的解析式，联立两直线的解析式可得出 N 点坐标，进而可得出 P 点坐标，根据 SPCD =SPAC -SADC 可得出结论； (3)分点 P 在 y 轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可 . 答案 ： (1)由题意得， ，整理得 2x2+5x-4a=0. =25+32a 0，解得 a - . a0 ， a - 且 a0. 令 x=0，得 y=a， A(0 ， a). 由 y=-(x+1)2+1+a 得， M(-1， 1+a). (2)设直线 MA 的解析式为 y=kx+b(k0) ， A(0 ， a)， M(-1， 1+a)， ，解得 ， 直线 MA 的解析式为 y=-x
26、+a， 联立得， ，解得 ， N( ， - ). 点 P 是点 N 关于 y 轴的对称点， P( - ， - ). 代入 y=-x2-2x+a 得， - =- a2+ a+a，解得 a= 或 a=0(舍去 ). A(0 ， )， C(0， - )， M(-1， )， |AC|= ， S P CD=SPAC -SADC = |AC|x p|- |AC|x 0| = (3 -1) = (3) 当点 P 在 y 轴左侧时， 四边形 APCN 是平行四边形， AC 与 PN 互相平分， N( ， - )， P( - ， )； 代入 y=-x2-2x+a 得， =- a2+ a+a，解得 a= ， P(
27、 - ， ). 当点 P 在 y 轴右侧时， 四边形 ACPN 是平行四边形， NPAC 且 NP=AC， N( ， - )， A(0， a)， C(0， -a)， P( ， - ). 代入 y=-x2-2x+a 得， - =- a2- a+a，解得 a= ， P( ， - ). 综上所述，当点 P(- ， )和 ( ， - )时， A、 C、 P、 N 能构成平行四边形 . 25.(14 分 )如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， G 是 AD 延长线时的一点，且 DG=AD，动点 M从 A点出发，以每秒 1个单位的速度沿着 ACG 的路线向 G点匀速运动 (M不与 A， G重合 )
28、，设运动时间为 t 秒，连接 BM 并延长 AG 于 N. (1)是否存在点 M，使 ABM 为等腰三角形？若存在，分析点 M 的位置；若不存在，请说明理由； (2)当点 N 在 AD 边上时，若 BNHN ， NH 交 CDG 的平分线于 H，求证： BN=HN； (3)过点 M 分别作 AB， AD 的垂线，垂足分别为 E， F，矩形 AEMF 与 ACG 重叠部分的面积为S，求 S 的最大值 . 解 析 ： (1)四种情况：当点 M 为 AC 的中点时， AM=BM；当点 M 与点 C 重合时， AB=BM；当点 M在 AC 上，且 AM=2 时， AM=AB；当点 M 为 CG的中点时
29、， AM=BM； ABM 为等腰三角形； (2)在 AB 上截取 AK=AN，连接 KN；由正方形的性质得出 ADC=90 ， AB=AD， CDG=90 ，得出 BK=DN，先 证出 BKN=NDH ，再证出 ABN=DNH ，由 ASA 证明 BNKNHD ，得出 BN=NH即可； (3) 当 M 在 AC 上时，即 0 t2 时， AMF 为等腰直角三角形，得出 AF=FM= t，求出 S= AFFM= t2；当 t=2 时，即可求出 S 的最大值； 当 M 在 CG 上时，即 2 t 4 时，先证明 ACDGCD ，得出 ACD=GCD=45 ，求出 ACM=90 ，证出 MFG 为等
30、腰直角三角形，得出 FG=MGcos45=4 - t，得出S=SACG -SCMJ -SFMG ， S 为 t 的二次函数，即可求出结果 . 答案 ： (1)解：存在；当点 M 为 AC 的中点时， AM=BM，则 ABM 为等腰三角形； 当点 M 与点 C 重合时， AB=BM，则 ABM 为等腰三角形； 当点 M 在 AC 上，且 AM=2 时， AM=AB，则 ABM 为等腰三角形； 当点 M 为 CG 的中点时， AM=BM，则 ABM 为等腰三角形； (2)证明：在 AB 上截取 AK=AN，连接 KN；如图 1 所示： 四边形 ABCD 是正方形， ADC=90 ， AB=AD，
31、CDG=90 ， BK=AB -AK， ND=AD-AN， BK=DN ， D H 平分 CDG ， CDH=45 ， NDH=90+45=135 ， BKN=180 -AKN=135 ， BKN=NDH ， 在 RtABN 中， ABN+ANB=90 ， 又 BNNH ， 即 BNH=90 ， ANB+DNH=180 -BNH=90 ， ABN=DNH ， 在 BNK 和 NHD 中， ， BNKNHD(ASA) ， BN=NH ； (3)解： 当 M 在 AC 上时，即 0 t2 时， AMF 为等腰直角三角形， AM=t ， AF=FM= t， S= AFFM= t t= t2； 当 t=2 时， S 的最大值 = (2 )2=2； 当 M 在 CG 上时，即 2 t 4 时，如图 2 所示： CM=t-AC=t-2 ， MG=4 -t， 在 ACD 和 GCD 中， ， ACDGCD(SAS) ， ACD=GCD=45 ， ACM=ACD+GCD=90 ， G=90 -GCD=45 ， MFG 为等腰直角三角形， FG=MGcos45=(4 -t) =4- t， S=S ACG -SCMJ -SFMG = 42 - CMCM - FGFG =4- (t-2 )2- (4- )2=- +4 t-8 =- (t- )2+ ， 当 t= 时， S 的最大值为 .
