1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 北京卷 ） 数学理 一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分 ) 1.复数 i(2-i)=( ) A. 1+2i B. 1-2i C. -1+2i D. -1-2i 解 析 ：原式 =2i-i2=2i-(-1)=1+2i； 故选： A. 2.若 x， y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 2 解 析 ：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部阴影部分， 由 ， 解得 A( ， )，目标函数 z=x+2y，将直线 z=x+2y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值
2、 z 最大值 = = 故选： C. 3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为 ( ) A. (-2， 2) B. (-4， 0) C. (-4， -4) D. (0， -8) 解 析 ：模拟执行程序框图，可得 x=1， y=1， k=0 s=0， i=2 x=0， y=2， k=1 不满足条件 k3 ， s=-2， i=2， x=-2， y=2， k=2 不满足条件 k3 ， s=-4， i=0， x=-4， y=0， k=3 满足条件 k3 ，退出循环，输出 (-4， 0)， 故选： B. 4.设 ， 是两个不同的平面， m是直线且 m ， “m“ 是 “” 的 ( ) A. 充分而不必要条
3、件 B. 必要而不充分条件 C.充分不要条件 D. 既不充分也不必要条件 解 析 ： m ， m 得不到 ，因为 ， 可能相交，只要 m和 ， 的交线平行即可得到 m ； ， m ， m 和 没有公共点， m ，即 能得到 m ； “m” 是 “” 的必要不充分条件 . 故选 B. 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( ) A. 2+ B. 4+ C. 2+2 D. 5 解 析 ：根据三视图可判断直观图为： OA 面 ABC， AC=AB， E 为 BC 中点， EA=2， EA=EB=1， OA=1， 可得 AEBC ， BCOA ， 运用直线平面的垂直得出： BC 面 A
4、EO， AC= ， OE= S ABC = 22=2 ， SOAC =SOAB = 1= . SBCO = 2 = . 故该三棱锥的表面积是 2 ， 故选： C. 6.设 an是等差数列，下列结论中正确的是 ( ) A. 若 a1+a2 0，则 a2+a3 0 B. 若 a1+a3 0，则 a1+a2 0， C. 若 0 a1 a2，则 a2 D. 若 a1 0，则 (a2-a1)(a2-a3) 0 解 析 ：若 a1+a2 0，则 2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d 2d， d 0 时，结论成立，即 A 不正确； 若 a1+a2 0，则 2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d 2
5、d， d 0 时，结论成立，即 B 不正确； an是等差数列， 0 a1 a2， 2a2=a1+a3 2， a 2 ，即 C 正确； 若 a1 0，则 (a2-a1)(a2-a3)=-d2 0，即 D 不正确 . 故选： C. 7.如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log 2(x+1)的解集是 ( ) A. x|-1 x0 B. x|-1x1 C. x|-1 x1 D. x|-1 x2 解 析 ：由已知 f(x)的图象，在此坐标系内作出 y=log2(x+1)的图象，如图 满足不等式 f(x)log 2(x+1)的 x 范围是 -1 x1 ；所以不等式 f(x)log
6、 2(x+1)的解集是x|-1 x1 ； 故选 C. 8.汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是 ( ) A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 千米 /小 时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解 析 ：对于选项 A，消耗 1 升汽油，乙车行驶的距离比 5 小的很多，故 A 错误； 对于选项 B，以相同速度行驶相同路
7、程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故 B 错误， 对于选项 C，甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，里程为 80 千米，燃油效率为 10，故消耗 8 升汽油，故 C 错误， 对于选项 D，因为在速度低于 80 千米 /小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故 D 正确 . 二、填空题 (每小题 5 分，共 30 分 ) 9.在 (2+x)5的展开式中， x3的系数为 _(用数字作答 ) 解 析 ： (2+x)5的展开式的通项公式为： Tr+1= 25-rxr， 所求 x3的系数为： . 故答案为： 40. 10.已知双曲线 -y2=1(a 0)的一条渐近线为 x+y=0，则 a=_.
