1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.设集合 A=x|-1 x 2，集合 B=x|1 x 3，则 AB= ( ) A. x|-1 x 3 B. x|-1 x 1 C. x|1 x 2 D. x|2 x 3 解 析 ：集合 A=x|-1 x 2，集合 B=x|1 x 3， 则 AB=x| -1 x 3. 故选： A. 2.设向量 =(2， 4)与向量 =(x， 6)共线，则实数 x=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解 析 ： 因为向
2、量 =(2， 4)与向量 =(x， 6)共线， 所以 4x=26 ，解得 x=3； 故选： B. 3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 ( ) A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法 解 析 ： 我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理 . 故选： C. 4.设 a， b 为正实数，则 “a b 1” 是 “log 2a log2b
3、 0” 的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解 析 ： 若 log2a log2b 0，则 a b 1， 故 “a b 1” 是 “log 2a log2b 0” 的充要条件， 故选： A. 5.下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是 ( ) A. y=cos(2x+ ) B. y=sin(2x+ ) C. y=sin2x+cos2x D. y=sinx+cosx 解 析 ： y=cos(2x+ )=-sin2x，是奇函数，函数的周期为： ，满足题意，所以 A 正确 y=sin(2x+ )=cos2x，函数是偶函数，
4、周期为： ，不满足题意，所以 B 不正确； y=sin2x+cos2x= sin(2x+ )，函数是非奇非偶函数，周期为 ，所以 C 不正确； y=sinx+cosx= sin(x+ )，函数是非奇非偶函数，周期为 2 ，所以 D 不正确； 故选： A. 6.执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为 ( ) A. - B. C. - D. 解 析 ： 模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件 k 4， k=3 不满足条件 k 4， k=4 不满足条件 k 4， k=5 满足条件 k 4， S=sin = ， 输出 S 的值为 . 故选： D. 7.过双曲线 x2- =1的右焦点且与
5、x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A、 B两点，则 |AB|=( ) A. B. 2 C. 6 D. 4 解 析 ： 双曲线 x2- =1 的右焦点 (2， 0)，渐近线方程为 y= ， 过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线， x=2， 可得 yA=2 ， yB=-2 ， |AB|=4 . 故选： D. 8.某食品保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： )满足函数关系 y=ekx+b (e=2.718为自然对数的底数， k， b 为常数 ).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 (
6、) A. 16 小时 B. 20 小时 C. 24 小时 D. 28 小时 解 析 ： y=ekx+b (e=2.718 为自然对数的底数， k， b 为常数 ). 当 x=0 时， eb=192， 当 x=22 时 e22k+b=48， e 16k= = e11k= eb=192 当 x=33 时， e33k+b=(ek)33 (eb)=( )3192=24 故选： C 9.设实数 x， y 满足 ，则 xy 的最大值为 ( ) A. B. C. 12 D. 16 解 析 ： 作出不等式组对应的平面区域如图； 则动点 P 在 BC 上运动时， xy 取得最大值， 此时 2x+y=10， 则
7、xy= ， 当且仅当 2x=y=5， 即 x= ， y=5 时，取等号， 故 xy 的最大值为 ， 故选： A 10.设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、 B 两点，与圆 (x-5)2+y2=r2(r 0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r的取值范围是 ( ) A. (1， 3) B. (1， 4) C. (2， 3) D. (2， 4) 解 析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)，则 斜率存在时，设斜率为 k，则 y12=4x1， y22=4x2，利用点差法可得 ky0=2， 因为直线与圆相切，所
8、以 ，所以 x0=3， 即 M 的轨迹是直线 x=3， 代入抛物线方程可得 y=2 ，所以交点与圆心 (5， 0)的距离为 4， 所以 2 r 4 时，直线 l 有 2 条； 斜率不存在时，直线 l 有 2 条； 所以直线 l 恰有 4 条， 2 r 4， 故选： D. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 . 11.设 i 是虚数单位，则复数 i- =_. 解 析 ： 复数 i- =i- =i+i=2i. 故答案为： 2i. 12. lg0.01+log216 的值是 _. 解 析 ： lg0.01+log216=-2+4=2. 故答案为： 2. 13.已知 sin+2c
9、os=0 ，则 2sincos -cos2 的值是 _. 解 析 ： sin+2cos=0 ，即 sin= -2cos ， tan= -2， 则原式 = ， 故答案为： -1 14.在三棱住 ABC-A1B1C1中， BAC=90 ，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设 M， N， P 分别是 AB， BC， B1C1的中点，则三棱锥P-AMN 的体积是 _. 解 析 ： 判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥 P-AMN的体积即可 . 答案 ： 由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角
