1、2015 年广东省梅州市中考真题数学 一、选择题：每小题 3 分，共 21 分，每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的 . 1. 12的相反数是 ( ) A.2 B.-2 C.12D.-12解析 ： 12的相反数是 -12. 答案 ： D 2.如图所示几何体的左视图为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形， 答案： A 3.下列计算正确的是 ( ) A.x+x2=x3 B.x2 x3=x6 C.(x3)2=x6 D.x9 x3=x3 解析 ： A、原式不能合并，错误； B、原式 =x5，错误； C、原式 =x6，正确；
2、D、原式 =x6，错误 . 答案 ： C 4.下列说法正确的是 ( ) A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后， 6 点朝上是必然事件 B.甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 S 甲 2=0.4， S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定 C.“明天降雨的概率为 12”，表示明天有半天都在降雨 D.了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 解析 ： A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后， 6 点朝上是可能事件，此选项错误； B、甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 S 甲 2=0.4，S 乙 2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
3、，此选项正确； C、“明天降雨的概率为 12”，表示明天有可能降雨，此选项错误； D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误 . 答案： B 5.下列命题正确的是 ( ) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 解析 ： A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误； C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误； D、对角线互相垂直平分且
4、相等的四边形是正方形，故本选项正确 . 答案： D 6.如图， AB 是 O 的弦， AC 是 O 切线， A 为切点， BC 经过圆心 .若 B=20，则 C 的大小等于 ( ) A.20 B.25 C.40 D.50 解析 ： 如图，连接 OA， AC 是 O 的切线， OAC=90， OA=OB， B= OAB=20， AOC=40， C=50 . 答案 ： D 7.对于二次函数 y=-x2+2x.有下列四个结论：它的对称轴是直线 x=1；设 y1=-x12+2x1，y2=-x22+2x2，则当 x2 x1时，有 y2 y1；它的图象与 x 轴的两个交点是 (0， 0)和 (2， 0)；
5、当 0 x 2 时， y 0.其中正确的结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ： y=-x2+2x=-(x-1)2+1，故它的对称轴是直线 x=1，正确； 直线 x=1 两旁部分增减性不一样，设 y1=-x12+2x1， y2=-x22+2x2，则当 x2 x1时，有 y2 y1或 y2 y1，错误； 当 y=0，则 x(-x+2)=0，解得： x1=0， x2=2，故它的图象与 x 轴的两个交点是 (0， 0)和 (2，0)，正确； a=-1 0，抛物线开口向下， 它的图象与 x 轴的两个交点是 (0， 0)和 (2， 0)，当 0 x 2 时， y 0，正确 . 答案
6、 ： C 二、填空题：每小题 3 分，共 24 分 . 8.函数 y= x -1 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，根据题意，得 x 0. 答案： x 0. 9.分解因式： m3-m= . 解析 ： 先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 ， m3-m=m(m2-1)=m(m+1)(m-1). 10.据统计， 2014 年我市常住人口约为 4320000 人，这个数用科学记数法表示为 . 解析 ： 4320000=4.32 106. 答案： 4.32 106. 11.一个学习兴趣小组有 4 名女生， 6 名男生，现要从这 10
7、 名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 . 解析 ： 女生当选组长的概率是： 4 10=410=25. 答案： 2512.已知： ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上，若以 A， E， F 为顶点的三角形与 ABC 相似，则需要增加的一个条件是 .(写出一个即可 ) 解析 ： 分两种情况： AEF ABC， AE： AB=AF： AC，即 1： 2=AF： AC， AF=12AC； AFE ACB， AFE= ABC. 要使以 A、 E、 F 为顶点的三角形与 ABC 相似，则 AF=12AC 或 AFE= ABC. 答案： AF=12AC 或 AFE=
8、ABC 13.如图，在 ABCD中， BE平分 ABC， BC=6， DE=2，则 ABCD的周长等于 . 解析 ： 四边形 ABCD 为平行四边形， AE BC， AD=BC， AD=BC， AEB= EBC， BE 平分 ABC， ABE= EBC， ABE= AEB， AB=AE， AE+DE=AD=BC=6， AE+2=6， AE=4， AB=CD=4， ABCD 的周长 =4+4+6+6=20. 答案： 20 14.如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF，若 AB=4， BC=2，那么线段 EF 的长为 . 解析 ： 如图所示， AC 交 EF 于点