8、解 析 ：运用双曲线的渐近线方程为 ，结合条件可得 ，即可得到 a 的值 . 答案 ：双曲线 -y2=1 的渐近线方程为 ， 由题意可得 ， 解得 . 11.在极坐标系中，点 (2， )到直线 (cos+ sin)=6 的距离为 _. 解 析 ：点 P(2， )化为 P . 直线 (cos+ sin)=6 化为 . 点 P 到直线的距离 . 故答案为： 1. 12.在 ABC 中， a=4， b=5， c=6，则 =_. 解 析 ： ABC 中， a=4， b=5， c=6， cosC= ， cosA= sinC= ， sinA= ， . 故答案为： 1. 13.在 ABC 中，点 M， N
9、满足 =2 ， = ，若 =x +y ，则 x=_， y=_. 解 析 ：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量 表示，然后利用平面向量基本定理得到 x， y 值 . 答案 ：由已知得到 ； 由平面向量基本定理，得到 ， ； 14.设函数 f(x)= ， 若 a=1，则 f(x)的最小值为 _； 若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 _. 解 析 ： 分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值； 分别设 h(x)=2x-a， g(x)=4(x-a)(x-2a)，分两种情况讨论，即可求出 a 的范围 . 答案 ： 当 a=1 时， f(x)= ， 当 x 1 时， f(x
10、)=2x-1 为增函数， f(x) -1， 当 x 1 时， f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x- )2-1， 当 1 x 时，函数单调递减，当 x 时，函数单调递增， 故 当 x= 时， f(x)min=f( )=-1， 设 h(x)=2x-a， g(x)=4(x-a)(x-2a) 若在 x 1 时， h(x)=与 x 轴有一个交点， 所以 a 0，并且当 x=1 时， h(1)=2-a 0，所以 0 a 2， 而函数 g(x)=4(x-a)(x-2a)有一个交点，所以 2a1 ，且 a 1， 所以 a 1， 若函数 h(x)=2x-a 在 x 1 时，与 x 轴
11、没有交点， 则函数 g(x)=4(x-a)(x-2a)有两个交点， 当 a0 时， h(x)与 x 轴无交点， g(x)无交点，所以不满足题意 (舍去 )， 当 h(1)=2-a 时，即 a2 时， g(x)的两个交点为 x1=a， x2=2a，都是满足题意的， 综上所述 a 的取值范围是 a 1，或 a2. 三、解答题 (共 6 小题，共 80 分 ) 15.已知函数 f(x)= sin cos - sin . (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 - ， 0上的最小值 . 解 析 ： (1)运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 f(x)，再由正弦喊话说的周期，即可得
12、到所求； (2)由 x 的范围，可得 x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值 . 答案 ： (1)f(x)= sin cos - sin = sinx- (1-cosx) =sinxcos +cosxsin - =sin(x+ )- ， 则 f(x)的最小正周期为 2 ； (2)由 -x0 ，可得 - x+ ， 即有 ， 则当 x=- 时， sin(x+ )取得最小值 -1， 则有 f(x)在区间 - ， 0上的最小值为 -1- . 16. A， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间 (单位：天 )记录如下： A 组： 10， 11， 12， 13， 14，
13、15， 16 B 组； 12， 13， 15， 16， 17， 14， a 假设所有病人的康复时间相互独立，从 A， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B组选出的人记为乙 . (1)求甲的康复时间不少于 14 天的概率； (2)如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)当 a 为何值时， A， B 两组病人康复时间的方差相等？ (结论不要求证明 ) 解 析 ：设事件 Ai为 “ 甲是 A 组的第 i 个人 ” ，事件 Bi为 “ 乙是 B组的第 i个人 ” ，由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ， i=1， 2， ， 7 (1)事件等价于 “ 甲是 A
14、组的第 5 或第 6 或第 7个人 ” ，由概率公式可得； (2)设事件 “ 甲的康复时间比乙的康复时间长 ”C=A 4B1A 5B1A 6B1A 7B1A 5B2A 6B2A 7B2A 7B3A 6B6A 7B6，易得 P(C)=10P(A4B1)，易得答案； (3)由方差的公式可得 . 答案 ：设事件 Ai为 “ 甲是 A 组的第 i 个人 ” ，事件 Bi为 “ 乙是 B组的第 i个人 ” ， 由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ， i=1， 2， ， 7 (1)事件 “ 甲的康复时间不少于 14 天 ” 等价于 “ 甲是 A 组的第 5 或第 6或第 7个人 ” 甲的康复时间不少于
15、14 天的概率 P(A5A 6A 7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)= ； (2)设事件 C 为 “ 甲的康复时间比乙的康复时间长 ” ， 则 C=A4B1A 5B1A 6B1A 7B1A 5B2A 6B2A 7B2A 7B3A 6B6A 7B6， P(C)=P(A 4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)P+(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6) =10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)= (3)当 a 为 11 或 18 时， A， B 两组病人康复时间的方差相等 . 17.如图，在四棱锥 A-EFCB 中，
16、 AEF 为等边三角形，平面 AEF 平面 EFCB， EFBC ， BC=4，EF=2a， EBC=FCB=60 ， O 为 EF 的中点 . (1)求证： AOBE. (2)求二面角 F-AE-B 的余弦值； (3)若 BE 平面 AOC，求 a 的值 . 解 析 ： (1)根据线面垂直的性质定理即可证明 AOBE. (2)建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 F-AE-B 的余弦值； (3)利用线面垂直的性质，结合向量法即可求 a 的值 答案 ： (1)AEF 为等边三角形， O 为 EF 的中点， AOEF ， 平面 AEF 平面 EFCB， AO 平面 AEF， AO 平面 EFC
