1、 2015 年山东省潍坊市中考 真题 数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对的 3 分，选错、不选或选出的答案超出一个均记 0分 .) 1.(3 分 )在 |-2|， 20， 2-1， 2 这四个数中，最大的数是 ( ) A. |-2| B. 20 C. 2-1 D. 2 解 析 ： |-2|=2， 20=1， 2-1=0.5， 0.5 1 2 2 ， 10 22 2 2 ， 在 |-2|， 20， 2-1， 2 这四个数中，最大的数是 |-2|. 答案 ： A. 2.(3 分 )如图所示几何体的左视图是 ( )
2、 A. B. C. D. 解 析 ： 从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线 . 答案 ： C. 3.(3 分 )2015 年 5 月 17 日是第 25 个全国助残日，今年全国助残日的主题是 “ 关注孤独症儿童，走向美好未来 ”. 第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国 0 6 岁精神残疾儿童约为11.1 万人 .11.1 万用科学记数法表示为 ( ) A. 1.1110 4 B. 11.110 4 C. 1.1110 5 D. 1.1110 6 解 析 ： 将 11.1 万用科学记数法表示为 1.1110 5. 答案 ： C. 4.(3 分 )如图汽车标志中不是中心对称图形的是 ( ) A.
3、 B. C. D. 解 析 ： A、是中心对称图形 .故错误； B、不是中心对称图形 .故正确； C、是中心对称图形 .故错误； D、是中心对称图形 .故错误 . 答案 ： B. 5.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 2 3 5 B. 3x2y-x2y=3 C. 22abab=a+b D. (a2b)3=a6b3 解 析 ： 2 3 5， 选项 A 不正确； 3x 2y-x2y=2x2y， 选项 B 不正确； 222 abab aba b a b ， 选项 C 不正确； (a 2b)3=a6b3， 选项 D 正确 . 答案 ： D. 6.(3 分 )不等式组3 9 02 1xx 的所
4、有整数解的和是 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解 析 ：3 9 02 1xx 解不等式 得； x -12， 解不等式 得； x3 ， 不等式组的解集为 -12 x3 ， 不等式组的整数解为 0， 1， 2， 3， 0+1+2+3=6. 答案 ： D. 7.(3 分 )如图， AB 是 O 的弦， AO 的延长线交过点 B 的 O 的切线于点 C，如果 ABO=20 ，则 C 的度数是 ( ) A. 70 B. 50 C. 45 D. 20 解 析 ： BC 是 O 的切线， OB 是 O 的半径， OBC=90 ， OA=OB ， A=ABO=20 ， BOC=40 ， C=
5、50. 答案 ： B. 8.(3 分 )若式子 1k +(k-1)0有意义，则一次函数 y=(k-1)x+1-k 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 式子 1k +(k-1)0有意义， 0011kk解得 k 1， k -1 0， 1-k 0， 一次函数 y=(k-1)x+1-k 的图象可能是： 答案 ： A. 9.(3 分 )如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，按如下步骤作图： 第一步，分别以点 A、 D 为圆心，以大于 12AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、 N； 第二步，连接 MN 分别交 AB、 AC 于点 E、 F； 第三步，连接 DE、
6、 DF. 若 BD=6， AF=4， CD=3，则 BE 的长是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解 析 ： 根据作法可知： MN 是线段 AD 的垂直平分线， AE=DE ， AF=DF， EAD=EDA ， AD 平分 BAC ， BAD=CAD ， EDA=CAD ， DEAC ， 同理 DFAE ， 四边形 AEDF 是菱形， AE=DE=DF=AF ， AF=4 ， AE=DE=DF=AF=4 ， DEAC ， BD BECD AE， BD=6 ， AE=4， CD=3， 634BE， BE=8 . 答案 ： D. 10.(3 分 )将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯
7、拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径 (图中小圆的直径 )是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是 ( ) A. (163 -4 3 )cm2 B. (163 -8 3 )cm2 C. (83 -4 3 )cm2 D. (43 -2 3 )cm2 解 析 ： 作 ODAB 于 C，交小 O 于 D，则 CD=2， AC=BC， OA=OD=4 ， CD=2， OC=2 ， 在 RTAOC 中， sinOAC= 12OCOA， OAC=30 ， AOB=120 ， AC= 22OA OC =2 3 ， AB=4 3 ， 杯底有水部分的面积 =S 扇