9、 O， 由勾股定理知 AC=2 5 ， 又折叠矩形使 C 与 A 重合时有 EF AC， 则 Rt AOE Rt ABC， OE AOBC AB， OE= 52， 故 EF=2OE= 5 . 答案 ： 5 15.若 12 1 2 1 2 1 2 1abn n n n ，对任意自然数 n都成立，则 a= ， b= ；计算： m= 1 1 11 3 3 5 5 7 + 119 21= . 解析 ： 12 1 2 1 2 1 2 1abn n n n = 2 1 2 12 1 2 1a n b nnn ， 可得 2n(a+b)+a-b=1，即 01abab，解得： a=12， b=-12； m=12
10、(1-13+13-15+ +119-121)=12(1-121)=1021. 答案： 12； -12； 1021. 三、解答下列各题：本大题有 9 小题，共 75 分，解答应写文字说明、推理过程或演算步骤 . 16.在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里 40 名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： (直接填写结果 ) (1)本次调查获取的样本数据的众数是 元 ； (2)这次调查获取的样本数据的中位数是 元 ； (3)若该校共有学生 1000 人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生有 人 . 解析 ： (1
11、)众数就是出现次数最多的数， 众数是： 30 元 ； (2)中位数就是大小处于中间位置的数， 中位数是： 50 元 ； (3)调查的总人数是： 6+12+10+8+4=40(人 )， 则估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生有： 1000 1040=250(人 ). 答案 ： (1)30； (2)50； (3)250. 17.计算： 8 +|2 2 -3|-(13)-1-(2015+ 2 )0. 解析 ： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =2 2 +3-2 2 -3-1
12、=-1. 18.已知 a+b=- 2 ，求代数式 (a-1)2+b(2a+b)+2a 的值 . 解析 ： 原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 =a2-2a+1+2ab+b2+2a=(a+b)2+1， 把 a+b=- 2 代入得：原式 =2+1=3. 19.已知关于 x 的方程 x2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 . 解析 ： (1)关于 x 的方程 x2-2x+a-2=0 有两个不相等的实数根，即判别式 =b2-4ac 0
13、.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围 . (2)设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一根 . 答案 ： (1) b2-4ac=(2)2-4 1 (a-2)=12-4a 0，解得： a 3， a 的取值范围是 a 3. (2)设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得： 1112xxa ，解得：113ax，则 a 的值是 -1，该方程的另一根为 -3. 20.如图，如图，已知 ABC，按如下步骤作图： 以 A 为圆心， AB 长为半径画弧； 以 C 为圆心， CB 长为半径画弧，两弧相交于点 D； 连接 BD，与 AC 交于点 E，连接 A
14、D， CD. (1)求证： ABC ADC； (2)若 BAC=30， BCA=45， AC=4，求 BE 的长 . 解析 ： (1)利用 SSS 定理证得结论； (2)设 BE=x，利用特殊角的三角函数易得 AE 的长，由 BCA=45易得 CE=BE=x，解得 x，得CE 的长 . 答案 ： (1)在 ABC 与 ADC 中， AB ADBC CDAC AC ， ABC ADC(SSS). (2)设 BE=x， BAC=30， ABE=60， AE=tan60 x= 3 x， ABC ADC， CB=CD， BCA= DCA， BCA=45， BCA= DCA=45， CBD= CDB=4
15、5， CE=BE=x， 3 x+x=4， x=2 3 -2， BE=2 3 -2. 21.九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 已知该运动服的进价为每件 60 元，设售价为 x 元 . (1)请用含 x 的式子表示： 销售该运动服每件的利润是 元； 月销量是 件； (直接写出结果 ) (2)设销售该运动服的月利润为 y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 解析 ： (1)根据利润 =售价 -进价求出利润，运用待定系数法求出月销量； (2)根据月利润 =每件的利润月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润 . 答案 ： (
16、1)销售该运动服每件的利润是 (x-60)元； 设月销量 W 与 x 的关系式为 w=kx+b， 由题意得， 1 0 0 2 0 01 1 0 1 8 0kbkb，解得 2400kb， W=-2x+400. (2)由题意得， y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800， 售价为 130 元时，当月的利润最大，最大利润是 9800 元 . 22.如图，直线 l 经过点 A(4， 0)， B(0， 3). (1)求直线 l 的函数表达式； (2)若圆 M 的半径为 2，圆心 M 在 y 轴上，当圆 M 与直线 l 相切时，求点 M 的坐标 .