17、B AOBE. (2)取 BC 的中点 G，连接 OG， EFCB 是等腰梯形， OGEF ， 由 (1)知 AO 平面 EFCB， OG 平面 EFCB， OAOG ， 建立如图的空间坐标系， 则 E(a， 0， 0)， A(0， 0， a)， B(2， ， 0)， =(a-2， ， 0)， 设平面 AEB 的法向量为 =(x， y， z)， 则 ，即 ， 令 z=1，则 x= ， y=-1， 即 =( ， -1， 1)， 平面 AEF 的法向量为 ， 则 即二面角 F-AE-B 的余弦值为 ； (3)若 BE 平面 AOC， 则 BEOC ， 即 ， ， ， =-2(a-2)-3(a-2)
18、2=0， 解得 a= . 18.已知函数 ， (1)求曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)求证，当 x (0， 1)时， ； (3)设实数 k 使得 对 x (0， 1)恒成立，求 k 的最大值 . 解 析 ： (1)利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程 . (2)构造新函数利用函数的单调性证明命题成立 . (3)对 k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数 k 的取值范围 . 答案 ： (1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)所以 又因为 f(0)=0，所以曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程为 y=2x. (2)证明：令 g(x)=f
19、(x)-2(x+ )，则 g(x)=f(x)-2(1+x2)= ， 因为 g(x) 0(0 x 1)，所以 g(x)在区间 (0， 1)上单调递增 . 所以 g(x) g(0)=0， x (0， 1)， 即当 x (0， 1)时， f(x) 2(x+ ). (3)由 (2)知，当 k2 时， 对 x (0， 1)恒成立 . 当 k 2 时，令 h(x)=f(x)- ，则 h(x)=f(x)-k(1+x2)= ， 所以当 时， h(x) 0，因此 h(x)在区间 (0， )上单调递减 . 当 时， h(x) h(0)=0，即 . 所以当 k 2 时， 并非对 x (0， 1)恒成立 . 综上所知
20、， k 的最大值为 2. 19.已知椭圆 C： (a b 0)的离心率为 ，点 P(0， 1)和点 A(m， n)(m0) 都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M. (1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标 (用 m， n 表示 )； (2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x轴对称，直线 PB交 x轴于点 N，问： y轴上是否存在点Q，使得 OQM=ONQ ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由 . 解 析 ： (1)根据椭圆的几何性质得出 求解即可 . (2)求解得出 ， ，运用图形得出 tanOQM=tanONQ ， ，求解即可得出即 yQ2=xMx N， +
21、n2，根据 m， m 的关系整体求解 . 答案 ： (1)由题意得出 解得： a= ， b=1， c=1 +y2=1， P(0 ， 1)和点 A(m， n)， -1 n 1 PA 的方程为： y-1= x， y=0 时， xM= M( ， 0) (2) 点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点 A(m， n)(m0) 点 B(m， -n)(m0) 直线 PB 交 x 轴于点 N， N( ， 0)， 存在点 Q，使得 OQM=ONQ ， Q(0， yQ)， tanOQM=tanONQ ， ，即 yQ2=xMx N， +n2=1 yQ2= =2， y Q= ， 故 y 轴上存在点 Q，使得 OQM=
22、ONQ ， Q(0， )或 Q(0， - ) 20.已知数列 an满足： a1 N*， a136 ，且 an+1= (n=1， 2， ) ，记集合 M=an|n N*. (1)若 a1=6，写出集合 M 的所有元素； (2)如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数； (3)求集合 M 的元素个数的最大值 . 解 析 ： (1)a1=6，利用 an+1= 可求得集合 M 的所有元素为 6， 12， 24； (2)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ak是 3的倍数，由 an+1=(n=1， 2， ) ，可归纳证明对任意 nk ， an是 3
23、 的倍数； (3)分 a1是 3 的倍数与 a1不是 3的倍数讨论，即可求得集合 M的元素个数的最大值 . 答案 ： (1)若 a1=6，由于 an+1= (n=1， 2， ) ， M=an|n N*. 故集合 M 的所有元素为 6， 12， 24； (2)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ak是 3的倍数，由 an+1=(n=1， 2， ) ，可归纳证明对任意 nk ， an是 3 的倍数 . 如果 k=1， M 的所有元素都是 3 的倍数； 如果 k 1，因为 ak=2ak-1，或 ak=2ak-1-36，所以 2ak-1是 3的倍数；于是 ak-1是 3 的倍数； 类
24、似可得， ak-2， ， a1都是 3 的倍数； 从而对任意 n1 ， an是 3 的倍数； 综上，若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，则集合 M 的所有元素都是 3的倍数 (3)对 a136 ， an= (n=1， 2， ) ，可归纳证明对任意 nk ， an 36(n=2， 3， ) 因为 a1是正整数， a2= ，所以 a2是 2 的倍数 . 从而当 n3 时， an是 2 的倍数 . 如果 a1是 3 的倍数，由 (2)知，对所有正整数 n， an是 3的倍数 . 因此当 n3 时， an 12， 24， 36，这时 M 的元素个数不超过 5. 如果 a1不是 3 的倍数，由 (2)知，对所有正整数 n， an不是 3的倍数 . 因此当 n3 时， an 4， 8， 16， 20， 28， 32，这时 M 的元素个数不超过 8. 当 a1=1 时， M=1， 2， 4， 8， 16， 20， 28， 32，有 8 个元素 . 综上可知，集合 M 的元素个数的最大值为 8.