8、形 -SAOB = 2120 4360 -12 3 2=( 163 -4 3 )cm2 答案 ： A. 11.(3 分 )如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是 ( ) A. 3 cm2 B. 3 32cm2 C. 9 32cm2 D. 2732cm2 解 析 ： ABC 为等边三角形， A=B=C=60 ， AB=BC=AC. 筝形 ADOK 筝形 BEPF 筝形 AGQH， AD=BE=BF=CG=CH=AK. 折叠后是一个三棱柱， DO=PE=PF=QG=QH=OK ，
9、四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 都为矩形 . ADO=AKO=90. 连结 AO， 在 RtAOD 和 RtAOK 中， AO AOOD OK， RtAODRtAOK(HL). OAD=OAK=30. 设 OD=x，则 AO=2x，由勾股定理就可以求出 AD= 3 x， DE=6 -2 3 x， 纸盒侧面积 =3x(6-2 3 x)=-6 3 x2+18x， =-6 3 (x- 32)2+9 32， 当 x= 32时，纸盒侧面积最大为 9 32. 答案 ： C. 12.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为 (-1， 0)，下列结论：
10、abc 0； b 2-4ac=0； a 2； 4a -2b+c 0.其中正确结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 析 ： 抛物线开口向上， a 0， 对称轴在 y 轴左边， b 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方， c+2 2， c 0， abc 0， 结论 不正确； 二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象与 x 轴只有一个交点， =0 ， 即 b2-4a(c+2)=0， b 2-4ac=8a 0， 结论 不正确； 对称轴 12bx a ， b=2a ， b 2-4ac=8a， 4a 2-4ac=8a， a=c+2 ， c 0， a 2， 结论 正确；
11、 对称轴是 x=-1，而且 x=0 时， y 2， x= -2 时， y 2， 4a -2b+c+2 2， 4a -2b+c 0. 结论 正确 . 综上，可得 正确结论的个数是 2 个： . 答案 ： B. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分，只要求填写最后结果 .) 13.(3 分 )“ 植树节 ” 时，九年级一班 6 个小组的植树棵数分别是： 5， 7， 3， x， 6， 4.已知这组数据的众数是 5，则该组数据的平均数是 _. 解 析 ： 这组数据的众数是 5， x=5 ， 则平均数为： 5 7 3 5 6 46 =5. 答案 ： 5. 14.(3 分 )如图，等
12、腰梯形 ABCD 中， ADBC ， BC=50， AB=20， B=60 ，则 AD=_. 解 析 ： 过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E， ADBC ， 四边形 AECD 是平行四边形， AE=CD=AB=20 ， AD=EC， B=60 ， BE=AB=AE=20 ， AD=BC -CE=50-20=30. 答案 ： 30 15.(3 分 )因式分解： ax2-7ax+6a=_. 解 析 ： 原式 =a(x2-7x+6)=a(x-1)(x-6). 答案 ： a(x-1)(x-6) 16.(3 分 )观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端 A 点
13、处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60 ，然后爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底 部 D 处的俯角是 30. 已知楼房高 AB 约是 45m，根据以上 观测数据可求观光塔的高 CD是_m. 解 析 ： 爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30 ， ADB=30 ， 在 RtABD 中， tan30= ABAD， 解得， 45 33AD， AD=45 3 ， 在一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60 ， 在 RtACD 中， CD=ADtan60=45 3 3 =135 米 . 答案 ： 135 米 . 17.(3 分 )如图，正 ABC 的边长为 2，