17、 解析 ： (1)把点 A(4， 0)， B(0， 3)代入直线 l 的解析式 y=kx+b，即可求出结果 . (2)先画出示意图，在 Rt ABM 中求出 sin BAM，然后在 Rt AMC 中，利用锐角三角函数的定义求出 AM，继而可得点 M 的坐标 . 答案 ： (1)直线 l 经过点 A(4， 0)， B(0， 3)， 设直线 l 的解析式为： y=kx+b， 043kbb， 343kb ， .直线 l 的解析式为： y=-34x+3. (2)设 M 坐标为 (0， m)(m 0)，即 OM=m，若 M 在 B 点下边时， BM=3-m， MBN = ABO， MN B= BOA=9
18、0， MBN ABO， MN BMOA AB ，即 2345m，解得： m=12，此时 M(0， 12)； 若 M 在 B 点上边时， BM=m-3， 同理 BMN BAO，则有 MN BMOA AB，即 2345m， 解得： m=112.此时 M(0， 112). 23.在 Rt ABC 中， A=90， AC=AB=4， D， E 分别是 AB， AC 的中点 .若等腰 Rt ADE 绕点 A逆时针旋转，得到等腰 Rt AD1E1，设旋转角为 (0 180 )，记直线 BD1与 CE1的交点为 P. (1)如图 1，当 =90时，线段 BD1的长等于 ，线段 CE1的长等于 ； (直接填写
19、结果 ) (2)如图 2，当 =135时，求证： BD1=CE1，且 BD1 CE1； (3)设 BC 的中点为 M，则线段 PM 的长为 ； 点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为 .(直接填写结果 ) 解析 ： (1)利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出 BD1的长和 CE1的长； (2)根据旋转的性质得出， D1AB= E1AC=135，进而求出 D1AB E1AC(SAS)，即可得出答案； (3)直接利用直角三角形的性质得出 PM=12BC 得出答案即可； 首先作 PG AB，交 AB 所在直线于点 G，则 D1， E1在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上，当 BD1所在
20、直线与 A 相切时，直线 BD1与 CE1的交点 P 到直线 AB 的距离最大， 此时四边形 AD1PE1是正方形，进而求出 PG 的长 . 答案 ： (1) A=90， AC=AB=4， D， E 分别是边 AB， AC 的中点， AE=AD=2， 等腰 Rt ADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 Rt AD1E1，设旋转角为 (0 180 )， 当 =90时， AE1=2， E1AE=90， BD1= 2242 =2 5 ， E1C= 2242 =2 5 ； 故答案为： 2 5 ， 2 5 ； (2)当 =135时，如图 2， Rt AD1E 是由 Rt ADE 绕点 A 逆时针旋转 1
21、35得到， AD1=AE1， D1AB= E1AC=135， 在 D1AB 和 E1AC 中 ， 11A D A ED A B E A CA B A C ， D1AB E1AC(SAS)， BD1=CE1，且 D1BA= E1CA， 记直线 BD1与 AC 交于点 F， BFA= CFP， CPF= FAB=90， BD1 CE1. (3)如图 2， CPB= CAB=90， BC 的中点为 M， PM=12BC， PM=122244 =2 2 ， 故答案为： 2 2 ； 如图 3，作 PG AB，交 AB 所在直线于点 G， D1， E1在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上， 当 BD1所
22、在直线与 A 相切时，直线 BD1与 CE1的交点 P 到直线 AB 的距离最大， 此时四边形 AD1PE1是正方形， PD1=2，则 BD1= 2242 =2 3 ， 故 ABP=30，则 PB=2+2 3 ，故点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为： PG=1+ 3 . 故答案为： 1+ 3 . 24.如图，过原点的直线 y=k1x 和 y=k2x 与反比例函数 y=1x的图象分别交于两点 A， C 和 B，D，连接 AB， BC， CD， DA. (1)四边形 ABCD 一定是 四边形； (直接填写结果 ) (2)四边形 ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时 k1， k2之间的关
23、系式；若不能，说明理由； (3)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)(x2 x1 0)是函数 y=1x图象上的任意两点， a= 122yy， b=122xx ，试判断 a， b 的大小关系，并说明理由 . 解析： (1)由直线 y=k1x 和 y=k2x 与反比例函数 y=1x的图象关于原点对称，即可得到结论 . (2)联立方程求得 A、 B点的坐标，然后根据 OA=OB，依据勾股定理得出 121211kkkk ，两边平分得11k +k1=21k +k2，整理后得 (k1-k2)(k1k2-1)=0，根据 k1 k2，则 k1k2-1=0，即可求得； (3)由 P(x1， y1)， Q
24、(x2， y2)(x2 x1 0)是函数 y=1x图象上的任意两点，得到 y1=11x ， y2=21x ，求出 a=122yy= 12112xx =12122xxxx ， 得到 a-b=12122xxxx -122xx = 21 2 1 21 2 1 242x x x xx x x x= 2121 2 1 22xxx x x x 0，即可得到结果 . 答案 ： (1)直线 y=k1x 和 y=k2x 与反比例函数 y=1x的图象关于原点对称， OA=OC， OB=OD，四边形 ABCD 是平行四边形； 故答案为：平行； (2)正比例函数 y=k1x(k1 0)与反比例函数 y=1x的图象在第
25、一象限相交于 A， k1x=1x，解得 x=11k(因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根 ) 将 x=11k带入 y=k1x 得 y=1k， 故 A 点的坐标为 (11k，1k)同理则 B 点坐标为 (21k，2k)， 又 OA=OB， 121211kkkk ，两边平分得得11k +k1=21k +k2，整理后得 (k1-k2)(k1k2-1)=0， k1 k2，所以 k1k2-1=0，即 k1k2=1. (3) P(x1， y1)， Q(x2， y2)(x2 x1 0)是函数 y=1x图象上的任意两点， y1=11x ， y2=21x ， a= 122yy = 1 2112xx =12122xxxx ， a-b=121 2 1 222xxx x x x = 21 2 1 21 2 1 242x x x xx x x x= 2121 2 1 22xxx x x x， x2 x1 0， (x1-x2)2 0， x1x2 0， (x1+x2) 0， 2121 2 1 22xxx x x x 0， a-b 0， a b.