10、边长为1，高为 1 的直三棱柱，所求三棱锥的高为 NP=1，底面 AMN 的面积是底面三角形 ABC 的 ， 所求三棱锥 P-AMN 的体积是： . 15.已知函数 f(x)=2x， g(x)=x2+ax(其中 a R).对于不相等的实数 x1、 x2，设 m=， n= .现有如下命题： 对于任意不相等的实数 x1、 x2，都有 m 0； 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、 x2，都有 n 0； 对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、 x2，使得 m=n； 对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、 x2，使得 m=-n. 其中的真命题有 _ (写出所有真命题的序号 ). 解 析 ：
11、对于 ，由于 2 1，由指数函数的单调性可得 f(x)在 R 上递增，即有 m 0，则 正确； 对于 ，由二次函数的单调性可得 g(x)在 (- ， - )递减，在 ( ， + )递减，则 n 0 不恒成立， 则 错误； 对于 ，由 m=n，可得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)，考查函数 h(x)=x2+ax-2x， h (x)=2x+a-2xln2，当 a - ， h (x)小于 0， h(x)单调递减，则 错误； 对于 ，由 m=-n，可得 f(x1)-f(x2)=-g(x1)-g(x2)，考查函数 h(x)=x2+ax+2x， h (x)=2x+a+2xln2，对于任意的
12、 a， h (x)不恒大于 0 或小于 0，则 正确 . 故答案为： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.设数列 an(n=1， 2， 3 )的前 n 项和 Sn，满足 Sn=2an-a1，且 a1， a2+1， a3成等差数列 . (1)求数列 an的通项公式； (2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解 析 ： (1)由条件 Sn满足 Sn=2an-a1，求得数列 an为等比数列，且公比 q=2；再根据 a1， a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列 an的通项公式 . (2)由于 ，利用等比数列的前 n
13、 项和公式求得数列 的前 n 项和 Tn. 答案 ： (1)由已知 Sn=2an-a1，有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2 )， 即 an=2an-1(n2 )， 从而 a2=2a1， a3=2a2=4a1. 又因为 a1， a2+1， a3成等差数列，即 a1+a3=2(a2+1) 所以 a1+4a1=2(2a1+1)， 解得： a1=2. 所以，数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 . 故 an=2n. (2)由 (1)得 ， 所以 Tn= . 17.一辆小客车上有 5 名座位，其座号为 1， 2， 3， 4， 5，乘客 P1， P2， P3， P4， P5的座位
14、号分别为 1， 2， 3， 4， 5.他们按照座位号顺序先后上车，乘客 P1因身体原因没有坐自己 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位 .如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位 . (1)若乘客 P1坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法 .下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法 (将乘客就坐的座位号填入表中空格处 ) (2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 P5坐到 5号座位的概率 . 解 析 ： (1)根据题意，可以完成表格； (2)列表，确定所有可能的坐法，
15、再求出乘客 P1坐到 5 号座位的概率 . 答案 ： (1)余下两种坐法： (2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则 所有可能的坐法可用下表表示为 于是，所有可能的坐法共 8 种， 设 “ 乘客 P5坐到 5 号座位 ” 为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4，所以 P(A)= = . 答：乘客 P5坐到 5 号座位的概率是 . 18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 . (1)请按字母 F， G， H 标记在正方体相应地顶点处 (不需要说明理由 ) (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系 .并说明你的结论 . (3)证明：直线
16、 DF 平面 BEG. 解 析 ： (1)直接标出点 F， G， H 的位置 . (2)先证 BCHE 为平行四边形，可知 BE 平面 ACH，同理可证 BG 平面 ACH，即可证明平面BEG 平面 ACH. (3)连接 FH，由 DHEG ，又 DHEG ， EGFH ，可证 EG 平面 BFHD，从而可证 DFEG ，同理DFBG ，即可证明 DF 平面 BEG. 答案 ： (1)点 F， G， H 的位置如图所示 . (2)平面 BEG 平面 ACH，证明如下： ABCD -EFGH 为正方体， BCFG ， BC=EH， 又 FGEH ， FG=EH， BCEH ， BC=EH， BC
17、HE 为平行四边形 . BECH ， 又 CH 平面 ACH， BE 平面 ACH， BE 平面 ACH， 同理 BG 平面 ACH， 又 BEBG=B ， 平面 BEG 平面 ACH. (3)连接 FH， ABCD -EFGH 为正方体， DHEG ， 又 EG 平面 EFGH， DHEG ， 又 EGFH ， EGFH=O ， EG 平面 BFHD， 又 DF 平面 BFHD， DFEG ， 同理 DFBG ， 又 EGBG=G ， DF 平面 BEG. 19.已知 A、 B、 C 为 ABC 的内角， tanA， tanB 是关于方程 x2+ px-p+1=0(p R)两个实根 . (1