14、以 BC 边上的高 AB1为边作正 AB 1C1， ABC 与 AB 1C1公共部分的面积记为 S1；再以正 AB 1C1边 B1C1上的高 AB2为边作正 AB 2C2， AB 1C1与 AB 2C2公共部分的面积记为 S2； ，以此类推，则 Sn=_.(用含 n 的式子表示 ) 解 析 ： 等边三角形 ABC 的边长为 2， AB1BC ， BB 1=1， AB=2， 根据勾股定理得： AB1= 3 ， S 1=12 34( 3 )2= 32(34)1； 等边三角形 AB1C1的边长为 3 ， AB2B 1C1， B 1B2= 32， AB1= 3 ， 根据勾股定理得： AB2=32， S
15、 2=12 34( 32)2= 32(34)2； 依此类推， Sn= 32(34)n. 答案 ： 32(34)n. 18.(3 分 )正比例函数 y1=mx(m 0)的图象与反比例函数 y2=kx(k0) 的图象交于点 A(n， 4)和点 B， AMy 轴，垂足为 M.若 AMB 的面积为 8，则满足 y1 y2的实数 x的取值范围是 _. 解 析 ： 正比例函数 y1=mx(m 0)的图象与反比例函数 y2=kx(k0) 的图象交于点 A(n， 4)和点 B， B( -n， -4). AMB 的面积为 8， 124n2=8 ， 解得 n=2， A(2 ， 4)， B(-2， -4). 由图形
16、可知，当 -2 x 0 或 x 2 时，正比例函数 y1=mx(m 0)的图象在反比例函数 y2=kx(k0) 图象的上方，即 y1 y2. 答案 ： -2 x 0 或 x 2. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 66 分 .解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .) 19.(9 分 )为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器 .一商场抓住商机，从厂家购进了 A、 B 两种型号家用净水器共 160 台， A 型号家用净水器进价是 150 元 /台， B型号家用净水器进价是 350 元 /台，购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元 . (1)求 A、 B 两种型号家用净水
17、器各购进了多少台； (2)为使每台 B 型号家用净水器的毛利润是 A 型号的 2 倍，且保证售完这 160台家用净水器的毛利润不低于 11000 元，求每台 A 型号家用净水 器的售价至少是多少元 .(注：毛利润 =售价 -进价 ) 解 析 ： (1)设 A 种型号家用净水器购进了 x 台， B 种型号家用净水器购进了 y 台，根据 “ 购进了 A、 B 两种型号家用净水器共 160 台，购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元 .” 列出方程组解答即可； (2)设每台 A 型号家用净水器的毛利润是 a 元，则每台 B 型号家用净水器的毛利润是 2a 元，根据保证售完这 160 台家用净
18、水器的毛利润不低于 11000 元，列出不等式解答即可 . 答案 ： (1)设 A 种型号家用净水器购进了 x 台， B 种型号家用净水器购进了 y 台， 由题意得 1601 5 0 3 5 0 3 6 0 0 0xyxy， 解得 10060xy. 答： A 种型号家用净水器购进了 100 台， B 种型号家用净水器购进了 60 台 . (2)设每台 A 型号家用净水器的毛利润是 a 元，则每台 B 型号家用净水器的毛利润是 2a 元， 由题意得 100a+602a11000 ， 解得 a50 ， 150+50=200(元 ). 答：每台 A 型号家用净水器的售价至少是 200 元 . 20.
19、(10 分 )某校了解九年级学生近两个月 “ 推荐书目 ” 的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了 他们每人 “ 推荐书目 ” 的阅读本数 .设每名学生的阅读本数为 n，并按以下规定分为四档：当 n 3 时，为 “ 偏少 ” ；当 3n 5 时，为 “ 一般 ” ；当 5n 8 时，为“ 良好 ” ；当 n8 时，为 “ 优秀 ”. 将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 请根据以上信息回答下列问题： (1)分别求出统计表中的 x、 y 的值； (2)估计该校九年级 400 名学生中为 “ 优秀 ” 档次的人数； (3)从被调查的 “ 优秀 ” 档次的学生中随机抽取 2 名学生介绍读
20、书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的概率 . 解 析 ： (1)首先求得总分数，然后即可求得 x 和 y 的值； (2)首先求得样本中的优秀率，然后用样本估计总体即可； (3)列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可 . 答案 ： (1)由表可知被调查学生中 “ 一般 ” 档次的有 13 人，所占比例是 26%，所以共调查的学生数是 1326%=50 ， 则调查学生中 “ 良好 ” 档次的人数为 5060%=30 ， x=30 -(12+7)=11， y=50-(1+2+6+7+12+11+7+1)=3. (2)由样本数据可知 “
21、优秀 ” 档次所占的百分比为 3150=8%， 估计九年级 400 名学生中为优秀档次的人数为 4008%=32 ； (3)用 A、 B、 C 表示阅读本数是 8 的学生，用 D 表示阅读 9本的学生，列表得到： 由列表可知，共 12 种等可能的结果，其中所抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9的有 6种， 所以抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的概率为 6112 2； 21.(10 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC，以 AC 为直径的 O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，过点D 作 DFAB ，垂足为 F，连接 DE. (1)求证：直线 DF 与 O 相切；
22、 (2)若 AE=7， BC=6，求 AC 的长 . 解 析 ： (1)连接 OD，利用 AB=AC， OD=OC，证得 ODAD ，易证 DFOD ，故 DF 为 O 的切线； (2)证得 BEDBCA ，求得 BE，利用 AC=AB=AE+BE 求得答案即可 . 答案 ： (1)证明：如图， 连接 OD. AB=AC ， B=C ， OD=OC ， ODC=C ， ODC=B ， ODAB ， DFAB ， ODDF ， 点 D 在 O 上， 直线 DF 与 O 相切； (2)解： 四边形 ACDE 是 O 的内接四边形， AED+ACD=180 ， AED+BED=180 ， BED=A
23、CD ， B=B ， BEDBCA ， BD BEAB BC， ODAB ， AO=CO， BD=CD= 12BC=3， 又 AE=7 ， 376BEBE ， BE=2 ， AC=AB=AE+BE=7+2=9. 22.(11 分 )“ 低碳生活，绿色出行 ” 的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班 .王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度 v(米 /分钟 )随时间t(分钟 )变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段 OA、 AB 和 BC 组成 .设线段 OC 上有一动点 T(t， 0)，直线 l 左侧部分的面积即为 t 分钟内王叔叔行进的路程 s(米 ). (
24、1) 当 t=2 分钟时，速度 v=_米 /分钟，路程 s=_米； 当 t=15 分钟时，速度 v=_米 /分钟，路程 s=_米 . (2)当 0t3 和 3 t15 时，分别求出路程 s(米 )关于时间 t(分钟 )的函数解析式； (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了 750 米时所用的时间 t. 解 析 ： (1) 根据图象得出直线 OA 的解析式，代入 t=2 解答即可； 根据图象得出 t=15 时的速度，并计算其路程即可； (2)利用待定系数法得出 0t3 和 3 t15 时的解析式即可； (3)根据当 3 t15 时的解析式，将 y=750 代入解答即可 . 答案 ： (1) 直线
25、OA 的解析式为： y=3003t=100t， 把 t=2 代入可得： y=200； 路程 S= 1 2 2002=200， 故答案为： 200； 200； 当 t=15 时，速度为定值 =300，路程 = 1 3 3 0 0 1 5 3 3 0 0 4 0 5 02 ， 故答案为： 300； 4050； (2) 当 0t3 ，设直线 OA 的解析式为： y=kt，由图象可知点 A(3， 300)， 300=3k ， 解得： k=100， 则解析式为： y=100t； 设 l 与 OA 的交点为 P，则 P(t， 100t)， s= 21 1 0 0 5 02P O TS t t t ， 当
26、3 t15 时，设 l 与 AB 的交点为 Q，则 Q(t， 300)， S= 1 3 3 0 0 3 0 0 4 5 02O A Q TS t t t 梯 形， (3) 当 0t3 ， S 最大 =509=450 ， 750 450， 当 3 t15 时， 450 S4050 ， 则令 750=300t-450， 解得： t=4. 故王叔叔该天上班从家出发行进了 750 米时所用的时间 4 分钟 . 23.(12 分 )如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长 OD到点 G， OC到点 E，使 OG=2OD， OE=2OC，然后以 OG、 OE 为邻边作正方形 OEFG
27、，连接 AG， DE. (1)求证： DEAG ； (2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角 (0 360) 得到正方形OEFG ，如图 2. 在旋转过程中，当 OAG 是直角时，求 的度数； 若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF 长的最大值和此时 的度数，直接写出结果不必说明理由 . 解 析 ： (1)延长 ED 交交 AG 于点 H，易证 AOGDOE ，得到 AGO=DEO ，然后运用等量代换证明 AHE=90 即可； (2) 在旋转过程中， OAG 成为直角有两种情况： 由 0 增大到 90 过程中，当OAG=90 时， =30 ，