18、)求 C 的大小 (2)若 AB=3， AC= ，求 p 的值 . 解 析 ： (1)由判别式 =3p 2+4p-40 ，可得 p -2，或 p ，由韦达定理，有 tanA+tanB=-p， tanAtanB=1-p，由两角和的正切函数公式可求 tanC=-tan(A+B)= ，结合 C 的范围即可求 C 的值 . (2)由正弦定理可求 sinB= = ，解得 B， A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75 ，从而可求 p=- (tanA+tanB)的值 . 答案 ： (1)由已知，方程 x2+ px-p+1=0 的判别式： = ( p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40 ， 所
19、以 p -2，或 p . 由韦达定理，有 tanA+tanB=- p， tanAtanB=1-p. 所以， 1-tanAtanB=1-(1-p)=p0 ， 从而 tan(A+B)= . 所以 tanC=-tan(A+B)= ， 所以 C=60. (2)由正弦定理，可得 sinB= ， 解得 B=45 ，或 B=135 (舍去 ). 于是， A=180 -B-C=75. 则 tanA=tan75=tan (45+30 )= . 所以 p=- (tanA+tanB)=- (2+ )=-1- . 20.如图，椭圆 E： =1(a b 0)的离心率是 ，点 P(0， 1)在短轴 CD 上，且 =-1
20、(1)求椭圆 E 的方程 . (2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A、 B 两点 .是否存在常数 ，使得 + 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)通过 e= 、 =-1，计算即得 a=2、 b= ，进而可得结论 . (2)分情况对直线 AB 斜率的存在性进行讨论： 当直线 AB 的斜率存在时，联立直线 AB 与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当 =1 时 + =-3； 当直线 AB 的斜率不存在时， + =-3. 答案 ： (1)根据题意，可得 C(0， -b)， D(0， b)， 又 P (0， 1)，且 =-1， ，解得 a=2， b=
21、， 椭圆 E 的方程为： + =1； (2)结论：存在常数 =1 ，使得 + 为定值 -3. 理由如下： 对直线 AB 斜率的存在性进行讨论： 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立 ，消去 y 并整理得： (1+2k2)x2+4kx-2=0， = (4k)2+8(1+2k2) 0， x 1+x2= ， x1x2= ， 从而 + =x1x2+y1y2+x 1x2+(y1-1)(y2-1) =(1+ )(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = =- - -2. 当 =1 时， - - -2=-3， 此时 + =-
22、3 为定值； 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD， 此时 + = + =-2-1=-3； 故存在常数 =1 ，使得 + 为定值 -3. 21.已知函数 f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中 a 0. (1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性 . (2)证明：存在 a (0， 1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)=0 在区间 (1， + )内有唯一解 . 解 析 ： (1)函数 f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中 a 0.可得： x 0.g(x)=f (x)=2(x-1-lnx-a)，可得 g (x)= ，分别解出 g
23、 (x) 0， g (x) 0，即可得出单调性 . (2)由 f (x)=2(x-1-lnx-a)=0，可得 a=x-1-lnx，代入 f(x)可得： u(x)=(1+lnx)2-2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在 x0 (1， e)，使得 u(x0)=0，令 a0=x0-1-lnx0=v(x0)，再利用导数研究其单调性即可得出 . 答案 ： (1)解：函数 f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中 a 0.可得： x 0. g(x)=f (x)=2(x-1-lnx-a)， g (x)= ， 当 0 x 1 时， g (x) 0，函数 g(x)单调递减； 当 1 x 时， g
24、(x) 0，函数 g(x)单调递增 . (2)证明：由 f (x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得 a=x-1-lnx， 令 u(x)=-2xlnx+x2-2(x-1-lnx)x+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx， 则 u(1)=1 0， u(e)=2(2-e) 0， 存在 x0 (1， e)，使得 u(x0)=0， 令 a0=x0-1-lnx0=v(x0)，其中 v(x)=x-1-lnx(x1 )， 由 v (x)=1- 0 ，可得：函数 v(x)在区间 (1， + )上单调递增 . 0=v (1) a0=v(x0) v(e)=e-2 1，即 a0 (0， 1)，当 a=a0时，有 f (x0)=0， f(x0)=u(x0)=0. 再由 (I)可知： f (x)在区间 (1， + )上单调递增， 当 x (1， x0)时， f (x) 0， f (x) f(x0)=0； 当 x (x0， + )时， f (x) 0， f (x) f(x0)=0； 又当 x (0， 1， f(x)= -2xlnx 0. 故当 x (0， + )时， f(x)0 恒成立 . 综上所述：存在 a (0， 1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)=0 在区间 (1， + )内有唯一解 .