28、 由 90 增大到 180 过程中，当 OAG=90 时， =150 ； 当旋转到 A、 O、 F 在一条直线上时， AF 的长最大， AF=AO+OF= 22+2，此时 =315. 答案 ： (1)如图 1，延长 ED 交 AG 于点 H， 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点， OA=OD ， OAOD ， OG=OE ， 在 AOG 和 DOE 中， 90O A O DA O G D O EO G O E ， AOGDOE ， AGO=DEO ， AGO+GAO=90 ， GAO+DEO=90 ， AHE=90 ， 即 DEAG ； (2) 在旋转过程中， OAG 成为直角有两种情
29、况： () 由 0 增大到 90 过程中，当 OAG=90 时， OA=OD= 12OG=12OG ， 在 RtOAG 中， sinAGO= 12OAOG， AGO=30 ， OAOD ， OAAG ， ODAG ， DOG=AGO=30 ， 即 =30 ； () 由 90 增大到 180 过程中，当 OAG=90 时， 同理可求 BOG=30 ， =180 -30=150. 综上所述，当 OAG=90 时， =30 或 150. 如图 3，当旋转到 A、 O、 F 在一条直线上时， AF 的长最大， 正方形 ABCD 的边长为 1， OA=OD=OC=OB= 22， OG=2OD ， OG=
30、OG= 2 ， OF=2 ， AF=AO+OF= 22+2， COE=45 ， 此时 =315. 24.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx2-8mx+4m+2(m 0)与 y 轴的交点为 A，与 x 轴的交点分别为 B(x1， 0)， C(x2， 0)，且 x2-x1=4，直线 ADx 轴，在 x 轴上有一动点E(t， 0)过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD的交点分别为 P、 Q. (1)求抛物线的解析式； (2)当 0 t8 时，求 APC 面积的最大值； (3)当 t 2 时，是否存在点 P，使以 A、 P、 Q 为顶点的三角形与 AOB 相似
31、？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)认真审题，直接根据题意列出方程组，求出 B， C 两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式； (2)分 0 t 6 时和 6t8 时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值； (3)以点 D为分界点，分 2 t8 时和 t 8时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解 . 答案 ： (1)由题意知 x1、 x2是方程 mx2-8mx+4m+2=0 的两根， x 1+x2=8， 由 122184xxxx解得： 1226xxB(2 ， 0)、 C(6， 0) 则 4m-16m+4m+2=0， 解得： m=14， 该
32、抛物线解析式为： y= 21 234 xx； (2)可求得 A(0， 3) 设直线 AC 的解析式为： y=kx+b， 360bkb 123kb 直线 AC 的解析式为： y=-12x+3， 要构成 APC ，显然 t6 ，分两种情况讨论： 当 0 t 6 时，设直线 l 与 AC 交点为 F，则： F(t， 1 32t)， P(t ， 21 234 tt)， PF= 21342tt， S APC =SAPF +SCPF 221 1 3 1 1 3 62 4 2 2 4 2t t t t t t 21 1 3 62 4 2tt 23 2 7344t ， 此时最大值为： 274， 当 6t8 时
33、，设直线 l 与 AC 交点为 M，则： M(t， 1 32t)， P(t ， 21 234 tt)， PM= 21342tt， S APC =SAPM -SCPM = 221 1 3 1 1 3 62 4 2 2 4 2t t t t t t 23942tt 23 2 7344t ， 当 t=8 时，取最大值，最大值为： 12， 综上可知，当 0 t8 时， APC 面积的最大值为 12； (3)如图，连接 AB，则 AOB 中， AOB=90 ， AO=3， BO=2， Q(t， 3)， P(t， 21 234 tt)， 当 2 t8 时， AQ=t， PQ= 21 24tt， 若： AOBAQP ，则： AO BOAQ PQ， 即：2321 24t tt ， t=0( 舍 )，或 t=163， 若 AOBPQA ，则： AO OBPQ AQ， 即：2321 24ttt， t=0( 舍 )或 t=2(舍 )， 当 t 8 时， AQ=t ， PQ= 21 24tt， 若： AOBAQP ，则： AO BOAQ P Q ， 即：2321 24t tt ， t=0( 舍 )，或 t=323， 若 AOB PQA ，则： AO BOP Q AQ ， 即：2231 24t tt ， t=0( 舍 )或 t=14， t= 163或 t=323或 t=14.
